2026高二数学暑假提升讲义（沪教）复习专题06 向量的概念与数量积(原卷版)

复习专题06向量的概念与数量积

知识点1向量的基本概念与表示方法

1.向量的定义

把既有大小又有方向的量叫做向量

现实生活中有些量既有大小又有方向,如位移、速度、力、加速度、电场强度等,有些量只有大小没有方向,如

距离、身高、质量、时间、面积等,我们称为数量,又称为“标量”.

数学中的“向量”概念源于物理知识,向量不仅有丰富的几何内涵,向量及其线性运算与数量积运算还构成了精

致且有广泛应用的代数结构,可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理.·所以说,向量是几何和

代数的一座天然桥梁.

数学中的向量与物理中的矢量是有区别的，在数学中，我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置

无关的向量，也称为自由向量.

2.向量的表示方法

(1)几何法

有向线段:在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向.指

定了方向的线段叫做有向线段.用有向线段的起点和终点上方加箭头的两个大写字母表示,如AB,读作向量

AB.

(2)代数法

用上方加箭头的小写字母表示,如a、b、c

3.向量的模

向量a的大小叫做a的模，记作|a|；向量AB的大小，即长度|AB|（也称模）．

任意向量的模都是非负数,所以向量的模可以比较大小

4.单位向量

模为的向量叫做单位向量与向量同方向的单位向量记作

1;aa0.

5.零向量

规定模为0的向量叫做零向量,记作0.它的方向是任意的

向量的数形特征

向量既能像实数一样进行某些运算,又有直观的几何意义,是数与形的完美结合.向量是一个几何量，因此在

研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法。

知识点2向量的基本关系

1.平行向量

如果两个非零向量所在的直线平行或重合,那么称这两个向量平行,记作a//b.规定:零向量与任意向量平行,

2.相等的向量

如果两个向量同方向且具有相同的模,那么称这两个向量为相等的向量.向量a与b相等,记作ab.

3.负向量

如果一对平行向量a与b具有相等的模但方向相反,那么称它们互为负向量,或者称

b为a的负向量,记作ba.

(1)零向量的负向量仍是零向量.

(2)任意向量与其负向量的和是零向量.

知识点3向量的加法及运算法则

定义求向量和的运算,叫做向量的加法

前提已知不平行的两个向量a,b

在平面内任取一点O以点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作

作法

平行四边OACB

形法则

结论对角线OC就是a与b的和.

法则图形

前提已知非零向量a,b

三角形法作法在平面内任取一点A,作ABa,BCb,再作向量AC

则

向量AC就是a与b的和,记作ab,则abABBCAC

结论

(两个向量的和仍是一个向量)

图形

规定零向量与任意向量a的和都有a00aa和a(a)0

（1）向量加法的交换律：abba.

向量加法的交换律和结合律

（2）向量加法的结合律:(ab)ca(bc)

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

(1)区别

三角形法则:①首尾相接;②适用于任何向量求和.

平行四边形法则:①共起点;②仅适用于不平行的两个向量求和.

(2)联系

三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半

知识点4向量的减法及几何意义

1.定义

如果已知向量abc,那么向量b叫作向量c与向量a的差,记作bca.求向量差的运算,叫做向量

的减法

向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用负向量的定义，可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算，

2.几何意义

在平面内任取一点O,作OAa,OBb,则向量abBA,如图所示.

文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点

为终点的向量

(1)任意向量都可以表示为两个向量的差,如ABOBOAPBPA,在向量运算中应灵活运用。

(2)ABa,ADb,以、CDAB为邻边作平行四边形ABCD,则两条对角线的向量分别为

ACab,DBab

知识点5实数与向量的乘法的定义及几何意义

实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作a.它的模和方向规定如下：

(1)|a||||a|;

（2）当0时,a的方向与a相同;当0时,a的方向与a相反.特别地，当a0或0时,a0.

实数与向量乘法的几何意义,如图所示

在实数与向量乘法中，||可视为将向量a的模伸长(||1)或缩短(||1)的倍数，的符号决定了向

量的方向.当0时，向量a0,此时a的方向是任意的.

