2025~2026学年福建省厦门市双十中学高一下册第二次月考模拟（6月）数学试题【含答案】

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.2.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为，小华调查的样本量为100，平均数为．则下列说法正确的是（）A.小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数B.小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数C.将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数D.样本平均数具有随机性，以上说法均不对3.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.754.如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（）A. B. C. D.5.从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A. B. C. D.6.如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为.若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为.设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是（）A.与为互斥事件 B.与相互独立C.与为互斥事件 D.与相互独立7.以△ABC为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则=（）A. B. C. D.8.在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（）A.B.C.D.若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为10.如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（）A.满足平面的点P的轨迹长度为B.满足的点P的轨迹长度小于C.存在点P满足D.存在点P满足11.已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（）A.若是中点，B.若，则C.与不共线D.若，则.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为__________.13.已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为___________.14.在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．四、解答题15.在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为的中点，，，求.16.如图，三棱台中，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角为60°，求直线AC1与平面BCC1B，所成角的正弦值.17.在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）（2）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率．18.某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略.（1）若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率；（2）若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率；（3）应该在第一局选择哪种策略？为什么？19.如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）．（1）当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值；（2）在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值；（3）在翻折过程中，求二面角的最大值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，故，解得，故选C．2.在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样和按比例分层抽样调查，小明调查的样本量为200，平均数为，小华调查的样本量为100，平均数为．则下列说法正确的是（）A.小明抽样的样本容量更大，所以更接近总体平均数B.小华使用的抽样方法更好，所以更接近总体平均数C.将两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数165.7更接近总体平均数D.样本平均数具有随机性，以上说法均不对答案：D解析：思路：根据简单的随机抽样和分层抽样得定义以及平均数得定义我们会发现样本平均数具有随机性，不确定性，故而选项可判定.解答过程：抽样的样本容量大但有时不具有代表性，不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项A错误：使用分层的抽样方法样本更具有代表性，但样本容量太小也不能得到样本平均值更接近总体平均数，故选项B错误：两人得到的样本平均数按照抽样人数取加权平均数同样兼具两者的不确定性，故选项C错误;通过对上面三个选项的分析可知样本平均数具有随机性，故选项D正确；故选：D.3.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75答案：B解析：思路：利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出．解答过程：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：．故选：B．4.如图，在正四面体中，分别是与的中点，设和所成角为，则的值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作平行线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求.解答过程：如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且，所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角），若四面体的棱长为1，则，所以，，.在中，即.故选：A5.从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先列举出从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，共有10种取法，再求出取出的三条线段能构成一个三角形的情况有2种，根据古典概型的概率公式即可.解答过程：从长度为1，3，6，9，10的5条线段中任取3条，可能的情况有：共有10种可能，其中，能构成三角形的只有共2种可能，故这三条线段能构成一个三角形的概率为故选:6.如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为.若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为.设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是（）A.与为互斥事件 B.与相互独立C.与为互斥事件 D.与相互独立答案：D解析：思路：根据互斥事件、独立事件的知识进行分析，由此确定正确答案.解答过程：与不可能同时发生，为互斥事件，A选项正确.B选项，，所以，所以与相互独立，B选项正确.与不能同时发生，为互斥事件，C选项正确.D选项，，所以，所以与不是相互独立事件，D选项错误.故选：D7.以△ABC为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则=（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由题意画出图形，把正三棱锥的体积比转化为高的比，然后通过求解直角三角形得到两三棱锥高的关系得答案．解答过程：如图，正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，设到底面的距离为，到底面的距离为，则，取的中点，连接，，，记与平面的交点为，由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，记其中点为即为球心，且由题意可知，为正三角形的中心，因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，由，，，且为的中点，可得，，，则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，，，记球的半径为，于是，在中，由勾股定理可得，，解得，于是，则,．故选：C．8.在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解．