2025-2026学年四川省雅安市名山区第三中学高二下册期中考试数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（40分）1.设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（）A.12 B.24 C.36 D.482.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.3.如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（）A.24 B.72 C.20 D.484.设则的单调递增区间为（）A. B. C. D.5.在等比数列中，，是方程的两个根，则（）A.6 B.9 C.12 D.6或126.已知数列满足，，则（）A.511 B.1023 C.1024 D.20477.已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（

）A.1 B.2 C.0 D.8.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（18分）9.已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.为定值10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则总选法为B.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为C.若物理和历史不能同时选，则总选法为D.若物理和历史至少选一门，则总选法为11.函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是的极值点B.是的极大值点C.的单调递减区间是D.三、填空题（15分）12.（1）已知，那么______；（2）已知，那么______；（3）已知，那么______．13.设数列满足3．数列的通项公式为________．14.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为______________．四、解答题15.包含甲乙丙在内的7人站成一排.（1）一共有多少种不同的排法？（2）甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？（3）甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？（4）甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？16.设数列是各项均为正实数的等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.17.已知函数在处取得极大值10．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．18.已知等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若不等式恒成立，求a的最大值.

数学一、单选题（40分）1.设数列是等差数列，，，则这个数列的前9项和等于（）A.12 B.24 C.36 D.48答案：C解析：思路：设等差数列的公差为，根据题意列出方程组求出，再结合等差数列的前项和公式求解.解答过程：设等差数列的公差为，因为，，所以，，解得，则数列的前9项和为.故选：C2.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：借助导数运算法则逐项计算即可得.解答过程：对A：，故A错误；对B：，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D错误.3.如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（）A.24 B.72 C.20 D.48答案：B解析：思路：按照的序号分步选择颜色，在4号区域选颜色时根据它与2号区域是否同色分类.解答过程：由题意第一步1号区域有4种方法，第二步2号区域有3种方法，第三步3号区域有2种方法，第四步4号区域有2种方法：与2号相同颜色的一种，则第五步有2种方法，与2号不同颜色的一种，则第五步有1种方法，所以方法数为.4.设则的单调递增区间为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出导函数，再根据导函数为正得出单调增区间即可.解答过程：的定义域为，，由，可得，所以的单调递增区间为.5.在等比数列中，，是方程的两个根，则（）A.6 B.9 C.12 D.6或12答案：D解析：思路：由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可.解答过程：因为，是方程的两个根，所以，在等比数列中，有，所以，所以或，所以或．6.已知数列满足，，则（）A.511 B.1023 C.1024 D.2047答案：B解析：思路：由数列递推公式，通过累加法即可求得通项，代入即可.解答过程：由题可知：，当时，，…，累加得：，所以，即，又也适合，则.7.已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为（

）A.1 B.2 C.0 D.答案：C解析：思路：根据导数的几何意义求出切点横坐标，再将切点坐标代入切线方程即可求解的值.解答过程：设切点P(x0对f(x)=2x2已知切线方程为，其斜率为，故4x0=4，解得，即切点坐标为，将切点坐标代入切线方程得，解得.8.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由函数有两个不同的零点，转化为函数的图象与直线有两个交点，利用求导判断函数单调性和图象趋势，分析即得参数范围.解答过程：函数有两个不同的零点，则方程有两个不同的实根，也即函数的图象与直线有两个交点.由求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，且，当时，取得极小值.作出函数的图象：由图可知，当且仅当时，函数与直线有两个交点，故实数的取值范围是.二、多选题（18分）9.已知是公比为的等比数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.为定值答案：ACD解析：思路：由等比数列的通项公式结合条件可得，进而求出数列的通项公式与前项和，依此分别判断四个选项即可.解答过程：对于A，由得，即，由得，代入得，联立，且，解得，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，则为定值，故D正确.故选：ACD10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是（）A.若任意选择三门课程，则总选法为B.若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为C.若物理和历史不能同时选，则总选法为D.若物理和历史至少选一门，则总选法为答案：ABC解析：思路：根据题意及组合数的求法判断A；先从物理和历史中选择一门，再从剩余的四门中选择两门判断B；先求出六门中任意选择三门课程的方法，再求出物理和历史同时选择的求法判断C；分别分析物理和历史选择一门及选择两门两种情况，计算分析判断D.解答过程：A：从六门中任意选择三门课程，总选法为，故A正确；B：物理和历史中选择一门，有种方法，再从剩余的四门中选择两门，有种方法，则总选法为，故B正确；C：从六门中任意选择三门课程，总选法为，物理和历史同时选择，有种方法，则总选法为，故C正确；D：若物理和历史选择一门，则有种方法，若物理和历史全部选择，有种方法，则总选法为，故D错误.11.函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.是的极值点B.是的极大值点C.的单调递减区间是D.答案：BC解析：思路：根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断.解答过程：观察导函数的图象，当或时，，当且仅当时取等号，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确；的单调减区间是，所以C正确；函数在上单调递增，所以，所以D错误.三、填空题（15分）12.（1）已知，那么______；（2）已知，那么______；（3）已知，那么______．答案：①.②.③.解析：思路：利用排列数的计算公式即可求解.解答过程：（1）由，则，即，解得.（2）由，则，解得.（3）由，则且，解得或（舍）.故答案为：；；13.设数列满足3．数列的通项公式为________．答案：解析：解答过程：由可得，两式相减可得，即可得，当时可得，所以满足，因此可得，即数列的通项公式为.14.函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为______________．答案：解析：思路：根据图象得出函数的单调区间，进而得出以及的解，即可得出答案.解答过程：由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，；当时，；当时，；当时，.当时，由可得，此时；当时，由可得，此时.综上所述，解集为.故答案为：.四、解答题15.包含甲乙丙在内的7人站成一排.（1）一共有多少种不同的排法？（2）甲、乙两人必须站在两端的不同排法有多少种？（3）甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有多少种？（4）甲、乙、丙三人均不相邻的不同排法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序是“甲、乙、丙”的不同排法有多少种？答案：（1）5040（2）240（3）720（4）1440（5）840解析：（1）7人站成一排，共有种不同的排法.（2）先排甲、乙两人，共有种不同的排法，再排其他人，共有种不同的排法，所以共有种不同的排法.（3）把甲、乙、丙三人看成一个整体，再与其他人一起排队，所以共有种不同的排法.（4）先排其余4人，再把甲乙丙插入4人形成的5个空位（含两端），保证均不相邻，所以共有种不同的排法.（5）7人的全排列中，甲乙丙的相对顺序共种，仅1种符合要求，所以共有种不同的排法.16.设数列是各项均为正实数的等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.答案：（1）（2）.解析：思路：（1）利用等比数列的通项公式求解等比数列的公比，求得通项公式.（2）利用等比数列的前项和公式和等差数列的前项和公式求解.（1）设等比数列的公比为，或.（2），.17.已知函数在处取得极大值10．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．答案：（1）；（2）最大值为10，最小值为2.解析：思路：（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解，（2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答.（1），故且，解得，则，令，则，当时，，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取到极大值，故满足题意.（2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减，且极大值为,极小值为，又因为故函数

在区间

上的大值为10，最小值为2.18.已知等比数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）利用与关系化简可得，结合等比数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求出即可证明结论.（1）因为在数列中，，当时，，两式相减得，可得，又因为时，，可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故；（2）由（1）知，所以数列的前n项和为，①，②①②得，所以.又因为，所以，所以.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若不等式恒成立，求a的最大值.答案：（1）（2）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得；（2）分，和，通过导函数的符号判断函数的单调性即可；（3）依题意将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求