2025-2026学年云南省昭通市盐津县第二中学高二下册第二次月考数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知复数z满足，为虚数单位，则（）A. B. C. D.3.已知为不共线向量，，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线4.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A. B. C.2 D.5.过三点的圆的一般方程为（）A. B.C. D.6.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）A.B.估计这批产品该项质量指标的众数为45C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.57.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（）A.2 B. C.－2 D.－8.棱长为6的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的体积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（）A.y=x B.x+y-2=0C.x+2y-3=0 D.3x-y-2=010.定义运算，在中，角的对边分别为若满足，则下列结论正确的是（）A. B.C.角的最大值为 D.若，则11.已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（）A.曲线E关于直线对称B.曲线E围成的图形面积为C.若点在曲线E上，则D.若圆能覆盖曲线E，则的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平行直线与之间的距离为__________.13.已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.14.已知函数满足：，，则的值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.16.已知平面向量，，函数.（1）求的最小正周期和对称中心坐标；（2）当时，求的最大值和最小值.17.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求（1）分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；（2）分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；（3）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率．18.如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的正弦值.19.已知圆，直线与圆交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足分别为分别异于.（1）求实数的取值范围;（2）若，用含的式子表示四边形的面积;（3）当时，若直线和直线交于点，证明点在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：求出即得解.解答过程：解：由题得，所以.故选：D2.已知复数z满足，为虚数单位，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据模长公式结合复数的四则运算求解.解答过程：由题意可知：，由，可得.故选：B.3.已知为不共线向量，，则（

）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线答案：A解析：解答过程：选项A：因为，所以三点共线，选项B：若共线，则与共线，假设存在使得，即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解，不存在这样的，因此与不共线，选项B错误；选项C：若共线，则与共线，假设存在使得，即：，对应系数相等得：，方程组无解，因此与不共线，选项C错误；选项D：若共线，则与共线，假设存在使得，即：，对应系数相等得：，方程组无解，因此与不共线，选项D错误.4.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）A. B. C.2 D.答案：A解析：思路：由幂函数定义得到，求出或1，舍去不合要求的，代入求值.解答过程：令，解得或1，若，则，与坐标轴没有公共点，满足要求，若，则，与坐标轴有公共点，交点为原点，不合要求，故.故选：A5.过三点的圆的一般方程为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.解答过程：设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得，解得，故所求的圆的一般方程为，故选：D．6.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（）A.B.估计这批产品该项质量指标的众数为45C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5答案：C解析：思路：利用各组的频率之和为1，求出，再根据众数、中位数、利用频率估计概率的定义逐一分析即可.解答过程：由频率分布直方图得，解得，故正确；频率最大的组为第二组，中间值为，所以众数为45，故正确；质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，故错误；由于质量指标在之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故正确；故选：.7.已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（）A.2 B. C.－2 D.－答案：A解析：思路：由题意可得函数的周期，从而得到，由解析式可得答案.解答过程：依题意，，，函数的周期为6，故，在R上的奇函数,，又，则．故选：A．8.棱长为6的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由正棱锥的性质知就是球的直径，求得正四面体的高，即可得正三棱锥的高，从而得其体积．解答过程：如图，是的外心，是正四面体的高，是外接球球心，在上，设半径为，,,由得，解得，所以，，所以．故选：A．方法提示：思路点睛：本题考查求棱锥的体积，解题关键是求得棱锥的高，利用正棱锥的性质得出题中是球的直径，从而易得求球的半径、棱锥的高，立体几何中正四面体、正方体是特殊的几何体，它的性质应该记住．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（）A.y=x B.x+y-2=0C.x+2y-3=0 D.3x-y-2=0答案：AB解析：思路：分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案.解答过程：当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：，则，所以；当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：，把P（1，1）代入直线方程得：，解得：,所以直线方程为：.故满足条件的直线方程为：或.故选：AB.10.定义运算，在中，角的对边分别为若满足，则下列结论正确的是（）A. B.C.角的最大值为 D.若，则答案：ACD解析：思路：由定义计算即可判断A；举反例即可判断B；由余弦定理，基本不等式及余弦函数的单调性即可判断C；由正弦定理及余弦定理即可判断D．解答过程：由可得，，整理得，故A正确；由正弦定理得，，若，满足，而，故B错误；由余弦定理得，，当且仅当时取等号，又，所以的最大值为，故C正确；由得，，即，又，可得为最大边，所以，故D正确；故选：ACD．11.已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（）A.曲线E关于直线对称B.曲线E围成的图形面积为C.若点在曲线E上，则D.若圆能覆盖曲线E，则的最小值为答案：ABC解析：思路：根据给定条件逐一分析每一个选项，通过推理、计算判断即可．解答过程：1、曲线E上任意点满足：，该点关于的对称点也满足：，即由曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上，故选项A正确；2、因为点在曲线E上，点，点也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称，当时，曲线E的方程为，曲线E表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点），因此，曲线E是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图，所以曲线E围成的图形的面积是，故选项B正确；3、若点在曲线E上，则，所以，所以，故选项C正确；4、曲线E上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线E，则，故选项D不正确．故选：ABC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平行直线与之间的距离为__________.答案：解析：思路：利用两平行线间距离公式计算即可得.解答过程：.13.已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________.答案：解析：思路：先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得.解答过程：由，，，共面，则可设，即有，解得，即，则，故在上的投影向量的模为.14.已知函数满足：，，则的值为__________.答案：0解析：思路：由题意可得、为函数和的交点的横坐标，从而表示出，即可求出.解答过程：由已知和分别是，即的两个解，其中，所以，设，则、为函数和的交点的横坐标，则，所以，，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）求出线段的中点和斜率，根据直线垂直的斜率关系，可得线段的垂直平分线的方程；（2）由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解.解答过程：（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，整理为.（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.由已知得，则直线的斜率为.16.已知平面向量，，函数.（1）求的最小正周期和对称中心坐标；（2）当时，求的最大值和最小值.答案：（1）最小正周期，对称中心为，（2）最大值为，最小值趋近于（或等价形式，近似值约为）解析：思路：（1）先通过向量数量积运算得到函数解析式，再用辅助角公式化简为正弦型函数，结合正弦函数性质即可求解；（2）根据时，得出，结合正弦函数的单调性即可求解.（1）因

则函数的最小正周期；令，，解得，，故的对称中心为，.（2）当时，，因正弦函数在单调递增，在单调递减，则当即时，取最大值，对应；由于，，因此，即当趋近时，，故的最小值趋近于.17.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求（1）分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；（2）分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；（3）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率．答案：（1）甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为；（2）乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为；（3）“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为．解析：思路：（1）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解；（2）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解；（3）两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率求法即可得解.（1）设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得，所以甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率；（2）设分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立事件的性质，可得，所以乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率；（3）设表示“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，由（1）（2）可得，且与互斥，与，与分别相互独立，所以，因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.18.如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，且.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）利用直四棱柱的性质得到，结合，结合线面垂直的判定定理得到平面，再运用线面垂直的性质证明所求结论即可.（2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法求解即可.（3）建立空间直角坐标系，求出每个平面的法向量，利用面面夹角的向量求法求解即可.（1）在直四棱柱中，底面，又底面，故，又面，得到平面，又平面，则.（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，如图，建立空间直角坐标系，，所以，设平面的法向量为，则，令，得，所以，由点到平面的距离公式得点到平面的距离为.（3）由（2）知，设平面的法向量为，则令，得，所以，又