小学六年级数学上册“百分数应用题（二）”教案

小学六年级数学上册“百分数应用题（二）”教案一、教材与学情分析（一）教材分析【核心素养·重点】本课“百分数应用题（二）”是人教版六年级上册第五单元“百分数”的核心内容，是在学生已经理解了百分数的意义，掌握了百分数与分数、小数的互化方法，以及学习了“求一个数是另一个数的百分之几”和“求一个数的百分之几是多少”等基础百分数应用题之后进行的更深层次的学习57。本课时的主要教学内容是解决“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”以及稍复杂的“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”的问题，并首次系统接触涉及单位“1”内部比例关系变化（如增减幅度问题）的复杂应用题（如课本例5）210。这部分知识不仅是分数应用题“求比一个数多（或少）几分之几”的拓展与延伸，更是连接小学数学与初中代数知识的重要桥梁，对于培养学生的逻辑推理能力、数学建模意识和抽象思维能力具有不可替代的作用4。它要求学生在动态变化的情境中，能够准确辨析单位“1”，理解百分率所表征的实际意义，进而构建正确的数量关系模型。（二）学情分析【难点】六年级的学生已经具备了一定的抽象逻辑思维能力，但对于单位“1”的转换，尤其是在两个不同的单位“1”之间进行换算，仍然存在较大的认知障碍2。例如，当题目中出现“本月比上月增加了10%”，学生能理解这是以上月为单位“1”，但如果紧接着出现“下月又比本月降低了10%”，大部分学生会产生直觉偏差，认为价格回到了原点，而无法洞察单位“1”已经发生了改变。此外，学生在将复杂的文字语言转化为数学语言（线段图、数量关系式）的过程中，依然需要教师的引导和支架式的帮助46。因此，本课的教学必须建立在充分了解学生前备知识掌握程度的基础上，通过创设真实的问题情境，引导学生在认知冲突中主动探究，经历“具体—抽象—具体”的完整思维过程，最终实现对知识的意义建构。二、教学目标与核心素养指向（一）知识与技能【重要】学生能够理解并掌握“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”以及稍复杂的百分数应用题的解题思路和解题方法。能够熟练地分析题目中的数量关系，找准单位“1”，并能根据具体情况选择乘法或除法（或方程）进行正确解答，最终形成解决此类问题的基本策略610。（二）过程与方法【基础】通过自主探究、小组合作等形式，经历知识的迁移、类比和转化的过程。学会借助线段图等几何直观工具分析复杂问题中的数量关系，体验解决问题策略的多样性（如假设法、代数法），并在比较与优化中提升思维的灵活性和深刻性2。（三）情感态度与价值观【核心素养·热点】在具体的生活情境（如商品打折、利率计算、浓度问题、数据统计）中，深刻感受百分数在现实世界中的广泛应用，体会数学的应用价值13。在解决实际问题的过程中，培养严谨求实的科学态度和面对复杂问题时的理性思考习惯，增强学好数学的自信心。三、教学重难点（一）教学重点【高频考点】掌握“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”这类问题的数量关系和解题方法。核心是准确理解百分数的含义，正确找出作为基准量的单位“1”。（二）教学难点【难点】理解在连续增减变化的问题中，由于单位“1”的转换所带来的数量关系的变化。能够灵活运用假设法（设数法）或列方程的方法解决诸如“已知增减幅度，求原量或比较量”的复杂实际问题2。四、教学准备多媒体课件（PPT）、实物投影仪、导学案（含探究任务单）。五、教学实施过程（一）唤醒经验，以旧引新

【基础】上课伊始，教师通过多媒体课件呈现一组复习题，旨在激活学生已有的知识储备，为新知的学习搭建脚手架。第一层次复习“求一个数的几分之几”，第二层次自然过渡到“求一个数的百分之几”，第三层次引入分数应用题的变式，为新课的“比一个数多（少）几分之几”向“比一个数多（少）百分之几”的迁移做好铺垫。

教师首先出示题目：“学校图书馆原有图书1400册，今年购买了一批新书，图书册数增加了3/20。现在图书馆有多少册图书？”引导学生独立思考并口答。学生根据已有经验，很快能说出两种解题思路：一种是先求出增加的册数，再加上原有的册数，即1400+1400×3/20；另一种是先求出现有册数是原来的几分之几，再用乘法计算，即1400×(1+3/20)10。教师在肯定学生的回答后，引导学生回顾解决这类分数应用题的关键步骤：找准单位“1”，分析数量关系。接着，教师顺势将题目中的关键条件进行替换：“如果把‘增加了3/20’改成‘增加了12%’，你还会解答吗？”由此，自然地引出本节课的课题——《稍复杂的百分数应用题》10。（二）自主探究，建构模型（第一层次：求比一个数多（少）百分之几的数是多少）