知识点6实数与向量乘法的运算律

设a、b是向量，、mÎR，有

（1）(m)aama；

（2）(ma)(m)a；

（3）(ab)ab．

与非零向量a同方向的单位向量叫做向量a的单位向量,记作

a0.

1

根据实数与向量的乘法的定义,可知a|a|a,即aa.

00|a|

向量的加法、减法以及实数与向量的乘法,统称为向量的线性运算.

知识点7向量的夹角

以一点O为起点，作OAa,OBb，我们把射线OA、OB的夹角称为向量a与b的夹角，记

作a,b，它的取值范围为[0,p]．

（1）两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且a,bb,a．

（2）向量的夹角应注意＂共起点＂，例：在ABC中，AB与BC的夹角不是ABC，而是其

补角．

（3）两个向量的夹角为锐角ab0且a、b不共线．

（4）两个向量的夹角为钝角ab0且a、b不共线．

向量夹角的情况如下表.

a,b的范围或ppp

00,,pp

222

取值

图形

a与b垂直，记

a与b的夹角a与b的夹角为

关系a与b同向a与b反向

为锐角作ab钝角

知识点8向量b在向量a方向上的投影向量与数量投影

1．如果向量AB的起点A和终点B在直线l上的投影分别为点A和B，那么向量AB叫

做向量AB在直线l上的投影向量（如右图），简称为投影.

|b|cosa,b

2．向量b在a方向上的投影与数量投影投影：|b|cosa,baa;数量投影：

0|a|

|b|cosa,b．

知识点9向量的数量积

1.定义

设a与b是两个非零向量，定义a与b的数量积ab|a||b|cosa,b

规定：零向量与任一向量的数量积为0．

ab

由向量数量积的定义，可从数量积反推两个向量的夹角公式：cosa,b

|a||b|

2.几何意义

数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的数量投影|b|cosa,b的乘积．

3.向量数量积的性质

（1）ab当且仅当ab0；

（2）|ab||a||b|，当且仅当a//b时等号成立．

当a与b平行且同向时，ab|a||b|；当a与b平行且反向时，ab|a||b|．特别地，

a2|a|2．

1.两个向量的数量积是一个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符

号由夹角是锐角、直角或钝角决定．对于两个非零向量a与b，夹角为：

p

（1）当Î0,时，ab0；

2

p

（2）当时，ab0；

2

p

（3）当Î,p时，ab0．

2

2.ab不能写成ab或ab．

知识点10平面向量数量积的运算律

设a、b和c是向量，是实数，则

（1）向量数量积的交换律：abba；

（2）向量数量积对数乘的结合律：(a)ba(b)(ab)；

（3）向量数量积对加法的分配律：a(bc)abbc．

（1）当a0时，abac不一定推出bc，因为abac得a(bc)0，所以a

与(bc)垂直，即向量的数量积运算不满足消去律．

特别地，当a0时，ab0不一定推出b0．

（2）(ab)c与a(bc)不一定相等，因为(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示

一个与a共线的向量，所以向量的数量积运算不满足结合律．

题型一、零向量与单位向量

例1（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（）

A．若a，b是共线的单位向量，则ab

B．若ab，则ab

C．若ab，则a，b不是共线向量

D．若a//b，b//c，则a//c

1-1（23-24高一下·上海·期中）若a，b都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）

A．abB．如果a//b，那么ab

rr

C．a//bD．如果a//b，那么ab或ab

1-2（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（）

A．若ab，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

B．若ab，且a与b的方向相同，则ab

C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；

D．若a//b，则a与b方向相同或相反

题型二、平行向量（共线向量）

例2（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）下列有关向量的说法正确的是（）

A．向量又称有向线段

B．平行向量一定相等

C．平行向量一定共线

D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量

2-1（23-24高一下·上海·期中）已知a、b均为非零向量，有下列三个命题：

若m为任意实数，则ab是mamb的充分非必要条件；

①已知a、b为两个不平行向量，则amb0是m0的必要非充分条件；

②

ab

“”是“”的既非充分也非必要条件.

a//bab

③

其中命题正确的个数（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

2-2（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）已知A(1,3),B(4,1)，求与向量AB方向相同的单位向量为.

