2025~2026学年广东深圳科学高中高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知角的终边过点且，则（）A.3 B.4 C. D.3.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A. B. C.6 D.124.如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（）A. B.C. D.5.已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则6.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（）A. B. C. D.7.已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（）A.3 B. C.4 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z满足，则（

）A. B.C. D.的最大值为210.已知函数，则下列说法正确的是（

）A.的最小正周期是B.的图象的一个对称中心是C.在上单调递增D.将图象上所有点向右平移个单位长度可得到一个奇函数的图象11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（

）A.三棱锥的体积为定值B.直线与直线所成角的余弦值为C.的最小值为D.点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.13.已知均为锐角，且，，则________.14.若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，，向量，，，且，．（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值．16.已知函数．（1）求函数在区间上的最值及对应的x的取值；（2）当时，求函数的单调递减和递增区间．17.如图所示，在多面体中，四边形是正方形，，，，，，为的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面；（3）求四面体的体积.18.在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.（1）求角的值；（2）若，，求；（3）若，点，在线段上，且，问当取何值时，的面积最小，并求出面积的最小值.19.如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，.（1）证明：三棱柱是直三棱柱；（2）若，求平面截三棱柱所得截面的面积；（3）是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：解答过程：设z=i−1复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．2.已知角的终边过点且，则（）A.3 B.4 C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解.解答过程：角的终边过点且，所以且，解得.故选：B.3.已知向量，在方向上的投影向量为，则（）A. B. C.6 D.12答案：A解析：思路：根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.解答过程：依题意，在方向上的投影向量为，则，而，所以.故选：A4.如图，点为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据线面平行、面面平行的判定定理及性质即可判断.解答过程：对于A选项，如图①所示，在正方体中，且，因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面，同理可证平面，因为平面，所以平面平面，因为平面，故平面,故A满足；对于B选项，如图②所示，连接，在正方体中，且，因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，故，因为分别为的中点，则，所以，因为平面平面，所以平面，故B满足；对于C选项，如图③所示，在正方体中，取的中点，连接，因为且分别为的中点，所以且，故四边形为平行四边形，则，因为分别为的中点，所以，则，所以四点共面，因为且，则四边形为平行四边形，所以，因为分别为的中点，则，所以，因为平面平面，所以平面故C满足；对于D选项，如图④所示，在正方体中，取的中点，连接，因为且分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，则，因为分别为的中点，所以，故，所以四点共面，同理可证，故，同理可得，反设平面，因为，且平面，则平面，但与平面有公共点，这与平面矛盾，故平面，故D不满足.故选：D.5.已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：C解析：思路：根据线面位置的判定逐一判断即可.解答过程：选项A：若，，或，A错误.选项B：若，，则或，B错误.选项C：因为，，则或，又因为，故，C正确；选项D：若、，故，D错误..6.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，在中，，，所以.在中，，，所以，由正弦定理，.又为等腰直角三角形，所以.故选项B正确.7.已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论．解答过程：∵，∴时，，∵在区间内有最大值，但无最小值，令，结合图象，∴，解得．故选：B．8.中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（）A.3 B. C.4 D.答案：B解析：思路：根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案.解答过程：设外接圆半径为，由正弦定理得，所以，由圆的性质得，=−2×，所以当，即，即时，取得最大值，最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z满足，则（

）A. B.C. D.的最大值为2答案：BCD解析：解答过程：∵i=1，取，则，故A错误；由复数模的性质可知，，故B正确；，，则，∴z∵z∴z|z+1|=z−−1在以为圆心，半径的圆上，圆心到的距离为，则圆上点到定点的距离最大值为r+10.已知函数，则下列说法正确的是（

）A.的最小正周期是B.的图象的一个对称中心是C.在上单调递增D.将图象上所有点向右平移个单位长度可得到一个奇函数的图象答案：BC解析：解答过程：余弦函数最小正周期，故A错误；余弦函数的对称中心为，令，解得，当时，，此时，则是函数的一个对称中心，故B正确；余弦函数的单调递增区间为，当时，，，在上单调递增，即在上单调递增，故C正确；把图象上所有点向右平移个单位长度得：，，是偶函数，故D错误．11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（

