2025-2026学年云南省昆明市东川区高二下册7月期末质量检测数学试卷（含解析）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.样本数据6，17，21，23，26的上四分位数（第75百分位数）为（）A.17 B.19 C.22 D.233.若集合，，则（）A. B.C. D.4.已知等差数列的通项公式为，则（）A.6 B.8 C.10 D.125.某班某天下午要安排3节课，现有语文、数学、英语、体育4个科目可以安排，要求每个科目至多安排一节课且第一节不安排数学，则不同的排法种数是（）A.12 B.14 C.18 D.206.函数在区间上的极大值点为（）A. B. C. D.7.定义在上的函数，其图象关于点对称，则下列结论一定正确的是（）A.为奇函数 B.为偶函数C.图象关于点对称 D.图象关于直线对称8.在正三棱锥中，，PA与底面ABC所成的角为，若点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则（）A. B.C. D.10.如图，菱形边长为2，，点为的中点，将沿翻折至的位置，使得四棱锥的体积为，则（）A.平面 B.平面C. D.点到直线的距离是11.已知点（，）在双曲线上，点，，则（）A.双曲线C的两条渐近线相互垂直B.面积的取值范围为C.可能为直角D.双曲线C在P处的切线与x轴交于点Q，则P，Q的横坐标的乘积为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则________.13.已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________.14.已知奇函数（，）在上单调递增，若锐角满足，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，为圆柱底面圆的内接三角形，为圆的直径，是母线.（1）求证：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值.16.某校际足球赛小组赛中，4支球队进行单循环赛（即每支球队都会和同组的另外3支球队比赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，已知球队A在小组赛中每场比赛胜的概率为，平局的概率为，输的概率为.设所有球队的每场比赛结果相互独立.（1）求球队A在小组赛中总积分X不低于7分的概率；（2）若小组赛根据组内各球队总积分及其它相关信息确定组内唯一的一个第一名.据以往经验，若球队A总积分，则获得小组第一名的概率为，若总积分，则获得小组第一名的概率为，求球队A在小组赛中总积分不低于6分且获得小组第一名的概率.17.的内角所对的边为，面积为，.（1）求证：为锐角；（2）若，求.18.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线在点处的切线l方程为.（i）求a，k的值；（ii）已知点，（，）在曲线上，若直线AB与l平行，求m.19.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率为，点在直线：上，的最小值为.（1）求的方程；（2）当不在轴上时，过作平行于轴的直线交于点，且在y轴的右侧，直线与轴相交于点.（i）证明：，，，四点共圆；（ii）为原点，记过，，，四点的圆为，若与有四个交点，分别为，，，，求的取值范围.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先通过运算，化简为，再利用复数的几何意义判断.解答过程：因为，所以对应的点位于第一象限.故选：A方法提示：本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.2.样本数据6，17，21，23，26的上四分位数（第75百分位数）为（）A.17 B.19 C.22 D.23答案：D解析：思路：根据百分位数的求法及取法，直接求解即可.解答过程：由题可知，共5个数据，则，所以上四分位数即第75百分位数，取第4位数为23.3.若集合，，则（）A. B.C. D.答案：C解析：解答过程：由指数函数和的图象可得，，所以.4.已知等差数列的通项公式为，则（）A.6 B.8 C.10 D.12答案：D解析：解答过程：由题意令可得，.5.某班某天下午要安排3节课，现有语文、数学、英语、体育4个科目可以安排，要求每个科目至多安排一节课且第一节不安排数学，则不同的排法种数是（）A.12 B.14 C.18 D.20答案：C解析：思路：可以分成两类，不安排数学课与安排数学.解答过程：可以分成两类，不安排数学课与安排数学：第一类不安排数学课，则;第二类安排数学课，则;.6.函数在区间上的极大值点为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用求导判断函数的单调性，继而即可判断在给定区间上的极大值点.解答过程：由已知可得，令，即.因为，所以解得或.所以，当时，则，得，所以函数在区间单调递增；当时，则，得，函数在区间单调递减；当时，则，得，函数在区间单调递增.所以函数在区间上的极大值点为.7.定义在上的函数，其图象关于点对称，则下列结论一定正确的是（）A.为奇函数 B.为偶函数C.图象关于点对称 D.图象关于直线对称答案：B解析：思路：证明到是偶函数A错误，B正确；对于C，D，举反例验证错误..解答过程：图像关于点中心对称，所以对任意实数，有，，则，，由对称性质，而，故：，则，由对称性质，而，故综上，对任意，，因此是偶函数，所以A错误，B正确；取，则，因为，此时的图象不关于点对称，C错误；因为，此时的图象不关于直线对称，D错误.8.在正三棱锥中，，PA与底面ABC所成的角为，若点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：作出图形找出外接球球心的位置，求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解.解答过程：如图，设点为的中心，连接交于点.在正三棱锥中，平面，且三棱锥外接球球心在直线上.连接，设球的半径为，则.由线面角的定义可知，在正三角形中，.在中，.所以.在中，，即，解得.所以球的表面积为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，则（）A. B.C. D.答案：BC解析：解答过程：因为等比数列中，所以，.所以，选项A错误；，选项B正确；，选项C正确；，选项D错误.10.如图，菱形边长为2，，点为的中点，将沿翻折至的位置，使得四棱锥的体积为，则（）A.平面 B.平面C. D.