2025-2026学年漳州实验高级中学高二下册5月质量检测数学试卷（含解析）

/数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.2.已知随机变量服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.3.为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（）A. B. C.1 D.24.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（）.A.9 B.10 C.11 D.125.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A. B. C. D.6.在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（）A. B. C. D.7.若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.78.若函数有极值，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的是6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若随机变量满足，则B.若随机变量，且；则C.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05D.若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点10.函数，则（）A.的图象过定点B.当时，在上单调递增C.当时，恒成立D.存在，使得与轴相切11.如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（）A. B. C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，设事件为“第1次出现正面”，事件为“第3次出现反面”，则_____.13.如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大.14.如图，一电路中，为未闭合的开关，为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则最先亮起的概率为__________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：123453540505570（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱）（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．参考数据：．参考公式：相关系数；回归直线方程中，．16.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单.（1）根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.

好评非好评合计更换厨师前

更换厨师后

合计

（2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望.（3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值.附：，其中.0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87918.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若函数的值域为，求的取值范围．19.二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.（1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；（2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，.（i）求；（ii）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望.

数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对函数求导，根据导数几何意义及点斜式即可求解直线方程.解答过程：，故，，故切线方程为，即，故选：D2.已知随机变量服从两点分布，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由分布列的性质可求.解答过程：因为服从两点分布，故，故选：A.3.为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，物价部门对某商品在各商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到了若干对数据，经过分析，计算，得到关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（）A. B. C.1 D.2答案：A解析：思路：根据题意，令时，求得，结合残差的概念，即可求得样本点的残差，得到答案.解答过程：由关于的回归方程为，且样本点，当时，可得，所以残差为.故选：A.4.已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（）.A.9 B.10 C.11 D.12答案：B解析：思路：根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解.解答过程：因为向量，，共面，所以存在实数，使得.则可得.由，可列出方程组.由可得，将其代入中，得到.去括号得，移项合并同类项得，解得.将代入，可得.将，代入，可得.故选：B.5.已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.解答过程：根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，因为，所以故选：D6.在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线的距离.解答过程：在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，由，得，由点E在棱BC上，且，得，的重心，则，，，，所以点G到直线AE的距离.故选：A7.若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（）A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：思路：由全概率公式即可得解.解答过程：设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，，从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为，则，解得，则的最大值为6．故选：C.8.若函数有极值，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可.解答过程：由，，则，令，，则，当时，恒成立，则，即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意；当时，令，得，当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，所以存在，使得，则函数存在极值；当时，，则时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，设，，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，则时，，此时函数无极值，不符合题意；当时，，且时，；时，，此时函数存在极值.综上所述，的取值范围为.故选：B.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的是6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若随机变量满足，则B.若随机变量，且；则C.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05D.若样本数据线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线经过该组数据的中心点答案：BCD解析：思路：对于A，根据方差的性质判断即可；对于B，根据正态分布的对称性判断即可；对于C，根据独立性检验的性质判断即可；对于D，根据回归直线的性质判断即可.解答过程：对于A，由方差的性质可知，若随机变量满足量满足，则，故A错误；对于B，根据正态分布的图象对称性可得，故B正确；对于C，由可知判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，故C正确；对于D，根据回归直线过样本中心点可知D正确.故选：BCD.10.函数，则（）A.的图象过定点B.当时，在上单调递增C.当时，恒成立D.存在，使得与轴相切答案：ACD解析：思路：结合可判断A的真假；当时，求导，分析函数的单调性，可判断BC的真假；问题转化为函数的最小值为0是否成立，可判断D的真假.解答过程：对A：不管取何值，，所以函数的图象过定点，故A正确；对B：当时，，（），，设，则，所以在上单调递增.因为，所以，所以在上单调递增，这一说法不正确，即B错；对C：由B选项可知，，所以存在，使得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为，且，因为，故不能取“”.故C正确；对D：当时，（），所以（），设（），则（）.所以在上单调递增.因为当时，；当时，.所以存在，使得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为，且.由.设，（），则，所以在上单调递减.且，，所以必定有解.即D正确.故选：ACD11.如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：蚂蚁从点