【重要】教师将复习题进行改编，出示例题的核心部分：“学校图书馆原有图书1400册，今年图书册数增加了12%。现在图书馆有多少册图书？”要求学生尝试独立解答，并在小组内交流自己的思路。

学生通过类比迁移，很快发现其解题方法与分数应用题完全一致。在随后的全班汇报环节，教师请不同思路的学生代表上台展示。学生A展示第一种方法：1400×12%=168（册），1400+168=1568（册）。他解释道：“我先求出今年增加的册数，因为‘增加了12%’就是增加了原有册数的12%，所以用原有的1400册乘12%得到168册，再加上原来的就是现在的。”学生B展示第二种方法：1400×(1+12%)=1400×112%=1568（册）。他的解释是：“我把原来的册数看作单位‘1’，今年增加了12%，那么今年的册数就是原来的（1+12%），也就是112%，求现在有多少册，就是求1400册的112%是多少，所以用乘法。”

【高频考点】教师在学生充分交流的基础上，用多媒体动态演示线段图：用一条线段表示单位“1”（1400册），在线段下面标出“原有：1400册”，然后将线段延长一部分表示增加的12%，延长后的整条线段表示“现在：？册”。通过数形结合，帮助学生直观理解两种解法的内在一致性。教师总结并板书：“无论是先加后乘，还是先乘后加（运用乘法分配律），其核心都是要找准单位‘1’，并理清比较量占单位‘1’的百分比。这就是我们今天要学习的‘求比一个数多（或少）百分之几的数是多少’的问题。”随后，教师将题目变式为“今年图书册数减少了12%”，让学生即时练习，巩固所学，强化“减少”情况下的列式方法：1400×(112%)。（三）认知冲突，深化理解（第二层次：单位“1”的转换与假设法的引入）

【难点】在学生初步掌握基本模型后，教师抛出一个更具挑战性的问题，制造认知冲突，将学习引向深入。教师出示改编自教材例5的问题：“某种商品，4月的价格比3月降了20%，5月的价格比4月又涨了20%。5月的价格和3月比是涨了还是降了？变化幅度是多少？”2

问题一出，很多学生根据生活直觉会不假思索地回答：“没变，降了20%又涨了20%，应该回到了原价。”但也有少数学生面露疑色。教师并不急于评判，而是引导学生以四人小组为单位，带着以下问题进行深入探究：1.题中的两个20%分别是以谁为单位“1”？这两个单位“1”相同吗？2.3月的价格不知道，怎么解决？你能想办法让题目中的数量变得具体可感吗？3.尝试用自己喜欢的方法（如画图、列式）验证你的猜想。

【难点】小组讨论异常激烈。在学生充分探究后，教师组织全班汇报。小组代表C上台，利用投影展示本组的线段图。他们用一条线段表示3月的价格，在线段下面标注“单位‘1’”；然后将这条线段缩短一部分，画出表示4月价格的线段，并标注“比3月降了20%”，意味着4月价格是3月的80%；接着，以4月价格线段为基准（新的单位“1”），将其延长一部分，画出5月价格，标注“比4月涨了20%”，意味着5月价格是4月的120%。线段图清晰地显示出，5月价格和3月价格不在同一条长度基准线上，直观证明了价格并非原价。

小组D则从代数角度进行阐述。他们采用了假设法：“我们假设3月的价格是100元（一个具体的量）。那么4月的价格就是100×(120%)=80元。5月的价格就是80×(1+20%)=96元。最后，用5月的价格96元与3月的100元相比，发现降了4元。降幅是4÷100=4%。所以，5月的价格比3月降了，降了4%。”教师高度赞扬了D组的做法，并指出在单位“1”未知的情况下，赋予它一个具体的数值（假设法），是解决此类问题的金钥匙。

小组E提出了更简洁的假设：“我们假设3月的价格是‘1’（注意这里的1不是1元，而是一个抽象的数值，代表单位‘1’的量）。那么4月价格=1×(120%)=0.8。5月价格=0.8×(1+20%)=0.96。5月价格是0.96，3月价格是1，所以降了(10.96)÷1=0.04=4%。这样计算更简便，不用纠结于具体数字。”教师抓住这一生成，充分肯定了这种将单位“1”抽象为“1”的数学思想，并引导学生比较两种假设法的优劣，使学生认识到在解决此类比例问题时，将单位“1”设为“1”或一个简单的公倍数，往往能起到事半功倍的效果2。

