2025~2026学年河北省保定市涞水波峰中学高三下册第三次月考数学试题【含答案】

/数学满分150分，考试用时120分钟.一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.设，则（）A. B. C.1 D.23.若，，，则（

）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）A.130天 B.149天 C.120天 D.155天6.甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则（）A. B. C. D.7.若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（）A. B. C. D.8.已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（）A.若，则平面ACD B.当最小时，C.若，则 D.当最大时，10.已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是（）A.在区间上单调递减B.直线是函数图象的对称轴C.在区间上有两个对称中心D.若在区间上有2024个根，则的最小值为11.已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（）A.若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1B.若为“数列”且，则C.若为“数列”且（其中），则所有的和为90D.若为“2k数列”，则三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则______.13.据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元)服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学，则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人．14.已知函数的定义域为，且满足，，则的最小值为_________.四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，（1）求角A；（2）若，的面积为，求b，c；（3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．16.某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修.（1）若发生故障的机床数为，求的分布列；（2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为.（i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值；（ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由.17.在四棱锥中，底面为正方形，平面.（1）求证：平面；（2）求钝二面角的余弦值；（3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由.18.已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.（1）求动点P的轨迹方程E；（2）F是E的右焦点，若l过点F，与曲线E交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点F无论怎么转动，都有成立？若存在，求出T的坐标：若不存在，请说明理由．（3）设点P位于第一象限，的平分线交AP于点M，求证：．19.已知函数，且的最小值为1.（1）求的值；（2）证明：（i）；（ii）对于任意.

数学满分150分，考试用时120分钟.一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，即，解得：，则集合，所以.2.设，则（）A. B. C.1 D.2答案：C解析：思路：结合复数的乘法运算，利用复数相等列方程组求解即可.解答过程：因为，所以解得.故选：C3.若，，，则（

）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用指数函数，对数函数的单调性可判断.解答过程：因为在上单调递增，所以；因为在上单调递减，所以；又因为在上单调递减，所以；综上：.故选：C4.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据单位圆及三角函数的定义求出，再由二倍角余弦公式求解.解答过程：因为是角终边与单位圆的交点，所以，故.故选：A5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）A.130天 B.149天 C.120天 D.155天答案：B解析：思路：根据题意列出方程两边取对数，利用给出的数据解方程即可.解答过程：设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍，则，.故选：B6.甲、乙、丙、丁四名同学计划去4个景点旅游，每人只去1个景点．设事件“4位同学去的景点各不相同”，事件“甲同学独自一人去了一个景点”，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先利用分步计数原理分别计算事件的个数以及事件的个数，然后代入条件概率公式即可求解.解答过程：事件为“甲独自一人去一个景点”，甲先选景点共4种选择，剩余乙、丙、丁都不能选甲的景点，每人都有3种选择，因此：.事件表示“4人景点各不相同且甲独自去一个景点”，若4人去的景点各不相同，则甲必然独自一个景点，因此就是“4人景点各不相同”：甲选完景点后，剩余3人全排列去剩下3个景点，因此：.故

.7.若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可.解答过程：由，所以，因为函数在处取得极大值3，所以，所以，，令，解得或，当变化时，在的变化情况如表所示，012极小值所以根据上表可知，在上的值域为，故选：D8.已知双曲线，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由，设，表示出的方程求得，则，由表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.解答过程：由，得的横坐标为，设，则直线的方程为，令，得，即，所以线段的中点，则，由，得，则，即，代入双曲线方程得，即，整理得，由，解得.故选：A方法提示：思路点睛：解答本题的思路是根据点的坐标表示出点的坐标，由中点坐标公式表示出点的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得，代入双曲线方程计算即可.二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（）A.若，则平面ACD B.当最小时，C.若，则 D.当最大时，答案：BCD解析：思路：根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断.解答过程：由，平面平面，平面平面，平面，得平面，又N在侧面上（包含边界），设，且，于是，而，则，且，对于，若，则，点即为点，显然平面，错误；过作，垂足为，得，，