题型三、向量加法的法则

例3（24-25高一下·上海·期中）已知a为单位向量，下列说法正确的是（）

A．aaB．a//0

rrr

C．aa0D．2a-a=-a

3-1（23-24高一下·上海嘉定·期末）ABBA．

3-2（23-24高一下·上海嘉定·期中）化简向量运算：ABBCCDDA．

题型四、向量加法法则的几何应用

例4（23-24高一下·上海·期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线MN的中

点，O为对角线AC与BD的交点，用OA,OB,OC,OD的线性组合表示向量OG为：OG．

4-1（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）化简AEEBBC.

4-2（21-22高一下·上海徐汇·期中）ABCD为平行四边形，已知ACa,DBb，M是BC的中点，则

AM（用a、b表示）

题型五、向量减法的法则

例5（22-23高一下·上海青浦·期中）下列式子中，不能化简为PQ的是（）

A．ABPABQB．ABBPAQ

C．QCQPCQD．BQBP

5-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在VABC中，化简BCAC

5-2（24-25高一下·广东江门·阶段练习）化简：OPOAPBBC=

题型六、向量数乘的有关计算

3

例6（23-24高一下·上海·阶段练习）若非零向量PPPP，且设PPPP，则实数．

142212

6-1（23-24高一下·上海·阶段练习）已知x、y是实数，向量a,b不共线，若y2ax1b0，则

xy．

6-2（21-22高一下·上海宝山·期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受

“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH中，若ACxAByAH(x,yÎR)，则

xy．

题型七、平面向量的混合运算

1

例7（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习）a2b3c3a2bc（）

2

55

A．a4cB．a4b2c

22

5359

C．a7bcD．a5bc

2222

1

7-1（24-25高一下·上海普陀·阶段练习）已知向量a、b，则2a4b2b等于.

2

7-2（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）等边VABC的边长为2，三角形ABC所在平面内有一动点P，满足

CP1，则APBP的最小值为．

题型八、向量的线性运算的几何应用

例8（22-23高一下·上海浦东新·期中）若平面四边形ABCD满足AB2DC，则该四边形一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形

1

8-1（24-25高一下·上海长宁·期中）在VABC中，BDBC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设

3

2x3yxy

CExCAyCB，则的最小值是

xy

8-2（24-25高一下·安徽·阶段练习）在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

2acosAccosACbcosC.若c6，则对"ÎR,ABAC的最小值为.

题型九、平面向量数量积的几何意义

3p

例9（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知VABC中，AB4，AC22，A，则AC在AB

4

方向上的数量投影为.

9-1（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知a2,b3,ab19，则向量b在向量a上的数量投影为.

9-2（24-25高一下·上海·期中）已知a4，向量a在向量b方向上的数量投影为2，则a,b

题型十、求投影向量

例10（24-25高一下·上海·期中）已知向量a在向量b方向上的投影向量为2b，且b2，

则ab(结果用数值表示)

10-1（24-25高一下·上海·期中）已知a6,b5，若ab24，则b在a方向上的数量投影为.

10-2（24-25高一下·上海长宁·期中）设a，b是两个向量，其中a0，b在a方向上的投影是b，我们知

道结论“无论取何实数，b在a方向上的投影都是b”成立；请用代数方法证明上述结论中的一种情况：

当0时，b在a方向上的投影都是b；

题型十一、用定义求向量的数量积

例11（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量e1,e2的夹角为，则下列结论中正确的是

（）

A．e1在e2上的投影向量为cosB．e1·e21

C．e1e2D．e1e2e1e2

11-1（24-25高一下·上海浦东新·阶段练习）八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭

图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形

ABCDEFGH中，点O为正八边形的中心，点P是其内部任意一点，则OAPAOFPA的取值范围

是．

11-2（24-25高一下·上海·阶段练习）如图所示，在扇形AOB中，AOB为锐角，四边形OMPN是平行

∠

四边形，点P在弧AB上，点M，N分别在线段OA，OB上，OP23，OAOB6，记POB=．

∠

π

(1)当时，求OPNB；

6

(2)请写出阴影部分的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最小值．

题型十二、数量积的运算律

1

例12（24-25高一下·上海宝山·期末）若a,b均是单位向量，且ab，则2a3b（）

2

A．7B．7C．6D．6

π

12-1（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知a2，b3，a,b.若对任意的实数，不等式ab³m

3

恒成立，则实数m的最大值为.