解答过程：已知，由共线，设，，故，，则，，，故，故；设，则，即，则，，解得，由得出，故，由知，设到的距离为，则，由知，设到的距离为，则，即，．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（）A.B.C.D.若、相互独立，则和至少有一个发生的概率为答案：ACD解析：思路：由已知易求得判断A；若，计算可判断B；由，，计算可判断C；利用相互独立事件的概率公式计算可判断D.解答过程：因为，所以，故A正确；若，则，故B错误；若，则，若，则，所以，故C正确；若、相互独立，则也相互独立，所以，所以和至少有一个发生的概率为，故D正确.故选：ACD.10.如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为底面上的动点（包括边界），则（）A.满足平面的点P的轨迹长度为B.满足的点P的轨迹长度小于C.存在点P满足D.存在点P满足答案：AC解析：思路：构造面面平行，确定点轨迹，求其长度，判断A的真假；确定P的轨迹，根据弧长与弦长的关系判断B的真假；取特殊点验证C的真假；转化为两点之间直线段最短求的最小值，可判断D的真假.解答过程：对A：如图：取中点，中点，连接，则易证平面平面，此时平面，故平面时，点的轨迹为线段.因为正方体棱长为2，所以，故A正确；对B：如图：因为，且，所以，此时点轨迹为以为圆心，半径为的圆在正方形内的部分，易得分别为，中点，所以，故劣弧的长度大于，故B错误；对C：如图：当为正方形中心时，，，，所以，所以，故C正确；对D：如图：做点关于平面的对称点，则在直线上，且，连接，则，且.故D错误.故选：AC方法提示：关键点点睛：对B选项，一定要弄清楚点的轨迹.11.已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（）A.若是中点，B.若，则C.与不共线D.若，则.答案：ABD解析：思路：对于A，由重心性质可判断；对于B，设AB中点为，连接，计算可判断；对于C，计算可得，可判断；对D，根据垂心的性质推导可得，再设，根据已知可得，同理可得，再根据向量的夹角公式求解即可.解答过程：对于A：因为是中点，所以是边上的中线，又是的重心，所以，故A正确；对于B：因为O为的外心，设AB中点为，连接，则所以，B正确；对于C：因为所以与垂直，又因为，所以与共线，故C错误；对于D：因为H为的垂心，则，即，即，则，同理，，所以，设，因为，所以，即，则，，即，则，，，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数：则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为__________.答案：解析：思路：根据题中的条件，找出20个随机数中表示三天中有两天下雪的随机数，确定其个数，利用古典摡型的概率计算公式，即可求解.解答过程：在20组随机数中，找出三位数中有2个数字为，或的即可，故表示三天中有两天下雪的随机数有：，共有9个，根据古典摡型的概率计算公式，可得该地未来三天中恰有两天下雪的概率为.故答案为：13.已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据的平均数为___________.答案：解析：思路：根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，结合方差公式可得，解可得，结合平均数的性质分析可得答案．解答过程：解：根据题意，设样本数据、、、、的平均数为，其方差，又，则有，解可得，则样本数据、、、、的平均数为；故答案为：．14.在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．答案：①.②.解析：思路：根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出；设，，，则，，根据正弦定理，得到，，求出，得到，表示出，求出最值，即可得出结果.解答过程：因为，所以，即，又因为，所以；设，，，则，，由正弦定理可得，，又，由，得．因为，所以，因为，所以，所以当时，取得最大值，此时，所以，；答案为：；.方法提示：本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.四、解答题15.在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若为的中点，，，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题设条件及正弦定理求得，求得，即可求解；（2）先利用同角三角函数平方关系得到，在中，由正弦定理得，得.因为为中点，得.在中，由余弦定理计算得到答案；（1）由正弦定理得，即所以，所以.又，得，因为，所以（2）解法1：因为，所以.在中，由正弦定理得，即，得.因为为中点，所以..在中，由余弦定理得，所以.解法2：因为，所以.在中，由正弦定理得，即，得.因为为中点，所以.，在中，由正弦定理得，即，得.在中，由余弦定理得，所以.16.如图，三棱台中，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角为60°，求直线AC1与平面BCC1B，所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先证明为矩形，进而根据线面垂直的判定证明平面即可；（2）取中点，连接，根据线面垂直的性质可得二面角的平面角即为，设，根据勾股定理得，根据余弦定理可得，再根据线面垂直的性质与判定证明平面，进而求解即可（1）取中点，连接.因为，则，又，且，故为矩形，故.又，故，又平面，故平面，又平面，故（2）由（1）因为平面，故二面角的平面角即为.取中点，连接.设，则，，，,，故.故，所以，又平面，故，又，故平面，故平面，故直线AC1与平面BCC1B，所成角的为.故，即直线AC1与平面BCC1B，所成角的正弦值为17.在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，某校从高一年级中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值．若根据这次成绩，学校建议成绩排名前的学生选报物理，成绩排名后的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的物理成绩应不低于多少分较为合适？（小数点后保留一位）（2）现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试．考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成绩从高到低依次有A＋，A，B三个等级，若两个模块成绩均为A＋，则直接参加；若一个模块成绩为A＋，另一个模块成绩为A，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加．现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；乙在每个模块考试中取得A＋，A，B的概率分别为，，；甲、乙在实验操作中通过的概率分别为，．求甲、乙至少有一个人能参加物理竞赛的概率．答案：（1），不低于分（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图的性质求解即可；（2）先利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能参加物理竞赛的概率，然后利用独立事件乘法概率公式求解即可.（1）依题意得，，又，所以第分位数位于，且，他的物理成绩应不低于分较为合适．（2）依题意甲能参加物理竞赛的概率，乙能参加物理竞赛的概率，二人互不影响，所以甲、乙至少有一人能参加物理竞赛的概率为:.18.某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略.（1）若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率；（2）若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率；（3）应该在第一局选择哪种策略？为什么？答案：（1）（2）（3）应在第一局选择保守策略，理由见解析解析：思路：（1）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案；（2）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案；（3）比较（1）（2）问两个概率的大小即可得到答案.（1）第一局采取保守策略：情况1：第一局胜（概率），此时比分，若第二局选保守：胜率；败率，进入第三局选择激进策略（胜率）若第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率），比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：，由于，第二局应选保守策略，胜率为，情况2：A第一局败（概率），此时比分若第二局选保守：胜率；进入第三局选择激进策略（胜率），若第二局选激进：胜率；第三局选择激进策略（胜率），比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：，由于，第二局应选激进策略，胜率为，综上，第一局保守策略的总胜率.（2）第一局采取激进策略：情况1：第一局胜（概率），此时比分，第二局选保守：胜率；败率，