2025~2026学年安徽蚌埠北师大等多校联考高二下册6月月考数学试题【含答案】

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A.5 B.6 C.7 D.82.某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名．现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则（）A. B. C. D.3.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.4.某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置了单次抽奖环节：在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品．定义随机变量X：参与者获得环保袋时，未获得时，则（）A. B. C. D.5.从4名男生、3名女生中安排3人分别担任校园文化节活动的宣讲、引导、登记人员，要求男、女生都有，则不同的安排方法共有（）A.343种 B.210种 C.180种 D.36种6.已知函数，，则（）A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增7.甲、乙、丙、丁四人计划6月份去安徽的黄山、宏村、九华山景区游览，每个景区至少去1人，且每人只游览一个景区．在甲游览黄山的条件下，甲、乙不去同一景区的概率为（）A. B. C. D.8.已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（）A. B. C.1 D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各式正确的是（）A. B.C. D.10.已知数列的前n项和为，，且，则（）A.，，成等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列11.将7个小球放入甲、乙、丙3个盒子中，要求每个盒子都不空，设甲、乙、丙中的小球数量分别为a，b，c，随机变量，则（）A.a，b，c的取值共有21种情况 B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量，且，则________．13.已知的展开式中，所有项的系数之和、二项式系数之和分别为729，64，则展开式中的常数项为________．14.若变量，满足，设，则函数的所有极值之和为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机．（1）求该无人机作业成功的概率；（2）若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率．16.已知数列的前n项和为，且满足，．（1）证明：；（2）求的通项公式；（3）证明为定值．17.某校举办公益图书抽盲盒活动，共有A，B两款盲盒，每个盲盒内均有3本图书．该校设置的阅读积分奖励方案如下：若盲盒内有3本经典名著，则为“精品盲盒”，奖励阅读积分20分；若盲盒内有2本经典名著，则为“优质盲盒”，奖励阅读积分10分；若盲盒内的经典名著不超过1本，则为“普通盲盒”，奖励阅读积分5分．为了解盲盒的品质情况，负责人从两款盲盒中各随机抽取100个进行统计，得到如下的频数分布表：A款盲盒中经典名著本数频数分布表本数0123频数10204030B款盲盒中经典名著本数频数分布表本数0123频数10205020（1）从本次抽取的200个盲盒中随机抽取1个，求该盲盒为“精品盲盒”的概率；（2）将频率视为概率，假设每位学生抽取盲盒的结果相互独立，某学生随机抽取A款、B款盲盒各1个，记该学生获得的总阅读积分为X，求X的分布列．18.已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求C的方程．（2）设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．（ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积为定值．（ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．19.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求的取值范围；（3）若存在两个极值点，证明：．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，，，则（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：C解析：解答过程：设的公差为，由，，解得，所以．2.某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名．现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题可知服从超几何分布，所以．3.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题可知，，设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值为.4.某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置了单次抽奖环节：在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品．定义随机变量X：参与者获得环保袋时，未获得时，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题可知仅有两个取值0，1，且，，所以服从两点分布，.5.从4名男生、3名女生中安排3人分别担任校园文化节活动的宣讲、引导、登记人员，要求男、女生都有，则不同的安排方法共有（）A.343种 B.210种 C.180种 D.36种答案：C解析：解答过程：从7人中安排3人分别担任宣讲、引导、登记人员，共有种安排方法，全是男生的安排方法有种，全是女生的安排方法有种，所以符合条件的安排方法有（种）．6.已知函数，，则（）A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增答案：D解析：解答过程：由题可知，的定义域均为，，所以，则，令，得，单调递增，令，得，单调递减，先减后增．7.甲、乙、丙、丁四人计划6月份去安徽的黄山、宏村、九华山景区游览，每个景区至少去1人，且每人只游览一个景区．在甲游览黄山的条件下，甲、乙不去同一景区的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设事件为“甲游览黄山”，事件为“甲、乙不去同一景区”．事件对应的分配方案：甲去黄山景区，剩余3人分配至3个景区，且每个景区至少1人，，事件对应的分配方案：甲去黄山景区且乙不去该景区，①黄山景区仅甲1人，剩余3人分为2组分配至另外2个景区，有种方案，②黄山景区有甲和1名其他成员（丙或丁），剩余2人分配至另外2个景区，有种方案，所以．所以．8.已知直线（k为常数）与圆相离，P是l上的动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．若，则（）A. B. C.1 D.答案：B解析：解答过程：由题可知，圆的半径为3．设，由题可知，．设与交于点．由，可得，则，因为取最小值的充要条件是取最小值，的最小值为圆心到的距离，即，所以，解得，此时满足与圆相离．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各式正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A，，故A正确；对于B，，，所以，故B错误；对于C，，，或者直接计算，左边，右边，故C正确；对于D，，故D正确．10.已知数列的前n项和为，，且，则（）A.，，成等差数列 B.是等比数列C.是等比数列 D.是等比数列答案：ABC解析：思路：分别求出，，，再根据等差数列的判定即可判断选项A；先根据递推关系，及等比数列的判定，即等比数列前n项和公式即可判断选项B，C，D．解答过程：A，因为，所以，，，又，所以，，成等差数列，故A正确；B，由，得，又，则，所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确；C，结合选项B，有，又，所以是首项为，公比为的等比数列，故C正确；D，结合选项B，有，又，，所以，则，所以不是等比数列，故D错误．11.将7个小球放入甲、乙、丙3个盒子中，要求每个盒子都不空，设甲、乙、丙中的小球数量分别为a，b，c，随机变量，则（）A.a，b，c的取值共有21种情况 B.C. D.答案：BD解析：思路：对A，利用隔板法求解；对B，由题可得，根据古典概率公式求出，判断；对C，分别求出取值为3，4，5的概率，根据期望公式求解；对D，根据方差公式求解.解答过程：对于A，由题可知，且，将7个小球排成一列可形成6个间隙，插入2块隔板将7个小球分成3部分，每部分的小球数即为，，的取值，因此，，的取值共有种情况，故A错误；对于B，由题可知的所有可能取值为3，4，5，当时，，，的取值有两种情况：①，，中有1个是3，余下2个都为2，则有种情况，②，，中有2个是3，余下1个为1，则有种情况，所以，当时，，，中有1个是4，余下2个分别为1，2，则有种情况，，所以，故B正确；对于C，当时，，，中有1个是5，余下2个都是1，则有种情况，，所以，故C错误；对于D，，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量，且，则________．答案：解析：解答过程：因为，由正态分布的对称性可知，所以．13.已知的展开式中，所有项的系数之和、二项式系数之和分别为729，64，则展开式中的常数项为________．答案：240解析：思路：根据二项式系数和，得到的值，令，解得，再写出二项式的展开式的通项，令的指数为，即可得到.解答过程：由题可知，所有项的二项式系数之和为，解得，令，得，解得，所以的展开式的通项为，令0，解得，所以常数项为．14.若变量，满足，设，则函数的所有极值之和为________．答案：解析：思路：先构造新函数，再求导数得出函数单调性进而得出极值点及极值求解.解答过程：由原方程变形为，即

