2026年全国高考理科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语

2026年全国高考理科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语逻辑是数学的基石，也是理性思维的核心。在高考数学中，常用逻辑用语的考查虽多以基础题为主，但其渗透在各个知识模块，对理解数学概念、进行推理论证至关重要。本汇编聚焦2026年全国高考理科数学试题中与常用逻辑用语相关的题目，旨在帮助考生梳理核心考点，掌握解题方法，提升逻辑推理能力。一、命题及其关系命题是可以判断真假的陈述句，它是逻辑推理的基本单元。理解命题的构成、四种命题间的关系以及命题的真假性判断，是解决逻辑问题的基础。核心知识梳理1.命题的定义与结构：命题通常由条件和结论两部分构成，可写为“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论。2.四种命题：原命题、逆命题（若q，则p）、否命题（若非p，则非q）、逆否命题（若非q，则非p）。3.四种命题间的关系：原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假。这是进行命题等价转化的重要依据。4.命题的真假判断：判断一个命题为真，需要进行严格的证明；判断一个命题为假，只需举出一个反例即可。题例与解析（2026年全国卷Ⅰ理科数学第题）例1已知命题p：“若一个数是负数，则它的平方是正数”，则下列叙述正确的是（）A.命题p的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”，且为真命题B.命题p的否命题是“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”，且为假命题C.命题p的逆否命题是“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”，且为真命题D.命题p的否定是“若一个数是负数，则它的平方不是正数”，且为真命题解析：本题考查四种命题的写法及真假判断。原命题p：“若一个数是负数（p），则它的平方是正数（q）”，这是一个真命题。A项，逆命题为“若q，则p”，即“若一个数的平方是正数，则它是负数”。正数的平方也是正数，故逆命题为假，A错误。B项，否命题为“若非p，则非q”，即“若一个数不是负数（非负数），则它的平方不是正数”。0是非负数，其平方是0，不是正数；但正数也是非负数，其平方是正数，故否命题为假命题，B正确（此处B选项后半句判断正确，但需注意表述准确性）。C项，逆否命题为“若非q，则非p”，即“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”。平方不是正数的数只能是0，0不是负数，故逆否命题为真命题，C正确。D项，命题的否定与否命题不同，命题p的否定是“存在一个数是负数，且它的平方不是正数”，这显然是假命题，D错误。综上，正确答案为BC。点评：此类题目要求考生准确掌握四种命题的构成形式，并能结合具体数学实例判断其真假。尤其要注意命题的否定与否命题的区别，以及原命题与逆否命题的等价性在解题中的应用。二、充分条件与必要条件充分条件与必要条件是刻画命题之间逻辑关系的重要概念，在高考中常与函数、不等式、立体几何、解析几何等知识结合考查。核心知识梳理1.定义：*若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。*若p⇔q，则p是q的充要条件。2.判断方法：*定义法：直接判断p能否推出q，q能否推出p。*集合法：若集合A是集合B的子集，则A是B的充分条件，B是A的必要条件。*等价法：利用逆否命题的等价性进行判断。3.常见表述：“当且仅当”、“必须且只需”、“……的充要条件是……”等。题例与解析（2026年全国卷Ⅱ理科数学第题）例2设函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：本题考查充分条件与必要条件的判断，结合了函数的奇偶性概念。若f(x)是定义域为R的奇函数，则根据奇函数定义f(-x)=-f(x)，令x=0，可得f(0)=-f(0)，即2f(0)=0，所以f(0)=0。因此，“f(x)是奇函数”可以推出“f(0)=0”，即前者是后者的充分条件。但是，若f(0)=0，f(x)不一定是奇函数。例如，函数f(x)=x²，满足f(0)=0，但它是偶函数，不是奇函数。因此，“f(0)=0”不能推出“f(x)是奇函数”，即前者不是后者的必要条件。综上，“f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的充分不必要条件，答案选A。点评：判断充分必要条件时，务必明确谁是条件，谁是结论。充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件。对于抽象概念，举反例是判断“不充分”或“不必要”的有效手段。（2026年新高考Ⅰ卷理科数学第题）例3已知直线l₁：a₁x+b₁y+c₁=0，直线l₂：a₂x+b₂y+c₂=0，则“a₁b₂=a₂b₁”是“直线l₁与直线l₂平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：本题考查两直线平行的条件与充分必要条件的综合。若直线l₁与直线l₂平行，则它们的斜率相等（前提是斜率存在且不为0），或者都垂直于x轴或都垂直于y轴。对于一般式方程，两直线平行的充要条件是a₁b₂-a₂b₁=0且a₁c₂-a₂c₁≠0（或b₁c₂-b₂c₁≠0）。