2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题06 向量的概念与数量积(解析版)

复习专题06向量的概念与数量积

知识点1向量的基本概念与表示方法

1.向量的定义

把既有大小又有方向的量叫做向量

现实生活中有些量既有大小又有方向,如位移、速度、力、加速度、电场强度等,有些量只有大小没有方向,如

距离、身高、质量、时间、面积等,我们称为数量,又称为“标量”.

数学中的“向量”概念源于物理知识,向量不仅有丰富的几何内涵,向量及其线性运算与数量积运算还构成了精

致且有广泛应用的代数结构,可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理.·所以说,向量是几何和

代数的一座天然桥梁.

数学中的向量与物理中的矢量是有区别的，在数学中，我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置

无关的向量，也称为自由向量.

2.向量的表示方法

(1)几何法

有向线段:在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向.指

定了方向的线段叫做有向线段.用有向线段的起点和终点上方加箭头的两个大写字母表示,如AB,读作向量

AB.

(2)代数法

用上方加箭头的小写字母表示,如a、b、c

3.向量的模

向量a的大小叫做a的模，记作|a|；向量AB的大小，即长度|AB|（也称模）．

任意向量的模都是非负数,所以向量的模可以比较大小

4.单位向量

模为的向量叫做单位向量与向量同方向的单位向量记作

1;aa0.

5.零向量

规定模为0的向量叫做零向量,记作0.它的方向是任意的

向量的数形特征

向量既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此在

研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法。

知识点2向量的基本关系

1.平行向量

如果两个非零向量所在的直线平行或重合,那么称这两个向量平行,记作a//b.规定:零向量与任意向量平行,

2.相等的向量

如果两个向量同方向且具有相同的模,那么称这两个向量为相等的向量.向量a与b相等,记作ab.

3.负向量

如果一对平行向量a与b具有相等的模但方向相反,那么称它们互为负向量,或者称

b为a的负向量,记作ba.

(1)零向量的负向量仍是零向量.

(2)任意向量与其负向量的和是零向量.

知识点3向量的加法及运算法则

定义求向量和的运算,叫做向量的加法

前提已知不平行的两个向量a,b

在平面内任取一点O以点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作

作法

平行四边OACB

形法则

结论对角线OC就是a与b的和.

法则图形

前提已知非零向量a,b

三角形法作法在平面内任取一点A,作ABa,BCb,再作向量AC

则

向量AC就是a与b的和,记作ab,则abABBCAC

结论

(两个向量的和仍是一个向量)

图形

规定零向量与任意向量a的和都有a00aa和a(a)0

（1）向量加法的交换律：abba.

向量加法的交换律和结合律

（2）向量加法的结合律:(ab)ca(bc)

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

(1)区别

三角形法则:①首尾相接;②适用于任何向量求和.

平行四边形法则:①共起点;②仅适用于不平行的两个向量求和.

(2)联系

三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半

知识点4向量的减法及几何意义

1.定义

如果已知向量abc,那么向量b叫作向量c与向量a的差,记作bca.求向量差的运算,叫做向量的

减法

向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用负向量的定义，可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算，

2.几何意义

在平面内任取一点O,作OAa,OBb,则向量abBA,如图所示.

文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点

为终点的向量

(1)任意向量都可以表示为两个向量的差,如ABOBOAPBPA,在向量运算中应灵活运用。

(2)ABa,ADb,以、CDAB为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量分别为

ACab,DBab

知识点5实数与向量的乘法的定义及几何意义

实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作a.它的模和方向规定如下：

(1)|a||||a|;

（2）当0时,a的方向与a相同;当0时,a的方向与a相反.特别地，当a0或0时,a0.

实数与向量乘法的几何意义,如图所示

在实数与向量乘法中，||可视为将向量a的模伸长(||1)或缩短(||1)的倍数，的符号决定了向

量的方向.当0时，向量a0,此时a的方向是任意的.

知识点6实数与向量乘法的运算律

设a、b是向量，、mÎR，有

（1）(m)aama；

（2）(ma)(m)a；

（3）(ab)ab．

与非零向量a同方向的单位向量叫做向量a的单位向量,记作

a0.

1

根据实数与向量的乘法的定义,可知a|a|a,即aa.

00|a|

向量的加法、减法以及实数与向量的乘法,统称为向量的线性运算.