教师进一步追问：“为什么先降20%再涨20%，结果反而降了4%？你能从乘法算式的角度解释吗？”引导学生列出综合算式：1×(120%)×(1+20%)=1×0.8×1.2=0.96。因为(120%)×(1+20%)=1(20%)²=0.96，所以结果总是小于1。由此，学生深刻领悟到，在单位“1”不同的情况下，简单的加减法不能直接套用，必须回归到乘法模型中进行计算。（四）变式训练，触类旁通

【热点】为了巩固学生对单位“1”转换的理解，教师设计了有梯度的变式练习。

第一层次（基础模仿）：出示题目“某种商品，4月的价格比3月涨了20%，5月的价格比4月又降了20%。5月的价格和3月比是涨了还是降了？变化幅度是多少？”学生独立完成后，很快发现结果同样是降了4%2。教师引导学生得出结论：在一个量的基础上先增加百分之几再减少同样的百分之几，最后的结果都比原来小。这是因为单位“1”发生了变化，减少的基数变大了（或变小的基数变小了，但本质是乘积效应）。

第二层次（生活应用）：【高频考点】结合当下热门的经济生活，教师出示问题：“李叔叔打算将10000元存入银行，有两种理财方案。方案A：第一年利率为5%，第二年利率为5%；方案B：第一年利率为6%，第二年利率为4%。请问哪种方案两年后获得的利息更高？”这个问题将百分数应用拓展到了金融领域，需要学生分别计算两种方案的最终本息和。学生在计算中进一步体会了百分数在连续变化中的应用，同时认识到数学在理财规划中的重要作用。

第三层次（逆向思维）：【核心素养·重点】出示题目：“一种商品，先提价20%，后又降价20%，结果比原价便宜了16元。这种商品的原价是多少元？”此题是例5的逆向应用，需要学生根据变化幅度和具体差值反推原价。这要求学生不仅掌握“已知单位‘1’求比较量”，还要能通过方程或除法解决“已知比较量求单位‘1’”的问题，是对学生逆向思维能力的极大挑战。教师引导学生利用上一环节得出的结论（无论先涨后降还是先降后涨，最终价格都是原价的96%），那么降价部分就是原价的4%，而4%对应的具体量是16元，所以原价=16÷4%=400元。通过此题，打通了百分数乘、除法应用题之间的联系，完善了学生的认知结构。（五）分层练习，拓展提升

【基础】教师根据“最近发展区”理论，设计了三层练习，以满足不同层次学生的需求。

基础层（巩固练习）：

1.一台冰箱原价2500元，现在降价15%出售，现价是多少元？

2.小华家去年收花生400千克，今年比去年增产了8%，今年收花生多少千克？

进阶层（变式练习）：

1.【热点】某商场搞促销，一款学习机先提价10%，再降价10%，现在的价格是1980元。这款学习机降价后的价格和原价相比，是涨了还是降了？原价是多少元？（此题为逆向变式，培养学生灵活选择方法的能力）

2.某工厂今年上半年的产量比去年全年增产了5%，下半年的产量又比上半年增产了10%，已知今年全年的产量是2310吨。去年全年的产量是多少吨？

拓展层（综合应用）：

1.【难点】两个书店的《趣味数学》原价都是20元。甲书店打九折出售，乙书店是“买四送一”。王老师要买10本这样的书，去哪个书店买比较合算？请用计算说明理由9。

2.结合本地旅游资源，教师布置了一项实践性作业：搜集近三年本地（如哈尔滨冰雪大世界）的游客数量或旅游收入数据，运用本课所学的百分数知识，分析其变化幅度，并写一份简要的分析报告4。（六）课堂总结，反思升华

教师引导学生从知识、方法和情感三个维度进行回顾总结。

知识层面：学生梳理出本课学习了两种类型的百分数应用题——“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”以及涉及单位“1”转换的连续增减问题。

方法层面：学生归纳出解决复杂百分数应用题的常用策略——画线段图分析数量关系、假设法（设数法）将抽象问题具体化、列方程解决逆向问题等。

情感层面：学生畅谈通过本节课的学习，感受到数学与生活的紧密联系，体会到数学思维的严谨与奥妙。教师最后总结道：“百分数不仅是冰冷的数字，更是火热生活的写照。掌握了百分数这个工具，我们就能更好地理解这个世界的变化，做