2025~2026学年河北衡水中学高一下册期末综合素质评价数学试题【含答案】

/数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数满足，则z=（）A. B. C.4 D.82.在中，D是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.3.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（）A. B.C. D.4.某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（）A.25 B.30 C.35 D.505.已知的内角的对边分别为，若，则是（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形6.如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（）A. B.26C. D.7.三棱柱中，是棱的中点，D是棱上一点，，若A1B//平面，则实数的值为（）A.12 B. C. D.8.在体积为的三棱锥中，，，平面平面BCD，，，若点，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（）A.身高在A层次中的女生人数比男生多B.身高在B层次中的人数最多C.身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15%D.身高在E层次中的男生有3人10.在中，，，，则（）A. B.的面积为C.外接圆直径是552 D.内切圆半径是11.如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.存在点P使得B.若点P满足，则动点P的轨迹长度为C.若点P满足平面时，动点P的轨迹是正六边形D.当点P在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2第II卷（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若，则__________.13.三棱锥P−ABC中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，P−ABC的体积为，则____________14.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为3，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为一点）.点在母线PB上，无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为S.则的最小值为_______________.四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某校从全校随机抽取n名学生参加奥运知识竞赛，并根据这n名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名.（1）求（2）求n（3）样本中分数在内的学生有几名16.小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？（2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？17.在△ABC中，AB=12，AC=36，，点D在边BC上，且（1）求的值；（2）求线段的长．18.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2AD=2DC=4，将△ACD沿边翻折，使点D翻折到点P（1）证明：BC⊥平面PAC（2）求三棱锥P−（3）试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角E−AB−C的余弦值为5719.在三棱锥P−ABC中，，三棱锥P−ABC的各顶点均在表面积为的球O的球面上，且（1）证明：平面PAB⊥平面ABC（2）当PA=PB时，求球心O到平面（3）求直线与平面ABC所成角的正弦值的最大值．

数学第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数满足，则z=（）A. B. C.4 D.8答案：A解析：思路：首先化简复数，再代入模的公式.解答过程：由条件可知，，所以.2.在△ABC中，D是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：如图可得：.3.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：将正方体的展开图还原，即可根据正方体的性质逐一求解.解答过程：以所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体，由图可得BD与异面，A错误．显然B正确．与异面，C错误．连接，则为等边三角形，D错误．4.某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（）A.25 B.30 C.35 D.50答案：C解析：思路：根据分层抽样的方法，列式计算，即可求解．解答过程：选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有．故选：C．5.已知△ABC的内角的对边分别为，若，则△ABC是（