12-2（24-25高一下·上海松江·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P

为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PMPN的取值范围是．

题型十三、已知数量积求模

例13（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量a，b，且ab2，ab2，向量c满足

c2a2bab，则c的取值范围是.

2π

13-1（24-25高一下·上海·期中）已知向量a2，b4，a，b的夹角为，则2ab.

3

13-2（24-25高一下·上海普陀·期中）已知平面向量a，b，c满足ab，且a,b,c2,3,4，则abc

的最大值为．

题型十四、向量夹角的计算

例14（24-25高一下·上海·期中）若向量a、b满足aba，且a1，b2，则向量a与b的夹

角为．

2π

14-1（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知平面向量a3，b2，a,b．

3

(1)求ab;

(2)求实数k为何值时，akbkab．

14-2（24-25高一下·上海·期中）设e1与e2均为单位向量.

(1)若e1e20，求向量e13e2与e2的夹角；

oÎxy

(2)若e1与e2的夹角为60，设cxe1ye2（其中x,yR），若c3，求的最大值.

14-3（24-25高一下·上海闵行·期中）已知向量a，b满足a3，b1，设a与b的夹角为，

π

(1)当时，求a与a2b的夹角；

6

(2)若对任意实数x，不等式axb³ab恒成立，求cos的值．

题型十五、垂直关系的向是表示

例15（24-25高一下·上海黄浦·期中）已知e1，e2不共线，当OPxe1ye2时，称有序实数对x,y

为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为x1,y1，x2,y2，对于下列命题：

x1x2y1y2

线段AB的中点的广义坐标为,；

22

①

线段的长度为22；

ABx1x2y1y2

②

向量OA平行于向量OB的充要条件为x1y2x2y1；

③

向量OA垂直于向量OB的充要条件为x1x2y1y20；所有真命题的序号为.

④rrrrrr

15-1（23-24高一下·上海·期中）有以下命题：abab；abcabc；abcacbc；

222①②③

abab；若abab，则ab.则真命题有.

④⑤

15-2（24-25高一下·上海·期中）已知a2,1，b1,3，

(1)求a和a,b；

(2)已知cbka，且ca，求实数k的值.

2π

15-3（24-25高一下·上海普陀·期中）已知向量a，b满足|a|3，|b|6，a,b．

3

(1)求|2ab|；

(2)设kÎR，若(akb)(kab)，求k的值．

题型十六、已知模求数量积

rr

例16（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）已知向量a、b满足ab1，ab1，则ab.

16-1（23-24高一下·上海·期末）在VABC中，AB3,AC4,BAC60o，平面上的点D,E满足

23

ADAB，AAEC，动点P在线段DE上（不含端点）．

34

(1)设DPkDE0k1，用含有k,AD,AE的式子表示AP；

12

(2)设APxAByAC，求的最小值；

xy

(3)求PBPC的最小值．

16-2（22-23高一下·上海·期中）在VABC中，D为BC边上一点，设BDDC．

(1)若2，试用AB，AC的线性组合表示AD；

(2)若1，且AB3，AC4，求ADBC的值．

1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知两个平面向量m、n满足：对任意的ÎR恒有

mn

mmn³，则（）

2

A．mmnB．mnC．mmnD．m2n

2．（21-22高一下·上海宝山·阶段练习）设a,b是非零向量，a0,b0分别是a,b的单位向量，则下列各式中正

确的是（）

A．a0b0B．a0b0或a0b0

|a|a0

C．1D．1

|b|b0

3．（