八年级数学《矩形的性质》练习题

八年级数学《矩形的性质》练习题同学们，矩形作为一种特殊的平行四边形，在我们的几何学习中占据着重要的位置。它不仅具有平行四边形的所有性质，更有其独特的“个性”。熟练掌握矩形的性质，并能灵活运用它们解决问题，是我们这一阶段学习的重点。下面，我们就通过一系列练习题来巩固和深化对矩形性质的理解与应用。请大家在做题时，先回顾矩形的定义和性质，再动手尝试，相信你一定能有所收获。一、知识回顾：矩形的性质在开始练习之前，我们简要回顾一下矩形的核心性质，这是解决所有问题的基础：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.性质：*边：对边平行且相等（这是平行四边形的通性）。*角：四个角都是直角（矩形的特性）。*对角线：对角线相等且互相平分（矩形的特性，也是非常重要的性质）。*对称性：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；同时也是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点的连线）。*推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线性质易得）。二、基础巩固选择题1.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（）A.对边平行B.对边相等C.对角线互相平分D.对角线相等2.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是（）A.20°B.40°C.80°D.100°填空题3.矩形ABCD中，∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______cm，矩形的面积为______cm²。（O为对角线交点）4.直角三角形斜边长为10cm，则斜边上的中线长为______cm。解答题5.已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OD的中点。求证：四边形EBCF是等腰梯形。三、能力提升6.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AB向点B匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CD向点D匀速运动，速度也为1cm/s。设运动时间为t秒（0<t<6）。（1）连接PQ，当t为何值时，PQ平行于AD？（2）在P、Q运动过程中，四边形AQCP的面积是否发生变化？若不变，求出其面积；若变化，请说明理由。7.已知：如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF=EC，且EF⊥EC。求证：AE=DC。四、拓展探究8.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，BC=12，点M在BC边上，且CM=4。将纸片折叠，使点D落在点M处，折痕为EF，求AE的长。9.思考：矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，这四个三角形有什么关系？如果矩形的对角线所夹的钝角为120°，那么矩形的短边与长边之比是多少？参考答案与思路点拨二、基础巩固1.D思路点拨：矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，其特殊性在于四个角是直角和对角线相等。2.C思路点拨：矩形对角线相等且互相平分，故OA=OB。一条对角线与一边夹角为40°，则另一条对角线与另一边夹角也为40°，所以两条对角线相交所成的钝角为180°-40°-40°=100°，因此所成锐角为80°。3.8，16√3思路点拨：由∠AOB=60°且OA=OB，可得△AOB为等边三角形，故OA=AB=4cm，AC=2OA=8cm。利用勾股定理可求得BC=√(AC²-AB²)=√(64-16)=√48=4√3cm，面积AB×BC=4×4√3=16√3cm²。4.5思路点拨：直接应用直角三角形斜边中线性质。5.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，且OA=OC=OB=OD（矩形对角线相等且互相平分）。∵E、F分别是OA、OD的中点，∴OE=1/2OA，OF=1/2OD，EF是△AOD的中位线。∴EF∥AD，EF=1/2AD。∵AD∥BC，AD=BC（矩形对边平行且相等），∴EF∥BC，EF=1/2BC。∴EF≠BC（否则E、F将与B、C重合，不合题意），故四边形EBCF是梯形。又∵OB=OC，OE=OF，∴BE=BO-EO，CF=CO-FO，∴BE=CF。∴梯形EBCF是等腰梯形。（两腰相等的梯形是等腰梯形）三、能力提升6.解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=6cm，AD=BC=8cm。由题意得：AP=tcm，CQ=tcm，则BP=(6-t)cm，DQ=(6-t)cm。若PQ∥AD，则四边形APQD应为矩形（有一个角是直角的平行四边形），所以AP=DQ。∴t=6-t，解得t=3。答：当t=3秒时，PQ平行于AD。（2）四边形AQCP的面积不变。理由：S四边形AQCP=S矩形ABCD-S△ADQ-S△BCPS矩形ABCD=AB×BC=6×8=48cm²。S△ADQ=1/2×AD×DQ=1/2×8×(6-t)=4(6-t)。S△BCP=1/2×BC×BP=1/2×8×(6-t)=4(6-t)。∴S四边形AQCP=48-4(6-t)-4(6-t)=48-8(6-t)=48-48+8t=8t。咦？这里似乎得出了与“面积不变”相悖的结论。请同学们仔细检查我的计算过程，看看问题出在哪里？（*思路修正：*实际上，直接计算S四边形AQCP=S△AQC+S△APC会更简单。S△AQC=1/2×QC×AD=1/2×t×8=4t；S△APC=1/2×AP×BC=1/2×t×8=4t。所以S四边形AQCP=4t+4t=8t。哦，原来面积是随着t变化的。看来最初的“不变”假设是错误的，数学需要严谨的推导，不能想当然。）7.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC。∴∠AEF+∠AFE=90°。∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°。∴∠AEF+∠DEC=180°-∠FEC=90°。∴∠AFE=∠DEC（同角的余角相等）。在△AEF和△DCE中，∠A=∠D，∠AFE=∠DEC，EF=EC，∴△AEF≌△DCE（AAS）。∴AE=DC。四、拓展探究8.解：设AE=x，则ED=AD-AE=12-x。由折叠性质知，EM=ED=12-x，DM与EF交于点N（图略，折叠问题常需画出折痕和对应点连线）。在Rt△EBM中，BM=BC-CM=12-4=8，BE=AB-AE=8-x（此处原AB=8应为AE在AD上，BE表述不准确，应为在Rt△EMC中？不，点E在AD上，折叠后D与M重合，E点位置不变，故EM=ED。点M在BC上，过E作EH⊥BC于H，则EH=AB=8，MH=BC-CM-AE=12-4-x=8-x？不，AE是AD上从A到E的长度，ED=12-x，EH=AB=8，MH=BM-BH=BM-AE=8-x。对，BH=AE=x，BM=8，所以MH=BM-BH=8-x。在Rt△EHM中，EM²=EH²+MH²。即(12-x)²=8²+(8-x)²。展开得：144-24x+x²=64+64-16x+x²。化简得：144-24x=128-16x。移项得：-24x+16x=128-144。-8x=-16。x=2。答：AE的长为2。思路点拨：折叠问题的关键是抓住“折叠前后对应线段相等，对应角相等”，并通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解。9.思考提示：矩形对角线相等且互相平分，故四个三角形是两对全等的等腰三角形（△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC）。当矩形对角线所夹钝角为120°时，则所夹锐角为60°，此时必有一个△AOB为等边三角形（OA=OB，且∠AOB=60°），从而短边AB