）A.三棱锥的体积为定值B.直线与直线所成角的余弦值为C.的最小值为D.点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为答案：ABD解析：思路：根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据AP+MP≥AM可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形MGHSTR，知D正确.解答过程：对于A，连接，四边形为正方形，，平面，平面，，∵BB1,B1D1⊂点到平面的距离d=12A又S△∴VP−对于B，延长至点，使得C1N=C1∵C1N=C四边形为平行四边形，，异面直线与所成角即为（或其补角），∵A1C=2∴cos直线与直线所成角的余弦值为，B正确；对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示，∵AP+MP≥AM（当且仅当为线段与交点时取等号），∵B1C1=，为等边三角形，∴∠AB1，∴AM∴AP+MP对于D，，，，平面，平面，又平面，；同理可证得：，，平面，平面；取中点，连接MG,MR，∵MG//B1D1//BD，平面，平面，∵MR//BC1，平面，平面，平面，∵MG∩MR=M，MG,MR⊄平面作出平面截正方体所得的截面MGHSTR，其中H,S,T分别为DD1,平面，平面MGHSTR，则当平面MGHSTR时，，点的轨迹即为正六边形MGHSTR，点的轨迹长度为6MG=62，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.答案：解析：思路：由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可.解答过程：设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为，所以圆台的体积为.13.已知均为锐角，且，，则________.答案：##0.6解析：思路：求出的值，再利用两角和差公式展开，联立方程求出与的关系，即可得到的值.解答过程：因为均为锐角，即，，所以，.，故，则：，即，已知，则，所以，即，，即，所以.14.若存在实数，使得对任意，均有，则实数a的最小值为________.答案：解析：思路：求出的周期，分析的最大值，根据的性质，可求得使的最大值最小时的，从而求得实数a的最小值.解答过程：当时，的取值是以12为周期的序列.在一个周期内的取值组成的集合为.根据的单调性、对称性及的周期性，不妨令，则的最大值在或中取得.可使的最大值取得最小值，需使.根据正弦函数的对称性，此时两角关于对称，即.此时，解得，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，，向量，，，且，．（1）求；（2）求向量与夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平面向量的垂直与共线，列出方程组求解的值，从而可得的坐标，再利用模的运算公式求解即可；（2）由向量的坐标运算可得，计算，然后结合向量夹角公式即可求得夹角的余弦值．（1）向量，，，且，，可得且，解得，，即，，则，则；（2）因为，，所以，，设向量与夹角为，则，即向量与夹角的余弦值为．16.已知函数．（1）求函数在区间上的最值及对应的x的取值；（2）当时，求函数的单调递减和递增区间．答案：（1）时，最大值为；时，最小值为（2）单调减区间是，单调增区间是解析：思路：（1）先化简，并结合正弦型函数的性质求在区间上的最大、小值；（2）根据正弦型函数的图像和性质求出的单调区间．（1），已知，则，，则，当时，函数在区间上取最大值；当时，函数在区间上取最小值．（2）时，，当，即时，单调递减，故函数的单调减区间是；当，即时，单调递增，故函数的单调增区间是．17.如图所示，在多面体中，四边形是正方形，，，，，，为的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面；（3）求四面体的体积.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.解析：思路：（1）设与交于点G,由四边形是正方形，可知G为的中点，由三角形中位线性质可知，已知，根据平行线的性质可以得到，而，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理可以证明出平面；（2）由四边形是正方形，可知，而已知，所以可得，由已知可知，根据线面垂直的判定定理可得出平面,因此有，即得到，由已知，为的中点，可得，根据线面垂直的判定定理可得出平面，也就得出，而，所以有，最后根据线面垂直判定定理，可以证明出平面；（3）根据线面垂直的判定定理可以证明出平面，即即为四面体的高.根据，可知为中边上的高，最后利用棱锥的体积公式求出四面体的体积.解答过程：（1）证明：设与交于点G,则G为的中点，如图所示，连.∵H为的中点，∴.∵，∴.又∵，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）证明：∵四边形为正方形，∴.∵，∴.又∵，，∴平面,又平面，∴，∴.∵，H为的中点，∴,又，∴平面，∴.∵，∴.∵，，∴平面.（3）∵,，，∴平面，∴即为四面体的高.由（2)知，平面，∴.又∵，∴为中边上的高.∵,∴，∴.方法提示：本题考查了线面平行的判定、线面垂直的判定、以及棱锥体积的计算，掌握平面图形的几何性质是解题的关键.18.在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.（1）求角的值；（2）若，，求；（3）若，点，在线段上，且，问当取何值时，的面积最小，并求出面积的最小值.答案：（1）（2）3（3），解析：思路：（1）根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出及；（2）根据，，利用正弦定理，解出；（3）根据和，利用正弦定理表示出，，再用面积公式表示出的面积.最后利用三角函数有界性和角的取值范围，求出的面积的范围.（1），由正弦定理得，即，即，即，由余弦定理得，，；（2），