知识点7向量的夹角

以一点O为起点，作OAa,OBb，我们把射线OA、OB的夹角称为向量a与b的夹角，记

作a,b，它的取值范围为[0,p]．

（1）两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且a,bb,a．

（2）向量的夹角应注意＂共起点＂，例：在ABC中，AB与BC的夹角不是ABC，而是其

补角．

（3）两个向量的夹角为锐角ab0且a、b不共线．

（4）两个向量的夹角为钝角ab0且a、b不共线．

向量夹角的情况如下表.

a,b的范围或ppp

00,,pp

222

取值

图形

a与b垂直，记

a与b的夹角a与b的夹角为

关系a与b同向a与b反向

为锐角作ab钝角

知识点8向量b在向量a方向上的投影向量与数量投影

1．如果向量AB的起点A和终点B在直线l上的投影分别为点A和B，那么向量AB叫

做向量AB在直线l上的投影向量（如右图），简称为投影.

|b|cosa,b

2．向量b在a方向上的投影与数量投影投影：|b|cosa,baa;数量投影：

0|a|

|b|cosa,b．

知识点9向量的数量积

1.定义

设a与b是两个非零向量，定义a与b的数量积ab|a||b|cosa,b

规定：零向量与任一向量的数量积为0．

ab

由向量数量积的定义，可从数量积反推两个向量的夹角公式：cosa,b

|a||b|

2.几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的数量投影|b|cosa,b的乘积．

3.向量数量积的性质

（1）ab当且仅当ab0；

（2）|ab||a||b|，当且仅当a//b时等号成立．

当a与b平行且同向时，ab|a||b|；当a与b平行且反向时，ab|a||b|．特别地，

a2|a|2．

1.两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符

号由夹角是锐角、直角或钝角决定．对于两个非零向量a与b，夹角为：

p

（1）当Î0,时，ab0；

2

p

（2）当时，ab0；

2

p

（3）当Î,p时，ab0．

2

2.ab不能写成ab或ab．

知识点10平面向量数量积的运算律

设a、b和c是向量，是实数，则

（1）向量数量积的交换律：abba；

（2）向量数量积对数乘的结合律：(a)ba(b)(ab)；

（3）向量数量积对加法的分配律：a(bc)abbc．

（1）当a0时，abac不一定推出bc，因为abac得a(bc)0，所以a

与(bc)垂直，即向量的数量积运算不满足消去律．

特别地，当a0时，ab0不一定推出b0．

（2）(ab)c与a(bc)不一定相等，因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示

一个与a共线的向量，所以向量的数量积运算不满足结合律．

题型一、零向量与单位向量

例1（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（）

A．若a，b是共线的单位向量，则ab

B．若ab，则ab

C．若ab，则a，b不是共线向量

D．若a//b，b//c，则a//c

【答案】B

【分析】对于A，由题意ab或ab，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断.

【详解】对于A，若a，b是共线的单位向量，则ab或ab，故A错误；

对于B，若ab，则ab，故B正确；

对于C，若ab0，满足ab，但此时a，b是共线向量，故C错误；

对于D，设a,c是两个不共线的非零向量，b0，满足a//b，b//c，但此时a//c不成立，故D错误.

故选：B.

1-1（23-24高一下·上海·期中）若a，b都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）

A．abB．如果a//b，那么ab

rr

C．a//bD．如果a//b，那么ab或ab

【答案】D

【分析】利用单位向量，向量相等及向量共线的定义进行判断即可.

【详解】因为a，b都是单位向量，所以ab1，且a，b方向不确定，

所以选项A和选项C错误；

如果a//b，a与b方向相同或相反，且ab1，

所以选项B错误，选项D正确.

故选：D.

1-2（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（）

A．若ab，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

B．若ab，且a与b的方向相同，则ab

C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

D．若a//b，则a与b方向相同或相反

【答案】B

【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向

量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量0即可判断.

【详解】对于A，由ab只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误；

对于B，因为ab，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a=b，故B正确；

对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误；

对于D，依据规定：0与任意向量平行，故当a0时，a与b的方向不一定相同或相反，故D错误.

故选：B.

题型二、平行向量（共线向量）

例2（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）下列有关向量的说法正确的是（）

A．向量又称有向线段

B．平行向量一定相等

C．平行向量一定共线

D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量

【答案】C

【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断.

【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而

向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，A选项错误.

平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还

要求大小相等.所以平行向量不一定相等，B选项错误.

平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，C选项正确.

向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的x轴、y轴是具有方向的直线，它们没有大小，

不满足向量的定义，所以x轴、y轴不是向量，D选项错误.