由平面，平面，得，而，平面，则平面，因此，对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确；对于，若，则，即点在线段上（包括端点），由平面，平面，得，正确；对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时，于是，正确.故选：BCD.10.已知函数的周期为，且满足，则下列说法正确的是（）A.在区间上单调递减B.直线是函数图象的对称轴C.在区间上有两个对称中心D.若在区间上有2024个根，则的最小值为答案：ACD解析：思路：利用周期求得，利用对称中心可求得，逐项计算可判断其正误.解答过程：因为函数的周期为，所以，解得，因为，所以函数关于点对称，所以，所以，又，所以，所以，当，所以，所以在区间上单调递减，故A正确；，所以直线不是函数图象的对称轴，故B错误；当，，所以在区间上有两个对称中心，故C正确；由，可得，解得或，所以或，同一周期内，两个解的最近距离为，因为一个周期内有两个根，又在区间上有2024个根，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.11.已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（）A.若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1B.若为“数列”且，则C.若为“数列”且（其中），则所有的和为90D.若为“2k数列”，则答案：ACD解析：解答过程：对于A，，所以此数列为0，1，0，1，故A正确；对于B，因为，所以，故B错误；对于C，因为，所以至少有2项，至多有4项，且恰有两项为1，故所有的和为：，故C正确；对于D，因为且，所以，当时，所有的和为，当时，所有的和为，当时，所有的和为，当时，所有的和为，所以，故D正确.三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则______.答案：2解析：思路：根据分段函数解析式，代入即可求解.解答过程：由函数可得，.故答案为：13.据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元)服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学，则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人．答案：8解析：思路：根据给定条件，利用正态分布的对称性求出，进而求出目标人数.解答过程：由，，得，所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有.故答案为：814.已知函数的定义域为，且满足，，则的最小值为_________.答案：解析：思路：根据题意，得到，构造函数，求得，得到在上单调递增，得到，将代入求得，，列出不等式，即可求解.解答过程：因为，可得，因为，可得，所以，即，构造函数，可得，因为，所以，所以在上单调递增，所以，又由，，所以，即，解得，所以的最小值为.故答案为：.四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，（1）求角A；（2）若，的面积为，求b，c；（3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解；（2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解；（3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解.（1），由正弦定理可得，∴，即，，因为，所以，所以，即，即，又，∴，则．（2）由（1）及题设可得，即，整理得，解得（负值舍去），故．（3）因为D为BC的中点，所以，两边平方得，在中，由余弦定理得，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，，则，解得，所以，所以，则，即，所以，所以中线AD的取值范围是．16.某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名维修工人进行维修.（1）若发生故障的机床数为，求的分布列；（2）已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘名维修工人，设该车间每月获利为.（i）当，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值；（ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数的值，并说明理由.答案：（1）的分布列为：012（2）（i）；（ii）1人，理由见解析解析：思路：（1）由题意得可能取，且，由二项分布概率公式计算出概率后可得分布列；（2）（i）当时，根据机床发生故障的台数，确定出的可能取值，写出分布列计算出均值；（ii）再分别计算出时的获利均值，比较后可得.（1）可能取，且所以，，，.故的分布列为：0123（2）（i）3台机床都无故障或只有1台有故障，则，3台机床中有2台有故障，则，3台均有故障，则，所以，，，故的分布列为：24156；（ii）时，由题意可能取值：，的分布列为：271890，时，至多有2台机床发生故障时，，有3台发生故障时，，，，的分布列为：2112，时，3台机床无论有无故障都能正常获利，所以.最大，即招聘维修工人1人.17.在四棱锥中，底面为正方形，平面.（1）求证：平面；（2）求钝二面角的余弦值；（3）若存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，求该球体的体积和表面积；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明：因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面.（2）（3）不存在，理由如下：假设存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球，则，因为底面为正方形，所以为对角线与的交点，因为平面，平面，所以，即，所以，与矛盾，故假设不成立，所以不存在一球心在面上，且为四棱锥的外接球.解析：思路：（1）由已知得出，，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）以为坐标原点，建空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再利用向量法即可求解；（3）利用反证法证明即可.（1）略（2）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，，设平面的一个法向量，则，令，则，设平面的一个法向量，则，令，则，则，因为二面角为钝二面角，二面角大小为法向量夹角的补角，所以钝二面角的余弦值为.（3）略18.已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.（1）求动点P的轨迹方程E；（2）F是E的右焦点，若l过点F，与曲线E交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点F无论怎么转动，都有成立？若存在，求出T的坐标：若不存在，请说明理由．（3）设点P位于第一象限，的平分线交AP于点M，求证：．答案：（1）；（2）存在点（3）证明见解析解析：思路：（1）将题目给定的斜率乘积条件直接转化为坐标代数式，化简得出轨迹方程；（2）分类讨论后，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理将向量数量积转化为含有斜率的表达式，再通过“恒成立”条件解出定点坐标；（3）先利用角平分线定理