P

出发，第一次爬行后只能到达中的一个，从而可确定，从中的任一点出发，均有从该点出发的四条棱，故到达点或的概率为；设次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，只能从中的任一点出发到达点或，则可确定、与的关系；到达中任一点，可能是从其它两点中的其一，或者从点或到达，从而可以表达，代值化简关系可得解.解答过程：设记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，则，其中，计算易得，故A、C正确，B错误；由原方程组可得，则，所以为常数列，且①.同理，且，所以②，由①②可知，=，所以，故D正确.故选：.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，设事件为“第1次出现正面”，事件为“第3次出现反面”，则_____.答案：##解析：思路：由条件概率公式计算即可.解答过程：.故答案为：.13.如图，将一张的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为__________cm时，这个纸盒的容积最大.答案：1解析：思路：设剪下的小正方形的边长为，根据条件得到，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解.解答过程：设剪下的小正方形的边长为，由题知纸盒的容积为，则，令，得到（舍）或，所以当时，，当时，，则的增区间为，减区间为所以在处取到最大值，最大值为.故答案为：.14.如图，一电路中，为未闭合的开关，为能正常工作的灯泡，现每次等可能地闭合一个未闭合的开关，直到7个开关全部闭合，则最先亮起的概率为__________.答案：解析：思路：分三种情况，得到最先亮起的情况数，计算出7个开关依次全部闭合的总情况数，从而计算出最先亮起的概率，而和的情况是一样的，故两者最先亮起的概率相等，利用概率之和为1，求出最先亮起的概率.解答过程：先考虑最先亮起的概率，则中至少有一个开关闭合在亮起之后，中也至少有一个开口闭合亮起之后，下面分三种情况讨论，情况1：都闭合在亮起之后，这种情况相当于全排列，依次闭合，再将剩余的四个开关全排列之后依次闭合，可能的情况有种；情况2：和中都恰好有1个开关闭合在亮起之后，这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第5位，其余两个排在前四位，前四位剩下的两个空位分别在和中各选一个进行排列，剩下的两个排在末两位，可能的情况有种，情况3：中恰好有三个开关闭合在亮起之后，这种情况要求中有一个开关闭合顺序排在第四位，其余两个排在前三位，剩下四个开关全排列，可能的情况有种，7个开关依次全部闭合共有种情况，故最先亮起的概率为，而和的情况是一样的，故两者最先亮起的概率相等，所以最先亮起的概率为.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.某运动服饰公司对产品研发的年投资额（单位：十万元）与年销售量（单位：万件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：123453540505570（1）求和的样本相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度；（若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱）（2）求年销售量关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量．参考数据：．参考公式：相关系数；回归直线方程中，．答案：（1）0.98，变量和的线性相关程度很强；（2），75.5万件．解析：思路：（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；（2）根据公式即可求出与的值，即可得出回归方程，令代入计算即可.（1）由题可知，，所以，因为，所以变量和的线性相关程度很强．（2），．所以关于的回归直线方程为．当时，，所以研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件．16.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）利用空间的线面垂直的判定与性质定理即可得证；（2）依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求两平面的夹角余弦值即可.（1）如图，连接，在中，，在正方形中，，又因为平面，所以平面，又因为，所以平面，而平面，所以，又因为，且平面，所以平面.（2）在中，因为，，所以由余弦定理可得：，因为平面，所以，在中，由勾股定理得：，又在中，由余弦定理得：.如图以为原点，分别为轴，过且垂直底面的直线为轴建系，则，，，则，，设为平面的法向量，则，取，设为平面的法向量，则，取，所以，故平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单.（1）根据统计数据，完成下列列联表，并判断是否有的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.

好评非好评合计更换厨师前

更换厨师后

合计

（2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望.（3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求当事件“”的概率最大时的值.附：，其中.0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879答案：（1）列联表见解析，有关联（2）分布列见解析，期望为（3）80解析：思路：（1）完善列联表，计算的值，并与临界值对比分析即可；（2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得；（3）由已知可得，利用二项分布概率公式求出概率表达式，再利用作商法求得使事件“”的概率最大时的值.（1）列联表如下：

好评非好评合计更换厨师前600200800更换厨师后16004002000合计22006002800根据列联表中数据，经计算得到，所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个，而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有，则，所以的分布列为：123数学期望.（3）依题意，更换厨师后好评率为，从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则，于是，由，由，解得，而，则当时，单调递增；由，解得，则当时，单调递减，所以使事件“”的概率最大时的值为80.18.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若函数的值域为，求的取值范围．答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）解析：思路：（1）利用导数求函数的单调性；（2）正难则反，通过条件将问题转化成对恒成立，再利用，即可求出结果.（1）当时，,则，令，得，当时，，