故选：C.

2-1（23-24高一下·上海·期中）已知a、b均为非零向量，有下列三个命题：

若m为任意实数，则ab是mamb的充分非必要条件；

①已知a、b为两个不平行向量，则amb0是m0的必要非充分条件；

②

ab

“”是“”的既非充分也非必要条件.

a//bab

③

其中命题正确的个数（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【答案】B

【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即

可得到结果.

【详解】对于，若ab，则mamb，故充分性满足，若mamb，则mab0，

①

即m0或ab，故必要性不满足，即ab是mamb的充分非必要条件，故正确；

对于，若a、b为两个不平行向量，则由amb0可得m0，故充分性满足，①

②

若m0，则amb0成立，故必要性满足，

所以amb0是m0的充要条件，故错误；

②

ab

对于，若，则a,b同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足，

a//bab

③

ab

若可得a,b同向，即，故必要性满足，

aba//b

ab

所以“”是“”的必要不充分条件，故错误；

a//bab

③

故选：B

2-2（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知A(1,3),B(4,1)，求与向量AB方向相同的单位向量为.

34

【答案】,

55

AB

【分析】依题意求得AB3,4，进而可得与向量AB方向相同的单位向量.

AB

【详解】由A(1,3)，B(4,1)得AB3,4，所以，与向量AB方向相同的单位向量是

AB134

3,4,.

AB555

34

故答案为：,

55

题型三、向量加法的法则

例3（24-25高一下·上海·期中）已知a为单位向量，下列说法正确的是（）

A．aaB．a//0

rrr

C．aa0D．2a-a=-a

【答案】B

【分析】根据平面向量模的定义即可判断A；根据零向量的概念即可判断B；根据平面向量的加减法运算即

可判断CD．

【详解】对于A，由平面向量模的定义知，故A错误；

对于B，根据零向量和任一向量平行，故B正确；

对于C，aa0，故C错误；

rrr

对于D，2a-a=a，故D错误；

故选：B．

3-1（23-24高一下·上海嘉定·期末）ABBA．

【答案】0

【分析】根据向量的加法法则求解即可．

【详解】ABBA0

故答案为：0．

3-2（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算：ABBCCDDA．

【答案】0

【分析】根据向量加法的运算法则即可求解.

【详解】ABBCCDDAACCDDAADDA0.

故答案为：0.

题型四、向量加法法则的几何应用

例4（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线MN的中

点，O为对角线AC与BD的交点，用OA,OB,OC,OD的线性组合表示向量OG为：OG．

1

【答案】OAOBOCOD

4

【分析】根据题意利用中点的性质结合向量的加法运算法则分析求解.

11

【详解】因为G为MN的中点，则OGONOM，

22

1111

又因为M,N分别为BD，AC的中点，则ONOAOC,OMOBOD，

2222

1111111

所以OGOAOCOBODOAOBOCOD.

2222224

1

故答案为：OAOBOCOD.

4

4-1（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简AEEBBC.

【答案】AC

【分析】根据向量加法运算律计算即可.

【详解】AEEBBCABBCAC.

故答案为：AC

4-2（21-22高一下·上海徐汇·期中）ABCD为平行四边形，已知ACa,DBb，M是BC的中点，则

AM（用a、b表示）

31

【答案】ab

44

11

【分析】根据向量的平行四边形法则，得到AB(ACDB)，BC(ACDB)，进而利用M为BC中点，

22

1

得到AMABBMABBC，然后代入即可求解

2

【详解】

如图，因为ABCD为平行四边形，所以，ACABBC，DBDCCBABBC，所以，

11

AB(ACDB)，BC(ACDB)；

22

1

又因为M为BC中点，所以，BM=BC，得，

2

11131

AMABBMABBC(ACDB)(ACDB)ACDB；

22444

31

所以，AMab

44

31

故答案为：ab

44

题型五、向量减法的法则

例5（22-23高一下·上海青浦·期中）下列式子中，不能化简为PQ的是（）

A．ABPABQB．ABBPAQ

C．QCQPCQD．BQBP

【答案】B

【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案.

【详解】A：ABPABQPAABBQBQPBPQ；

B：ABBPAQQAABBPQBBPQP；

C：QCQPCQQCPQQCPQ；

D：BQBPPBBQPQ；

故选：B

5-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在VABC中，化简BCAC

【答案】BA

【分析】利用向量的加、减法运算即可.

【详解】BCACBCCABA.

