高中数学 加练 专题8　第90练　探索性问题

第90练探索性问题(分值：30分)1.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面(1)探索常数的存在性；(2)探索点的存在性；(3)探索最值的存在性；(4)探索曲线的存在性；(5)探索命题是否成立等.2.圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略(1)先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；(2)在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证.在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别.1.(15分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0(1)求C的方程；(5分)(2)若A，B分别是C的左、右顶点，设直线x=5与x轴交于点P，点Q是直线x=5上不同于点P的一点，直线BQ与C交于另一点M，直线AM与x=5交于点N，是否存在点Q，使得∠QAN=∠PMN？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.(10分)解(1)由题意知c=1，且椭圆C过点3，即a2-b2=1，3a2+3解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为x24+y(2)假设存在点Q，使得∠QAN=∠PMN，则AQ∥PM，∴kAQ=kPM.设Q(5，y0)，M(x1，y1)，又A(-2，0)，B(2，0)，P(5，0)，则kAQ=y07，kPM=y1x1-5∴y07=直线BQ的方程为y=y03(x-2∵点M(x1，y1)在直线BQ上，∴y1=y03(x1-2)，∴y0∵点Q是直线x=5上不同于点P的一点，∴y0≠0，∴17=x解得x1=-14∵点M(x1，y1)在椭圆C上，∴164+y1解得y1=3218或y1=-3当y1=3218时，解得y0=-21当y1=-3218时，解得y0=∴存在点Q，使得∠QAN=∠PMN，点Q的坐标为5，2122.(15分)已知点A(0，-3)，B(0，3)，曲线E上的点M与A，B两点的连线的斜率分别为kAM和kBM，且kAM·kBM=34(1)求曲线E的方程；(5分)(2)是否存在一条直线l与曲线E交于P，Q两点，以PQ为直径的圆经过坐标原点O.若存在，求出1|OP|2+1|OQ|2解(1)设点M的坐标为(x，y)，则kAM=y+3x，kBM=y-3由题意可得y+3x·y化简得y23-x所以曲线E的方程为y23-x24=1(x(2)①若直线l的斜率存在，设l：y=kx+m，由y得(4k2-3)x2+8kmx+4m2-12=0，则4k2-3≠0，Δ=64k2m2-4(4k2-3)(4m2-12)>0，即m2+4k2-3>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=-8km4k2-3，x1因为以PQ为直径的圆经过原点O，所以OP⊥OQ，则OP·OQ=0，即x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得12(1+k2)=m2，1|OP|2+1|OQ|设h为点O到直线l的距离，则|OP|·|OQ|=|PQ|·h，所以1|OP|2+1|OQ|2=所以1|OP|2+1|OQ|②若直线l的斜率不存在，则kOP=±1，不妨设kOP=1，则xP=yP>3，代入方程y23-x24=1所以|OP|2=