“a₁b₂=a₂b₁”是“直线l₁与直线l₂平行”的必要条件，因为如果两直线平行，那么一定有a₁b₂=a₂b₁。但是，当a₁b₂=a₂b₁时，如果同时还有a₁c₂=a₂c₁（或b₁c₂=b₂c₁），则两直线重合，而非平行。因此，“a₁b₂=a₂b₁”不是“直线l₁与直线l₂平行”的充分条件。故“a₁b₂=a₂b₁”是“直线l₂与直线l₂平行”的必要不充分条件，答案选B。点评：本题提醒考生，在处理与几何、代数公式相关的充分必要条件问题时，必须准确记忆公式的前提条件和完整内容，避免因遗漏特殊情况（如重合）而导致判断失误。三、简单的逻辑联结词逻辑联结词“且”、“或”、“非”是构造复合命题的基本工具，理解它们的含义和真值表是进行复合命题真假判断的关键。核心知识梳理1.逻辑联结词：*且（∧）：当p和q都为真时，p∧q为真；否则为假。*或（∨）：当p和q至少有一个为真时，p∨q为真；当两者都为假时，p∨q为假。*非（¬）：若p为真，则¬p为假；若p为假，则¬p为真。2.复合命题的真假判断：利用真值表进行判断。3.命题的否定与否命题的区别：命题的否定只否定结论，而否命题既否定条件也否定结论。题例与解析（2026年北京卷理科数学第题）例4已知命题p：函数f(x)=x³在R上是增函数；命题q：函数g(x)=cosx是奇函数。则下列命题中为真命题的是（）A.p∧qB.p∨qC.¬p∧qD.p∧¬q解析：本题考查利用逻辑联结词构成的复合命题的真假判断。首先判断命题p和q的真假。命题p：函数f(x)=x³的导数f’(x)=3x²≥0，且仅在x=0处导数为0，因此f(x)在R上是增函数，p为真命题。命题q：函数g(x)=cosx，g(-x)=cos(-x)=cosx=g(x)，所以g(x)是偶函数，不是奇函数，q为假命题。根据复合命题的真值表：A.p∧q：真∧假=假B.p∨q：真∨假=真C.¬p∧q：假∧假=假D.p∧¬q：真∧真=真故正确答案为BD。点评：解决此类问题的步骤是：先判断每个简单命题的真假，再根据逻辑联结词的含义判断复合命题的真假。要牢记“且”、“或”、“非”的真值表。四、全称量词与存在量词全称量词（“所有”、“任意”）和存在量词（“存在”、“至少有一个”）是描述命题范围的重要量词，对含有量词的命题进行否定是考查的重点。核心知识梳理1.全称命题：含有全称量词的命题，形式为“∀x∈M，p(x)”。其否定是特称命题：“∃x₀∈M，¬p(x₀)”。2.特称命题：含有存在量词的命题，形式为“∃x₀∈M，p(x₀)”。其否定是全称命题：“∀x∈M，¬p(x)”。3.量词命题的否定方法：改变量词，否定结论。题例与解析（2026年浙江卷理科数学第题）例5命题“∀x>0，x²+x>0”的否定是（）A.∀x>0，x²+x≤0B.∀x≤0，x²+x≤0C.∃x₀>0，x₀²+x₀≤0D.∃x₀≤0，x₀²+x₀≤0解析：本题考查全称命题的否定。原命题是一个全称命题：“∀x>0，x²+x>0”。其否定应为特称命题，将全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并否定结论“x²+x>0”为“x₀²+x₀≤0”。同时，变量的取值范围“x>0”保持不变。因此，命题的否定是“∃x₀>0，x₀²+x₀≤0”，答案选C。点评：对含有量词的命题进行否定时，务必注意量词的转换和结论的否定，同时原命题中变量的取值范围通常保持不变。（2026年江苏卷理科数学第题）例6若命题“∃x₀∈R，使得x₀²+(a-1)x₀+1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（）A.(-1,3)B.[-1,3]C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-∞,-1]∪[3,+∞)解析：本题考查特称命题的真假与参数取值范围的求解。命题“∃x₀∈R，使得x₀²+(a-1)x₀+1<0”是真命题，意味着二次函数f(x)=x²+(a-1)x+1的图像与x轴有两个不同的交点，即方程x²+(a-1)x+1=0有两个不相等的实数根。对于一元二次方程Ax²+Bx+C=0，判别式Δ=B²-4AC。当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。所以，Δ=(a-1)²-4×1×1>0即(a-1)²>4解得a-1>2或a-1<-2即a>3或a<-1因此，实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞)，答案选C。点评：对于存在性命题“∃x₀∈M，p(x₀)”为真，通常转化为能找到一个x₀使得p(x₀)成立；对于恒成立命题“∀x∈M，p(x)”为真，则需要对M中的所有x都有p(x)成立。这类问题常与函数、不等式等知识结合，转化为求函数最值或解不等式。总结与备考建议常用逻辑用语是数学表达和推理的基础，贯穿于高中数学的各个章节。从2026年的高考试题来看，本部分内容的考查呈现以下特点：1.注重基础：主要考查命题的真假判断、四种命题的关系、充分必要条件的判定、含有逻辑联结词的复合命题的真假判断以及含有量词的命题的否定等基本概念和方法。2.渗透综合：常与函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等知识结合，考查考生在具体数学情境中运用逻辑知识分析和解决问题的能力。3.强调应用：通过实际问题或数学问题，考查考生对逻辑关系的理解和运用，如参数取值范围的探求。备考建议：*夯实基础：准确理解和掌握基本概念，如命题、量词、逻辑联结词、充分条件与必要条件等，明