2025~2026学年安徽芜湖皖江中学高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的虚部为（）A.4 B. C. D.22.下列几何体为旋转体的是（）A.三棱锥 B.四棱台 C.六棱柱 D.圆台3.已知向量，若，则实数（）A. B. C. D.4.如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（）A. B. C. D.5.设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（）A. B. C.3 D.46.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）A. B. C. D.7.已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.8.如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）等级计算方法A.米 B.米 C.米 D.米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正四棱柱的侧面都是正方形B.棱台的侧棱延长后交于一点C.正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形D.四面体的每个侧面都是等边三角形10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（

）A.为实数 B.C.若，则 D.11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有一个B.若，则是等边三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则为等腰三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数是纯虚数，则的值为__________.13.已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________．14.在中，点分别是的三等分点，且，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若，求；（2）若，，，求．16.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足（1）求的值；（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.17.已知非零向量，满足，且，.（1）求的值；（2）证明：；（3）设与的夹角为，求及的值.18.在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，的面积为．（ⅰ）求的周长；（ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长．19.如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点.（1）如图1，延长交于点Q.（i）若，求的值；（ⅱ）若，，，求的余弦值；（2）如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的虚部为（）A.4 B. C. D.2答案：D解析：解答过程：因为，所以的虚部为2.2.下列几何体为旋转体的是（）A.三棱锥 B.四棱台 C.六棱柱 D.圆台答案：D解析：思路：根据旋转体定义得解.解答过程：在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体.故选：D.3.已知向量，若，则实数（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用向量共线定理求解即可.解答过程：由，知，解得.故选：D.4.如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则，中，，，．5.设，是两个不共线的向量，且，，，若A，C，D三点共线，则m的值为（）A. B. C.3 D.4答案：A解析：解答过程：因为，，所以，又，所以，又，，三点共线，所以，解得，故选A．6.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设球的半径为，则球的体积，又圆柱的底面直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积V2所以圆柱与球的体积之比为V27.已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用投影向量公式和数量积的运算即可求出结果.解答过程：由，得，即，所以，又，所以，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B8.如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）等级计算方法A.米 B.米 C.米 D.米答案：D解析：解答过程：在中，，在中，，在中，米.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正四棱柱的侧面都是正方形B.棱台的侧棱延长后交于一点C.正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形D.四面体的每个侧面都是等边三角形答案：BC解析：思路：根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项.解答过程：正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误；用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确；正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确；四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误.10.已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（

）A.为实数 B.C.若，则 D.答案：ABD解析：思路：设复数，然后逐个分析判断即可.解答过程：对于A，设复数，则，则，为实数，故A正确；对于B，，，则，故B正确；对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误；对于D，，则，，则，则，故D正确.故选：ABD.11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，，，则符合条件的有且仅有一个B.若，则是等边三角形C.若，则是锐角三角形D.若，则为等腰三角形答案：BCD解析：思路：由余弦定理解得第三边长可判断A；由余弦函数的值域可判断B；利用等式变形为边长间关系可得C；先由正弦定理边化角和平方关系得到，再结合余弦型函数的单调性可得D.解答过程：由余弦定理得，即，解得，故符合条件的有两个，A错误；由于，所以，故0，整理得，所以为等边三角形，B正确；因为，所以，，所以是锐角三角形，C正确；由正弦定理及，得，所以，即，显然，，函数在，上单调递增，且当时，，当时，，由，可得，是等腰三角形，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数是纯虚数，则的值为__________.答案：解析：解答过程：因为是纯虚数，所以且，解得.13.已知正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，则该棱台的表面积为________．答案：186解析：解答过程：因为正四棱台的上、下底面边长分别是3cm和9cm，侧棱长为5cm，所以棱台的斜高为52所以该棱台的表面积为3214.在中，点分别是的三等分点，且，则__________.答案：6解析：思路：利用向量基本定理和向量数量积运算法则进行求解解答过程：记的中点为，则为的中点，，，所以，同理可得，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若，求；（2）若，，，求．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，由余弦定理得cosC（2）因为，且，所以，由正弦定理得，所以sinB16.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足（1）求的值；（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）令且，根据已知等量关系得，进而求复数的模；（2）由已知有，结合其所在象限列不等式组求参数范围.（1）令且，则，所以，则，可得，所以，则；（2）由，故对应点在第三象限，则，所以，即.17.已知非零向量，满足，且，.（1）求的值；（2）证明：；（3）设与的夹角为，求及的值.答案：（1）；（2）证明见解析；（3），.解析：思路：（1）由条件，结合数量积的运算律求；（2）由条件根据数量积运算律求，再计算，由此证明结论；（3）根据模的性质和数量积运算律求，根据向量夹角公式求.（1）因为，所以，故，又，所以，（2）因为，所以，又，所以，所以，所以；（3）因为，所以，因为，又，，，所以.18.在中，内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若，的面积为．（ⅰ）求的周长；（ⅱ）若点是边上的一点，记的面积为，的面积为，求当取得最小值时，的长．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）．解析：思路：（1）由已知三角等式结合正弦定理化角为边,整理变形凑出余弦定理形式,算出,由得.（2）（ⅰ）代入用三角形面积公式求出边长,再由余弦定理求边,三边相加得周长.（ⅱ）设上线段比例,由同高三角形面积比等于底边比,表示出,乘后用基本不等式求最值,确定的值,先由余弦定理求,再在中用余弦定理算出长.（1）因为sin由正弦定理，为外接圆半径.所以b−c=所以，又，所以．（2）（ⅰ）S△ABC=由余弦定理，得，所以，所以的周长为a+b（ⅱ）设，，，，，所以，则，所以，同理可得，所以:9≥2当且仅当，即，时等号成立，所以CD=74．又在中，cosC=在，AD2=所以AD=19.如图，在中，是边上靠近点B的三等分点，O是的中点.（1）如图1，延长交于点Q.（i）若，求的值；（ⅱ）若，，，求的余弦值；（2）如图2，E，F分别是边，上的动点，且E，O，F三点共线，求的取值范围.答案：（1）（i）；（ⅱ）（2）.解析：思路：（1）（i）结合图象根据向量线性运算法则可得，设，根据向量