2025~2026学年福建厦门沧江高级中学高一下册5月期中考试数学试题【含答案】

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列物理量中不是向量的是（）A.重力 B.时间 C.加速度 D.位移2.已知复数，，则（）A. B. C. D.3.在中，内角的对边分别为．若，则（）A.7 B. C. D.24.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（

）A.12 B.24 C. D.5.在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（）A. B. C. D.6.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.异面 D.垂直7.已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.8.如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（

）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知复数，则下列叙述正确的是（）A.的实部为1 B.的共轭复数为C. D.10.初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（）A.舰艇所需的时间为1小时 B.舰艇所需的时间为2小时C. D.11.如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则在三棱锥中，下列说法正确的是（）A.的面积与点，的位置无关B.三棱锥的体积与点的位置有关C.三棱锥的体积与点，，的位置都有关D.三棱锥的体积与点，，的位置均无关，是定值三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.为虚数单位，则______.13.如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______．14.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求的值.16.如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系．17.在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．（1）求角A；（2）若，求的长．18.如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）若，，求直线与平面所成角的正弦值.19.阅读下面的两个材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式.现已知的三条边为，，，请你解答下面问题：（1）根据海伦公式求这个三角形的面积；（2）若为边上的中点，求中线的长度；（3）请根据秦九韶公式，证明海伦公式.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.下列物理量中不是向量的是（）A.重力 B.时间 C.加速度 D.位移答案：B解析：解答过程：向量既有大小又有方向.时间只有大小，没有方向.故选B.2.已知复数，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的加法法则可得出复数的值.解答过程：因为复数，，则.3.在中，内角的对边分别为．若，则（）A.7 B. C. D.2答案：B解析：思路：借助余弦定理计算即可得.解答过程：，则.故选：B.4.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（

）A.12 B.24 C. D.答案：A解析：解答过程：根据斜二测画法的等量关系可知为直角三角形，且，，，所以的面积为．5.在中角所对的边分别是，若，则的面积等于（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据三角形的面积公式求得正确答案.解答过程：依题意，.6.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.异面 D.垂直答案：B解析：思路：将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案.解答过程：由题意可将展开图还原为如图的正方体，故.故选：B7.已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意求出圆锥底面半径，再根据体积公式计算.解答过程：设圆锥底面半径为，则由题意可得，，则，则该圆锥的体积为.故选：A8.如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（

）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图，以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则，所以.设，则．所以．由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上，所以，所以的取值范围是．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.已知复数，则下列叙述正确的是（）A.的实部为1 B.的共轭复数为C. D.答案：ABC解析：解答过程：对于A，的实部为1，正确；对于B，的共轭复数为，正确；对于C，，正确；对于D，，错误.10.初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给.若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则（）A.舰艇所需的时间为1小时 B.舰艇所需的时间为2小时C. D.答案：AD解析：思路：设出所需时间，分别表示,在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得的值，即可判断结果.解答过程：如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则.根据余弦定理得，解得或（舍去），故.由正弦定理得，解得故选：AD.11.如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则在三棱锥中，下列说法正确的是（）A.的面积与点，的位置无关B.三棱锥的体积与点的位置有关C.三棱锥的体积与点，，的位置都有关D.三棱锥的体积与点，，的位置均无关，是定值答案：AD解析：思路：对于A：根据平行、垂直关系分析可知为矩形，即可得的面积，即可得判断正误；对于BCD：根据题意利用转换顶点法求三棱锥的体积，即可得判断正误.解答过程：连接，对于选项A：因为∥，且，可知为平行四边形，且平面，平面，则，可知为矩形，所以的面积，即的面积为定值，与点，的位置无关，故A正确；对于选项BCD：因为平面，且平面∥平面，可知三棱锥的高为，所以三棱锥的体积，即三棱锥的体积为定值，与点，，的位置均无关，故D正确，BC错误；故选：.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.为虚数单位，则______.答案：解析：思路：利用复数的除法求解即得.解答过程：.故答案为：13.如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则______．答案：解析：思路：借助向量线性运算法则计算即可得.解答过程：.故答案为：.14.勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为4，则勒洛三角形的面积为________.答案：解析：解答过程：因为正三角形的边长为4，所以任意一个扇形的面积为，又因为是正三角形，易得高，则，所以勒洛三角形的面积.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，（1）若，求的值；（2）若，求的值.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解，（2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解.（1）由题意知（2），，16.如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系．答案：（1）证明见解析；（2）平面平面，证明见解析.解析：思路：（1）连接，交于，易得，再由线面平行的判定证明结论；（2）先证，利用线面平行的判定得平面，结合（1）及面面平行的判定证明面面平行.（1）连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点，又E为的中点，则，平面，平面，所以平面；（2）平面平面，证明如下：由F为的中点，连接；E为的中点，易知，所以为平行四边形，则，由平面，平面，则平面，由（1）平面，且，平面，所以平面平面.17.在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．（1）求角A；（2）若，求的长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得，即得角A；（2）利用三角形角平分线定理求出，再根据面积相等列方程，求解即得的长.（1）由和正弦定理，可得，因，则，即，因为，则得，因，则．（2）如图，因是的平分线，则，解得，又，则，即，解得.18.如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）若，，求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）解析：（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以，又因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以平面平面.（3）过作于，连接，如图所示，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以是直线与平面所成的角，在中，由等面积法得而所以，在中，，故直线与平面所成角的正弦值为.19.阅读下面的两个材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》（或称《测地术》）中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式.现已知