故答案为：BA

5-2（24-25高一下·广东江门·阶段练习）化简：OPOAPBBC=

【答案】AC

【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.

【详解】OPOAPBBCAPPBBCABBCAC.

故答案为：AC

题型六、向量数乘的有关计算

3

例6（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量PPPP，且设PPPP，则实数．

142212

4

【答案】

7

3

【分析】利用向量的加减法法则对PPPP化简变形，然后结合PPPP可求得结果.

142212

3

【详解】因为PPPP，

142

37

所以PPPPPP，所以PPPP，

122421242

4

所以PPPP，

2712

4

因为PPPP，所以，

2127

4

故答案为：

7

6-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量a,b不共线，若y2ax1b0，则

xy．

【答案】3

【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解.

【详解】因为向量a,b不共线，由y2ax1b0，

ìy20

得í，即x1,y2，所以xy3.

îx10

故答案为：3

6-2（21-22高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受

“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH中，若ACxAByAH(x,yÎR)，则

xy．

【答案】22/22

【分析】根据题意结合向量的线性运算分析运算.

【详解】如图，连接CH，则AB∥CH，

不妨设AB2，则CH222，即HC21AB，

ACAHHC21ABAH，则x21,y1，

∴

故xy22.

故答案为：22.

题型七、平面向量的混合运算

1

例7（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习）a2b3c3a2bc（）

2

55

A．a4cB．a4b2c

22

5359

C．a7bcD．a5bc

2222

【答案】C

【分析】根据向量的加减法即可得到答案.

153

【详解】a2b3c3a2bca7bc.

222

故选：C.

1

7-1（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知向量a、b，则2a4b2b等于.

2

【答案】a

【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果.

1

【详解】2a4b2ba2b2ba.

2

故答案为：a.

7-2（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）等边VABC的边长为2，三角形ABC所在平面内有一动点P，满足

CP1，则APBP的最小值为．

【答案】323．/233

2

【分析】取AB的中点为M，转化为PM1的最值，由圆的几何性质可得解.

【详解】设AB的中点为M，如图，

222

则APBPPAPBPMMAPMMAPMMAPM1，

因为CP1，所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上，

所以|PM|minCM131，

所以APBP(31)21323.

min

故答案为：323．

题型八、向量的线性运算的几何应用

例8（22-23高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形ABCD满足AB2DC，则该四边形一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形

【答案】D

【分析】分析可得AB//DC且AB2DC，利用梯形的定义判断可得出结论.

【详解】因为平面四边形ABCD满足AB2DC，则AB//DC且AB2DC，

故四边形ABCD一定是梯形，

故选：D.

1

8-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在VABC中，BDBC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设

3

2x3yxy

CExCAyCB，则的最小值是

xy

【答案】13

3

【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得xy1，x0,y0，则

2

2x3yxy23233

1xy1，化简后利用基本不等式可得答案.

xyyxyx2

13

【详解】因为BDBC，所以CBCD，

32

3

因为CExCAyCB，所以CExCAyCD，

2

3

因为A,D,E三点共线，所以xy1，x0,y0，

2

2x3yxy23233

1xy1

xyyxyx2

2x9y2x9y2x9y

3317³7213，

y2xy2xy2x

ì2x9yì1

ïx

ïy2xï2

当且仅当í，即í时取等.

31

ïxy1ïy

îï2îï3

故答案为：13.

8-2（24-25高一下·安徽·阶段练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

2acosAccosACbcosC.若c6，则对"ÎR,ABAC的最小值为.

【答案】33

π

【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得A，令ADAC，结合向量数乘的几何意义及减

3

法法则化简向量并求其模长.

【详解】由2acosAccosACbcosC，得2sinAcosAsinCcosBsinBcosC，

所以2sinAcosAsinBcosCsinCcosBsinBCsinA，

1π

因为AÎ0,π，则sinA0，所以cosA,A，

23

设ADAC，则点D在直线AC上，所以ABACABADDB，

3

当BDAC时，DB最小，其最小值为ABsinA633.

2

故答案为：33

题型九、平面向量数量积的几何意义

3p

例9（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知VABC中，AB4，AC22，A，则AC在AB

4

方向上的数量投影为.

【答案】2

【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得．

ACABACABcosA2

【详解】AC在AB方向上的数量投影为：ACcosA222.

ABAB2

故答案为：2．

9-1（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知a2,b3,ab19，则向量b在向量a上的数量投影为.

3

【答案】

2

【分析】利用向量数量积的运算律求出