2025~2026学年广西壮族自治区河池市第二高级中学等校高一下册5月学科素养学情自测数学试题【含答案】

/数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.在中，，，，则（）A. B.或 C.或 D.3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.4.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A.16 B.12 C. D.6.在四边形中，，则“”是“四边形是正方形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（）A.无解 B.有一解C.有两解 D.解的个数不确定8.如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，其中，则（）A.若，则或B.当或时，复数z为纯虚数C.若，则D.在复平面内，复数z对应的点在直线上，则10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么与所成的角和与所成的角相等11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则是直角三角形D.若为锐角三角形，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.13.已知向量，，，若和的夹角为，则________．14.已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数z=a+（1）求复数；（2）若复数是关于的方程x2+px+q16.已知分别为三个内角的对边，且满足．（1）求；（2）若的周长为，求的面积．17.如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.18.如图，在中，点D，E在边上，且，设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求.19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由于，所以复数的虚部为.2.在中，，，，则（）A. B.或 C.或 D.答案：D解析：解答过程：在中，，，，由正弦定理得，则sinA因为，所以，则.3.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.解答过程：因为且，所以，解得.故选：C4.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（）A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面答案：A解析：思路：利用平面的基本性质求解.解答过程：解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A5.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A.16 B.12 C. D.答案：A解析：思路：根据斜二测画法分析运算.解答过程：在直观图中，，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，则另一边长为，所以原图形的周长为．故选：A.6.在四边形中，，则“”是“四边形是正方形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：首先可得四边形为平行四边形，由得到，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.解答过程：在四边形中，，所以四边形为平行四边形，若，则，所以，则，所以，则四边形是矩形，所以由“”推不出“四边形是正方形”，故充分性不成立；由“四边形是正方形”推得出“”，故必要性成立；所以“”是“四边形是正方形”必要不充分条件.故选：B7.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（）A.无解 B.有一解C.有两解 D.解的个数不确定答案：C解析：思路：利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解.解答过程：由正弦定理，得，解得.因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选：C.8.如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据正方体性质可得球心到截面的距离，进而可得截面半径与面积.解答过程：由正方体性质可得：正方体对角线截面，且球心到截面的距离，球的半径，利用球心与截面圆心连线垂直截面的性质，得截面的半径，截面面积，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，其中，则（）A.若，则或B.当或时，复数z为纯虚数C.若，则D.在复平面内，复数z对应的点在直线上，则答案：ACD解析：解答过程：若，则，解得或，所以A正确；若复数z为纯虚数，则，解得，所以B错误；若，则，解得，所以C正确；在复平面内，复数对应的点为Zm2−7m+12,m2−m−610.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么与所成的角和与所成的角相等答案：BCD解析：思路：对于A，运用长方体举反例证明其错误；对于B，利用直线与平面平行的性质定理得到线线平行，再得到线线垂直；由平面与平面平行的性质定理判断C；由平行的传递性及线面角的定义判断D.解答过程：对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线，四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误；对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由知，从而；B正确对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确；对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确．故选：BCD．11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则是直角三角形D.若为锐角三角形，则答案：BCD解析：思路：根据正切函数的性质判断A，利用正弦定理得到，再由二倍角公式判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，首先证明，同理可得，，再利用作差法及两角差的正弦公式计算，即可判断D.解答过程：对于A：若，则可得或或，即或或，故A错误；对于B：若，则由正弦定理可得，则，所以，即，故B正确；对于C：若，由余弦定理可得，即，所以，即，所以，所以，所以，即，所以是直角三角形，故C正确；对于D：因为为锐角三角形，所以，所以，所以，同理可得，，所以，则，即，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则______.答案：解析：解答过程：，所以.13.已知向量，，，若和的夹角为，则________．答案：解析：解答过程：因为，，则，又因为，，和的夹角为，则，得到，所以.14.已知三棱锥，，则三棱锥的外接球的表面积为__________.答案：解析：思路：先证明线面垂直，再将三棱锥放置在圆柱内，利用底面外接圆半径、高与球半径的关系即可求解.解答过程：，，平面，平面，平面，如图，设圆柱的底面圆直径为，母线长（即圆柱的高）为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，即为圆柱的外接球球心，且有外接球半径，故可以将三棱锥置于以外接圆为底面，为高的圆柱内（如图），其中上底面外接圆圆心为，下底面外接圆的圆心为，因为，所以外接圆的直径，则，又圆柱的高，所以三棱锥外接球的半径，球的表面积.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知复数满足．（1）求复数；（2）若复数是关于的方程的一个根，求的值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）设z=（2）将第（1）问求出的复数根代入方程，利用复数相等的条件求解.（1）已知z=3a−b所以5a=15−b=−4（2）把代入方程中，得到3+4i2+整理得，所以3p+q所以．16.已知分别为三个内角的对边，且满足．（1）求；（2）若的周长为，求的面积．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，再结合辅助角公式即可求解；（2）由周长条件得，结合余弦定理建立的方程，求出，代入面积公式即得结果.（1）由正弦定理得，即，因为，所以，故，因为，所以，故，即，所以，因为，所以，故，解得；（2）因为的周长为，所以，即，由余弦定理得，即，结合方程化简得，解得．17.如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.答案：（1）证明见解析；（2）.解析：思路：（1）取的中点，连,利用中位线证明四边形为平行四边形，即可证明.（2）利用即可求解.（1）证明：如图，取的中点，连，且，且，四边形为平行四边形，，平面平面，平面.（2）解：取中点，连，且为直三棱柱，为直角三角形且，平面，平面，，由（1）知，为直三棱柱，为中点，，，，平面，平面，，，设点到平面的距离为，，，有，得，故点到平面的距离为.18.如图，在中，点D，E在边上，且，设，.（1）用，表示，；（2）若，，，求.答案：（1）AE=−a+2（2）解析：思路：（1）由三等分点得向量关系，用已知向量表示出其他向量；（2）利用数量积和模长公式，计算出余弦值.（1）因为，所以，,所以AE=AC=（2）因为，，，即，，，所以.，，所以，所以cos∠19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）根据勾股定理及线面垂直的性质，再利用勾股定