）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形答案：D解析：思路：由正弦定理结合已知得，解方程得到，确定选项.解答过程：由正弦定理，又已知，所以，所以，因为，所以，，又，所以，同理可得，所以△ABC6.如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为60°，则点A到平面PBC的距离为（）A. B.26C. D.答案：C解析：思路：根据线面夹角分析可得圆锥的母线，利用等体积法求点到面的距离.解答过程：因为AB是直径，则，且AB=8，∠BAC=30°，可得，又因为底面圆O，则圆锥的母线与底面成的角为，可知为等边三角形，所以圆锥的母线，设点A到平面PBC的距离为h，利用等体积法，即，解得，即点A到平面PBC的距离为.故选：C.7.三棱柱中，是棱的中点，D是棱上一点，，若A1B//平面，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：连接交于点O，连接OD，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解.解答过程：如图，连接，设，连接OD.因为平面，平面平面，平面，所以.在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即.所以与相似，则，又在中，由可得.所以，即.8.在体积为的三棱锥中，，，平面平面BCD，，，若点，，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：取的中点O，由直角三角形性质可得，则点O就是球心，再利用线面垂直的性质定理可得平面，从而可结合三棱锥体积公式计算即可得.解答过程：如图，取的中点O，连接AO，，因为，，所以，因此点O就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以，因为平面平面BCD，平面平面，且平面BCD，所以平面，设球O半径为，则，，则，，所以三棱锥的体积，所以，所以球O的表面积为.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.为了关注学生的健康成长，某校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则样本中（）A.身高在A层次中的女生人数比男生多B.身高在B层次中的人数最多C.身高在D层次的女生，占女生人数的比例超过15%D.身高在E层次中的男生有3人答案：BCD解析：思路：结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.解答过程：对于A，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为60人，样本中A层次身高的男生人数为人，女生人数为4人，所以，样本中A层次身高的女生少于男生，A错误；对于B，因为男生中B层次的比例最大，女生中B层次的人数最多，所以样本中B层次身高人数最多，B正确；对于C，样本中D层次身高的女生有8人，占女生人数的比例为，C正确；对于D，样本中E层次身高的男生有人，D正确.故选：BCD10.在△ABC中，，，，则（）A. B.的面积为C.△ABC外接圆直径是552 D.答案：ACD解析：思路：A利用余弦定理计算来判断B利用三角形的面积公式计算即可；C利用正弦定理计算即可；D利用即可求出△ABC内切圆半径.解答过程：解：，由于在△ABC中，则，故，A正确；，B错误；设△ABC外接圆半径为，，C正确；设△ABC内切圆半径为r，则，即，解得，D正确.故选：ACD.11.如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（）A.存在点P使得B.若点P满足，则动点P的轨迹长度为C.若点P满足平面时，动点P的轨迹是正六边形D.当点P在侧面，且满足时，二面角的最大角的正切值为2答案：ACD解析：思路：根据各选项的条件，分别确定动点P的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，并借助线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理的应用进行判断即可.解答过程：设正方体棱长为，为中点，对A：如图：在正方体中，对角线A1C⟂若取动点P落在的边上，则平面，由线面垂直性质得：A1C⟂对B：如图建立空间直角坐标系：，，设，，AP⟂BF，所以，即，P在正方体表面，满足该式的动点轨迹为矩形（分别为中点），矩形邻边长：，轨迹周长，故B错误；对C：如图：依次取：为中点，J为中点，K为DC中点，为中点，为中点，顺次连接，得六边形，由中位线定理：IJ//所以平面，平面，又是平面内的两条相交直线，所以平面平面，若P在六边形边上，则平面，所以平面，即动点P的轨迹为六边形，因为正方体棱长为，所以，该六边形六条边长全部相等，每个内角均为，∴六边形是正六边形，所以动点P的轨迹是正六边形，故C正确；对D：如图：由以上坐标系知，且正方体棱长为，侧面内所有点横坐标恒为，设，其中设，代入距离公式：，即，在侧面矩形内，该方程表示以为圆心、半径的一段圆弧，因为CD⟂BC,CD⟂CC所以平面，又因为平面平面，平面，平面PCD，根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角，在矩形内，过P作PQ⟂BC延长线，垂足为，中，，越大，二面角越大，即最大化，因为，则当P取圆弧上切点时，，，所以，即二面角最大角的正切值为，故D正确.第II卷（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若，则__________.答案：2解析：解答过程：因为，所以，解得.13.三棱锥P−ABC中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，P−ABC的体积为，则____________答案：1解析：解答过程：由已知设点C到平面距离为，则点D到平面距离为，所以，考点：几何体的体积.14.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为3，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在C点有一微型无人机（视为一点）.点在母线PB上，无人机先在空中以直线航迹从点C飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为S.则的最小值为_______________.答案：解析：思路：采用化曲为直的方法，将曲面PAB展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量.解答过程：由题可知，故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接PA可得，又由题知，如图建立平面直角坐标系则，由两点之间线段最短可得，所以，故答案为：四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.某校从全校随机抽取名学生参加奥运知识竞赛，并根据这名学生的竞赛成绩（总分为100分）绘制频率分布直方图（如图所示），其中分数在内的学生有6名.（1）求（2）求（3）样本中分数在内的学生有几名答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据频率直方图中所有小矩形面积之和为1列式计算求解；（2）结合频率直方图，根据抽样比计算即可；（3）结合频率直方图，根据抽样比计算即可.（1）由题意可得，解得；（2）由题意可知样本中分数在的频率为，因为样本中分数在内的学生有6名，所以全校随机抽取的人数；（3）样本中分数在的频率为，所以样本中分数在内的学生有名.16.小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.（1）小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？（2）小明欲将鱼缸注水至的高度，需要多少立方米的水？答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用棱柱、圆柱的表面积公式列式求解.（2）利用柱体体积公式列式求解.（1）依题意，所用玻璃面积是一个长方体的侧面积加上其下底面积，再减去圆柱底面积的差的2倍，然后加上圆柱的侧面积，因此所求面积为，所以需要平方米的玻璃.（2）由圆柱体距离鱼缸底部0.2m，所以需要立方米的水.17.在△ABC中，AB=12，AC=36，，点D在边BC上，且（1）求的值；（2）求线段的长．答案：（1）（2）8解析：思路：（1）根据余弦定理，代入三条边的长度，直接求解即可；（2）由（1）所求的值，利用同角三角函数求出的值，再根据正弦定理代入求值即可.（1）解：在△ABC中，，因为AB=12，AC=36，，所以（2）解：由（1）知，，所以，在中，，由正弦定理可得，即，解得.18.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2AD=2DC=4，将△ACD沿边翻折，使点D翻折到点P（1）证明：BC⊥平面PAC（2）求三棱锥P−（3）试问在侧棱PC上是否存在一点，使得二面角E−AB−C的余弦值为57答案：（1）如图1，在梯形ABCD中，取边的中点，连接.因为AB//CD,所以四边形AFCD是平行四边形，所以CF=因为，所以AB=2CF，所以BC因为PB=2AP，且PC所以BC⊥因为PC⊂平面PAC,AC所以BC⊥平面PAC（2）（3）侧棱PC上不存在点，使得二面角E−AB−C的余弦值为解析：思路：（1）先在等腰梯形中构造平行四边形，借助直角三角形斜边中线逆定理证得BC⟂AC；翻折前后边长不变，结合PB=2AP的长度条件，用勾股定理逆定理证得BC（2）先根据面面垂直的性质定理确定三棱锥P−ABC的高线，算出高线长度与底面△ABC面积，再利用棱锥体积（3）先根据几何法作垂线构造二面角的平面角，引入参数表示动点对应的线段长度，结合相似三角形表示出平面角两条直角边长；再由已知二面角余弦值算出正切值，列方程求解参数，最后结合侧棱PC长度约束参数取值范围，判断点是否存在.（1）略（2）如图2，取棱的中点，连接，由（1）可知BC⊥平面PAC，且BC⊂平面ABC，则平面平面ABC因为PA=PC，且为线段的中点，所以PG⊥因为平面PAC∩平面ABC=AC，PG⊂平面PAC，所以则为三棱锥P−ABC因为，所以AB=4,AC=23故三棱锥P−ABC的体积（3）假设存在满足条件的点.如图2，作，垂足为，作HK⊥AB，垂足为K.由（2）可知平面平面ABC，又，且平面PAC∩平面ABC=AC所以EH⊥平面ABC因为AB⊂平面ABC，所以EH因为HK⊥AB，且HK,EH⊂平面EHK，EH因为EK⊂平面EHK，所以AB则∠EKH为二面角E由翻折知PC=DC=2，AP在△PACcos∠ACP又0∘<∠设，在Rt△EHCCH=因为B