2025~2026学年广东省深圳市龙华区高一下册5月期中考试数学试题【含答案】

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（）A. B.12 C. D.65.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（）A. B. C. D.6.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（）A. B. C. D.7.菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（）A. B. C. D.8.定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.在方向上的投影向量为C. D.与垂直的单位向量为10.已知复数，，且，则下列命题一定成立的有（）A.若，则 B.若，则是实数C.若，则是纯虚数 D.11.如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（）A.若D是棱中点，则三棱锥的体积为B.三棱锥体积为定值C.周长的最小值为D.棱AB上总存在点E，使得直线平面三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，分别是内角所对的边，若，，，则边______．13.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为________．14.已知正四面体的棱长为，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为_____________.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为、，已知向量，向量，向量，，且，．（1）求x与y的值；（2）若向量，向量，求向量，的夹角的大小．16.如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点，（1）证明：平面；（2）若圆台的体积为，求圆台的表面积．17.如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．（1）求中线BN的长；（2）若，，、，求的值．18.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．19.设，．（1）证明：；（2）令．①解关于实数a的不等式：；②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求解出各个集合，再利用交集的定义求解即可.解答过程：令，解得，则，而，则.故选：B2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果.解答过程：因为，故该复数的共轭复数为.3.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：D解析：解答过程：对于A：若，，则可以平行或相交或异面，故A错误;对于B：若，，则或或，故B错误；对于C：若，，则或，故C错误；对于D：若，，则，故D正确.4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（）A. B.12 C. D.6答案：A解析：思路：根据斜二测画法中直观图与原平面图形的关系，先还原原平面图形，计算原平面图形的边长，即可计算面积.解答过程：由题可得，原平面图形为直角梯形，其中，，，因为，，所以，所以，所以.5.已知的内角、、的对边分别为、、，且，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由正弦定理可得出的值，分析可知为锐角，再利用同角三角函数的基本关系可得出的值.解答过程：因为，，由正弦定理得，故，由题意可知，则，故为锐角，所以.6.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用四棱锥体积公式，可得正八面体的体积，再根据正三角形面积公式可得正八面体的表面积，即可得解.解答过程：如图所示，连接，相交于点，而四边形为正方形，平面.由正八面体的性质可知，，则，，所以体积，表面积，所以.故选：A.7.菱形的边长为，为的中点，为的中点，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据向量的运算法则可得，然后利用向量的数量积定义即可求得.解答过程：如图，连接，则，；所以，，，；因为为的中点，为的中点，所以；所以.故选：D.8.定义域为的函数满足，且当时，，若对任意的都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：法一：求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案；法二：根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.解答过程：法一：当时，，，，根据二次函数的性质，当时，，由此画出的图象如下图所示，又，所以至少小于，此时，令，得，解得或，结合图象，故.法二：因为函数的定义域为，满足，则，且当时，，当，时，，则，当，时，，则，当，时，，则，作出函数的大致图象，对任意，都有，设的最大值为，则，所以，解得或，结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.故选：A.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，则下列说法正确的是（）A. B.在方向上的投影向量为C. D.与垂直的单位向量为答案：AC解析：思路：根据给定条件，利用向量运算的坐标表示逐项求解判断.解答过程：向量，对于A，，A正确；对于B，，在方向上的投影向量，B错误；对于C，，因此，C正确；对于D，与向量垂直的一个向量为，因此与垂直的单位向量为，D错误.10.已知复数，，且，则下列命题一定成立的有（）A.若，则 B.若，则是实数C.若，则是纯虚数 D.答案：ABC解析：思路：设，，结合共轭复数，复数的模长，复数相等，复数的乘法逐项判断即可.解答过程：设，，则，．对于A：，若，则，，所以，即，故A正确；对于B：若，即，则，所以为实数，故B正确；对于C：设，则．又，所以，，所以是纯虚数，故C正确；选项D：②，，与②式不同，故D不一定成立.故选：ABC．11.如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（）A.若D是棱中点，则三棱锥的体积为B.三棱锥体积为定值C.周长的最小值为D.棱AB上总存在点E，使得直线平面答案：ABD解析：思路：选项A.因为D是棱中点，求出，则，利用棱锥的体积公式求解；选项B.由得到到平面的距离等于到平面的距离，取的中点，求出是到平面的距离，由是正三角形求出的长度，求出,则，利用棱锥的体积公式求解；选项C.借助侧面展开图求出，在正三棱柱中的长度，从而得到周长的最小值；选项D.在上取一点，使得，则四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论.解答过程：选项A.因为D是棱中点，，所以，是正三角形，，，三棱锥的体积为，故选项A正确；选项B.，到平面的距离等于到平面的距离，取的中点，连接，是正三角形，，又平面，平面，，，平面，是到平面的距离，是正三角形，，，,，故三棱锥体积为定值，故选项B正确；选项C.侧面展开图为：由侧面展开图可得，在正三棱柱中,则的周长为，故周长的最小值为，故选项C错误；选项D.在上取一点，使得，则，当时，四边形是平行四边形，故，平面，平面，则平面，故选项D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.在中，分别是内角所对的边，若，，，则边______．答案：解析：思路：根据给定条件，利用余弦定理直接求解即得.解答过程：在中，，由余弦定理得.13.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为________．答案：74解析：思路：由题设得，，再应用正弦定理列方程求鹳雀楼的高度.解答过程：由题设及图知：，则，在中m.故答案为：7414.已知正四面体的棱长为，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为_____________.答案：解析：思路：画出图形，做出辅助线，求出大正四面体的外接球半径，这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，根据勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解.解答过程：如图，正四面体在点截去小正四面体，取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心，大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则，因为大正四面体的棱长为，故，解得，由勾股定理得，在中，，即，解得，则大正四面体的外接球半径为6，若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接，则，设截去的小正四面体的棱长为，则，即，则，故，故高，所以，在中，，即，解得或，，不合要求，舍去，符合要求，截去的小正四面体的棱长最小值为.故答案为：.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为、，已知向量，向量，向量，，且，．（1）求x与y的值；（2）若向量，向量，求向量，的夹角的大小．答案：（1），；（2）解析：（1）由题意知，.∵，∴，解得.∵，∴，解得.（2）由（1）得.∵，∴.∵，∴.设与的夹角为，.则.∵，∴.16.如图，已知圆台的轴截面为等腰梯形，满足，点为（不包括端点）上一点，为线段的中点，（1）证明：平面；（2）若圆台的体积为，求圆台的表面积．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接，，利用平面平面，证明平面；（2）根据圆台体积，求出圆台的高，进而得到圆台的母线长，再根据表面积公式求得答案.（1）连接，，因为四边形为等腰梯形，所以，因为，为中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为为的中点，所以为三角形的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，，所以平面平面，又因为平面，所以平面.（2）设上底面圆半径为，则，，上底面圆半径为，则，，设圆台高为，体积为，则，解得，在截面等腰梯形中，过作的垂线，垂足为，如图，则，所以圆台母线长，所以圆台的表面积.17.如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P．（1）求中线BN的长；（2）若，，、，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）以为基底表示中线对应的向量，结合向量模长公式、数量积运算规则求解的长度；（2）通过两种不同的线性运算方式表示，利用平面向量基本定理的系数唯一性列方程.（1）由题意得，，∵是边上的中线，∴为的中点，∴，∴，∴，代入已知数值得，∴，即中线的长为.（2）∵，∴，∵，∴①，∵，∴②，∵不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等，∴，解得，∴.18.已知中，角所对的边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，求周长的最大值；（3）若，为线段上一点，满足，求的面积．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）将已知条件进行边角转化，利用三角恒等变换求解即可；（