，整理得

，所以．设，则在上单调递增，故，又，所以，即，所以，则，令，可得或，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故，极大值，所以的所有极值之和为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机．（1）求该无人机作业成功的概率；（2）若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率．答案：（1）0.95（2）0.2．解析：思路：（1）先设事件，再由全概率公式求出无人机作业成功的概率.（2）由条件概率公式求解即可.（1）设事件表示“选到甲品牌无人机”，事件表示“选到乙品牌无人机”，事件表示“选到丙品牌无人机”，事件表示“无人机作业成功”．根据全概率公式得．故该无人机作业成功的概率为0.95．（2）由题意得．故该无人机是丙品牌的概率为0.2．16.已知数列的前n项和为，且满足，．（1）证明：；（2）求的通项公式；（3）证明为定值．答案：（1）①，当时，②，①减②，得．当时，，因此．经验证，当时，也符合关系式，故．（2）．（3）由（2）可知，，又，，为定值．解析：思路：（1）由递推关系得出，代入验证得出时成立，进而证明结论；（2）由变形得出，得出是等比数列，进而列出通项公式求解；（3）先求出，再利用，代入求解．（1）略（2）由，可得，数列是首项为，公比为3的等比数列，，．（3）略17.某校举办公益图书抽盲盒活动，共有A，B两款盲盒，每个盲盒内均有3本图书．该校设置的阅读积分奖励方案如下：若盲盒内有3本经典名著，则为“精品盲盒”，奖励阅读积分20分；若盲盒内有2本经典名著，则为“优质盲盒”，奖励阅读积分10分；若盲盒内的经典名著不超过1本，则为“普通盲盒”，奖励阅读积分5分．为了解盲盒的品质情况，负责人从两款盲盒中各随机抽取100个进行统计，得到如下的频数分布表：A款盲盒中经典名著本数频数分布表本数0123频数10204030B款盲盒中经典名著本数频数分布表本数0123频数10205020（1）从本次抽取的200个盲盒中随机抽取1个，求该盲盒为“精品盲盒”的概率；（2）将频率视为概率，假设每位学生抽取盲盒的结果相互独立，某学生随机抽取A款、B款盲盒各1个，记该学生获得的总阅读积分为X，求X的分布列．答案：（1）（2）解析：1015202530400.090.270.20.150.230.06思路：（1）根据古典概型公式求解即可；（2）先根据题意得到随机变量的所有可能取值，再求出各值的概率即可得到其分布列．（1）由频数分布表可知，本次抽取的200个盲盒中，A款中“精品盲盒”的数量为30个，B款中“精品盲盒”的数量为20个，因此“精品盲盒”的总数量为个．故所求概率为．（2）分别计算，两款盲盒获得对应积分的概率：记款盲盒获得对应积分，款盲盒获得对应积分，则，，．，，．因此的所有可能取值为，，，，，．，，，，，．因此的分布列为1015202530400.090.270.20.150.230.0618.已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求C的方程．（2）设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．（ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积为定值．（ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（ⅰ）由（1）得的右焦点为，由题知的斜率存在且不为0，设的方程为，，．联立方程得消去，可得，则，．设的中点为，则，因为，所以．因为，，所以，即直线与的斜率之积为定值；（ⅱ）不存在.解析：思路：（1）由的离心率可得，设的方程为，将点代入的方程，求出，即可得出答案.（2）（ⅰ）设的方程为，联立直线与椭圆的方程，表示出的中点为，用表示出，由此计算即可证明；（ⅱ）以，为邻边的平行四边形为矩形的一个必要条件是，由，可知不存在以OA，OB为邻边的平行四边形为矩形.（1）设的半焦距为．由的离心率，得，又，得，因此的方程为，由点在上，可得，解得．因此，，故的方程为．（2）