点到直线的距离是答案：ABD解析：思路：对于A，根据线面平行的判定定理证明即可；对于B，根据棱锥的体积公式得到到平面的距离为1，结合，即可得证；对于C，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质判断即可；对于D，根据余弦定理求解即可.解答过程：易知为等边三角形，因为点为的中点，所以，，.菱形中，，则，四边形为直角梯形.面积为.则翻折后，，.又，解得，即到平面的距离为1.又，所以平面.对于A，，平面，平面，所以平面，A正确.对于B，因为平面，则平面，B正确.对于C，因为，，，平面，，所以平面，又平面，所以.若，结合，且与是平面内的两条相交直线，可得平面，与平面矛盾，故C错误.对于D，连接，因为平面，平面，所以.则即为点到直线的距离.在中，，，，由余弦定理得，所以，故点到直线的距离是，D正确.11.已知点（，）在双曲线上，点，，则（）A.双曲线C的两条渐近线相互垂直B.面积的取值范围为C.可能为直角D.双曲线C在P处的切线与x轴交于点Q，则P，Q的横坐标的乘积为1答案：ABD解析：思路：写出双曲线的渐近线方程即可验证A项，写出面积，由，令，则即可验证B项，先化简得到，令，化简得到，可得，故，即可验证C项；写出双曲线C在P处的切线为，得到，即可验证D项.解答过程：对于A项，双曲线的两条双曲线为，相互垂直，故A正确；对于B项，，所以直线的方程，即，，则点到直线的距离为，所以，由，得到，，则，令则，因为在单调递减，所以，故B正确；对于C项，，则，即则，所以，令，即，即，利用平方差公式化简得到，因为，所以,,所以，故，所以不可能为直角，故C错误；对于D项，双曲线C在P处的切线为，令，得到，所以，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.向量、在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则________.答案：4解析：思路：建系后写出两向量的坐标，利用向量数量积的坐标式求解即得.解答过程：如图，建立平面直角坐标系，分别取向量,则.13.已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________.答案：2解析：思路：根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可.解答过程：由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形.设，则.因为，所以，则.又，，则，即.因为点P在C上，所以，代入上式得，即，解得.14.已知奇函数（，）在上单调递增，若锐角满足，则________.答案：解析：解答过程：因为函数是奇函数，且，所以或者.当时，，又，此时函数在上上单调递减，与函数在上单调递增矛盾，舍去.当时，，又，此时函数在上上单调递增，因为函数在上单调递增，所以.当时，，又锐角满足，由平方关系得，.当时，.所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，为圆柱底面圆的内接三角形，为圆的直径，是母线.（1）求证：平面平面；（2）若，，求二面角的余弦值.答案：（1）因为为圆的直径，所以,因为是圆柱的母线，所以平面，平面，所以,又，平面，平面，所以平面又平面，所以平面平面.（2）解析：思路：(1)由为圆的直径可得，再利用平面，，从而证明平面，最后证得平面平面；（2）以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再计算二面角的余弦值.（1）略（2）如图所示，以点为坐标原点，以，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，所以，，，所以，，设平面法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，因为平面，则平面的一个法向量为，设二面角为，，所以二面角的余弦值为.16.某校际足球赛小组赛中，4支球队进行单循环赛（即每支球队都会和同组的另外3支球队比赛一场），每场比赛胜者积3分，负者积0分，平局各积1分，已知球队A在小组赛中每场比赛胜的概率为，平局的概率为，输的概率为.设所有球队的每场比赛结果相互独立.（1）求球队A在小组赛中总积分X不低于7分的概率；（2）若小组赛根据组内各球队总积分及其它相关信息确定组内唯一的一个第一名.据以往经验，若球队A总积分，则获得小组第一名的概率为，若总积分，则获得小组第一名的概率为，求球队A在小组赛中总积分不低于6分且获得小组第一名的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由总积分大于等于7分有2种可能的情况，即三场全胜得9分，两胜一平得7分，分别求出两种情况的概率，相加即可；（2）先求出，再根据全概率公式求解即可.（1）由题可知，总积分大于等于7分有2种可能的情况：三场全胜得9分，两胜一平得7分，因为，，所以.（2）由题可得，，记球队A在小组赛总积分不低于6分且获得小组第一名为事件M，则，所以球队A在小组赛总积分不低于6分且获得小组第一名的概率为.17.的内角所对的边为，面积为，.（1）求证：为锐角；（2）若，求.答案：（1）由可得：，化简得：，在中，，，所以，由正弦定理知，故由余弦定理可得，又，所以为锐角.（2）解析：思路：（1）利用余弦二倍角公式和三角形面积公式对原式进行变形，整理出正弦平方的关系式，再借助正弦定理化为边的形式，结合余弦定理即可判断出，从而可证明角为锐角；（2）利用正弦定理把角转化为边，变形凑出余弦的形式，得到与的关系，再结合同角三角函数平方关系即可求出.（1）略（2）因为，由正弦定理可得，，，因为，所以，化简得：，由余弦定理可得，又因为，而为锐角，所以，由正弦定理可得.18.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线在点处的切线l方程为.（i）求a，k的值；（ii）已知点，（，）在曲线上，若直线AB与l平行，求m.答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）根据导数与单调性的关系求解即可.（2）（i）根据导数的几何意义求解即可.（ii）根据直线AB与l平行可得，构造函数，，根据导数与单调性及最值的关系得到的单调性，进而得到，根据题意结合作差法得到，结合单调性得到，即可求解.（1）当时，，定义域为，求导得，令，即，解得.当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，综上，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）（i），，所以，所以，在点处的切线为，故，，所以.（ii）由（i）可知，定义域为，则，，所以，即，令，定义域为，求导得，令，定义域为，求导得，所