2025~2026学年广东省惠州市华罗庚中学高一下册期中考试数学试题【含答案】

/数学考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.2.已知，，若，则（）A. B. C. D.3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面则下列选项正确的为（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）A. B.C. D.5.已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（）A.4 B.16 C.1 D.37.如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（）A.100米 B.200米 C.米 D.米8.在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（）A.6 B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知复数，其中，是虚数单位，则（

）A.当时，为纯虚数 B.当时，C.当时， D.当时，10.已知向量，，，，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是11.若正四面体的表面积为，则（）A.该正四面体的棱长为1 B.该正四面体的高为C.该正四面体的体积为 D.该正四面体的外接球表面积为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________13.在中，已知，角______.14.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，则它的表面积为________cm2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，与的夹角为（1）求;（2）求.16.如图，为四边形的斜二测直观图，其中.（1）求平面四边形的面积及周长；（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.17.已知分别为三个内角的对边，且（1）求；（2）若，且△ABC的面积为，求.18.在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）求的取值范围．19.如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．（1）求证：平面（2）若，求四棱锥的表面积．（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．

数学考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得的值.解答过程：由，得．2.已知，，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为，所以.3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面则下列选项正确的为（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：B解析：思路：结合空间中直线、平面平行的判定定理与性质定理，逐项分析即可.解答过程：对于A，若，则或，故A错误；对于B，根据平面平行的传递性可知，若，则，故B正确；对于C，由，当相交时，可得，当时，可能相交，故C错误；对于D，若，则或与异面，故D错误.4.一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：设圆台的高为，则，故圆台的体积为.5.已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：解答过程：如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立；根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立.即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件.6.已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（）A.4 B.16 C.1 D.3答案：A解析：解答过程：由题设，则，由，则.7.如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（）A.100米 B.200米 C.米 D.米答案：C解析：解答过程：由，得是等腰直角三角形，斜边米，在中，，由正弦定理得，则米，，因此是等边三角形，米.8.在中，角所对的边分别为，若，，则当角取得最大值时，的周长为（）A.6 B. C. D.答案：B解析：思路：根据余弦定理，将角化边，可得，再由余弦定理结合不等式，可求得角的最大值为，再根据已知条件和余弦定理，可分别求得三角形的三边长，进而得到三角形的周长.解答过程：由题意，，根据余弦定理，可得，化简得，即，所以，根据基本不等式，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，又，由余弦函数的性质，可知单调递减，所以，所以角的最大值为，且，又由余弦定理得，，所以，又，所以，所以，所以的周长为，所以B正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知复数，其中，是虚数单位，则（

）A.当时，为纯虚数 B.当时，C.当时， D.当时，答案：BC解析：解答过程：对A：当时，，故A错误；对B：当时，，故B正确；对C：当时，，此时，故C正确；对D：当时，，所以，故D错误10.已知向量，，，，则（）A.若，则B.若，则C.向量在方向上的投影向量的坐标为D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C错误；计算向量与向量同向时的值可得选项D正确.解答过程：对于A，由题意可得，若，则，得，故A正确；对于B，由题意可得，若，则，解得，所以，故B正确；对于C，由题意可得，，则向量在方向上的投影向量的坐标为，故C错误；对于D，由题意得，，，若向量与向量的夹角为锐角，则，解得，当向量与向量共线时，由得，此时，，，向量与向量的夹角为，不合题意，所以的取值范围是，故D正确.11.若正四面体的表面积为，则（）A.该正四面体的棱长为1 B.该正四面体的高为C.该正四面体的体积为 D.该正四面体的外接球表面积为答案：ACD解析：思路：先根据表面积计算出正四面体的棱长，然后运用正四面体的性质求出高，进而得到体积，最后通过将四面体放入正方体求解外接球表面积.解答过程：设该正四面体的棱长为，则其表面积为，所以，A正确；作平面，垂足为，则为的重心，连接延长交于中点，则有，于是该正四面体的高为，B错误；由A选项和B选项的分析可知该正四面体的体积为，C正确；将该四面体放入正方体中，则正方体的棱长为，且四面体的外接球即为正方体的外接球，其半径为，表面积为，D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.在平行四边形中，点在线段AC上，且.若，其中，，则_________答案：解析：解答过程：由，又，则，故.13.在中，已知，角______.答案：解析：解答过程：因为中，已知，由余弦定理得，因为，所以.14.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，则它的表面积为________cm2.答案：解析：思路：由条件可得侧面等腰梯形的上底、下底边长及腰长，即可求出等腰梯形的高即正六棱台斜高，代入面积公式，可求出侧面积，根据上下底面均为正六边形，即为6个全等的等边三角形组成，代入面积公式，即可求出底面积，相加即可得答案.解答过程：如图在正六棱台中，由题意，所以侧面的等腰梯形的高即正六棱台斜高，且为，所以梯形的面积为，故正六棱台的侧面积为；由图可知，该正六棱台的上底面为正六边形，即为6个边长为2的等边三角形组成，所以该正六棱台的上底面积为，同理下底面积为，所以该正六棱台的表面积是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，与的夹角为（1）求;（2）求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先计算，进而得，再由数量积的定义可得；（2）直接根据数量积求向量的模可得.（1）由，得

，又因为与的夹角，由平面向量数量积的定义：.（2）由（1）知，所以

，因此.16.如图，为四边形的斜二测直观图，其中.（1）求平面四边形的面积及周长；（2）若四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.答案：（1）面积为，周长为（2）体积为，表面积为解析：思路：（1）画出原图，根据原图计算出平面四边形的面积及周长；（2）判断出旋转形成的几何体的结构，进而求得体积和表面积.（1）依题意，，所以，画出原图如下图所示：所以面积为，，所以周长为.（2）四边形以为旋转轴，旋转一周，所得几何体为圆柱和圆锥的组合体，截面如下图：所以体积为.表面积为π×17.已知分别为三个内角的对边，且（1）求；（2）若，且△ABC的面积为，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角；（2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长.（1）由，结合正弦定理可得，展开右侧三角式得，消去同类项后化简为，整理得，由，得，解得.（2）由三角形面积公式，代入，得，由余弦定理，代入、，得，联立，解得.18.在直角梯形ABCD中，已知，，，，，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且，，．（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用向量的线性运算可得，，结合数量积的定义运算求解即可；（2）根据题意整理可得，，利用三点共线求得，可求；（3）整理可得，两边平方，结合数量积运算律运算求解即可.（1）当时，，所以，所以，，又，所以；（2）当时，，所以，所以，，因为三点共线，所以存在，使，又因为三点共线，所以，解得，所以，所以；（3）因为，，所以，，所以，，，由题意知，所以当时，取到最小值，当时，，当时，，所以当时，取到最大值，所以的取值范围是.19.如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点．（1）求证：平面（2）若，求四棱锥的表面积．（3）过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值．答案：（1）证明见