2025~2026学年河北省唐山市唐山一中高一下册期末质量检测数学试题【含答案】

/数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.42.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.2 B. C. D.4.已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（）A. B.C. D.5.若，则（）A. B. C. D.6.已知满足不等式，则函数的最大值与最小值之和是（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知，且，则（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列说法中正确的有（）A.在上单调递减B.图象的相邻两条对称轴间的距离为C.在上的值域为D.将的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为11.已知定义在上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线是函数的一条对称轴D.若在区间上有10个零点，则所有零点之和为20三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数则__________.13.函数的值域是__________.14.已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合或.（1）当时，求：（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.16.（1）求值：；（2）已知，求的值．17.已知函数的部分图象如图所示，其中点.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值.18.第25届冬季奥林匹克运动会，将于2026年2月6日至2月22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行.某商店计划出售该运动会吉祥物.假设该吉祥物的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元，）满足分段函数：已知每个吉祥物的进货成本为30元，商店每日需支付场地租金等固定成本600元.设该商店销售这款吉祥物的日利润为（单位：元）.（1）写出日利润（元）关于销售单价的函数解析式（利润销售收入-成本）；（2）当销售单价为何值时，该商店的日利润最大？此时日利润是多少？19.若存在实数使得，则称函数为的“函数”.（1）设函数，若偶函数为的“函数”，且满足，请求出此时的值；（2）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，（i）求的解析式；（ii）设函数.若，且不等式对任意恒成立，求实数的最小值.

数学考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系中①，②.③，④.正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：根据常用数集的概念进行判断即可.解答过程：对于①，是有理数，但不是整数，故①错误；对于②，是无理数，不是有理数，故②正确；对于③，0是自然数，所以不成立，故③错误；对于④，是无理数，也是实数，故④正确；故正确的个数为2.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据充分条件与必要条件的定义，分别验证充分性和必要性即可.解答过程：当时，，故充分性成立；而当时也满足，所以必要性不成立.故选：A.3.若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（）A.2 B. C. D.答案：D解析：思路：由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值.解答过程：因为角的终边经过点，则，，则故选：D.4.已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由指数函数的单调性以及判断的范围，即可得解.解答过程：由的图象可知，由知，所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上.故选：C.5.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先使用正切的和差公式求出的值，再使用二倍角公式结合三角函数同角关系，齐次化，然后再上下同时除以将转化为，进而可根据的值求解.解答过程：由，解得，所以.故选：C.6.已知满足不等式，则函数的最大值与最小值之和是（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：设，则等价于，然后化简函数，进而可求得最值.解答过程：设，则等价于，解得，而，当时，有最小值-1，当时，有最大值3，所以最大值与最小值之和为2.故选：B.7.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用辅助角公式化简函数，再求出的解析式，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，进而求出最小值.解答过程：依题意，，将的图象向右平移个单位长度后所得图象的函数解析式为，由函数的图象关于轴对称，得，解得，而，所以当时，取得最小值.故选：A8.已知，若存在实数，使成立.则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：将问题转化为，再利用基本不等式求最值.解答过程：由题意可知，有解，即，因为，所以，那么，当且仅当，即时等号成立，故，则的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知，且，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：根据给定条件，利用不等式的性质，结合指数函数性质逐项判断即得.解答过程：由不等式的可加性，得，故A正确；由不等式的可乘性，得，故B正确；当时，，故C错误；当时，函数在上单调递减，此时，故D错误.故选：AB.10.已知函数，则下列说法中正确的有（）A.在上单调递减B.图象的相邻两条对称轴间的距离为C.在上的值域为D.将的图象向左平移个单位所得图象的函数解析式为答案：BCD解析：思路：根据的范围求出的范围，结合余弦函数的单调性即可判断选项A；根据三角函数的对称性与周期性可判断选项B；根据的范围求出的范围，结合余弦函数的单调性即可求得函数的值域，进而判断选项C；根据三角函数的图象变换结合三角函数的诱导公式即可判断选项D.解答过程：对于A，当时，；由，得，此时单调递增，由，得，此时单调递减，所以函数在上先增后减，故A错误；对于B，因为函数的周期为，其图象的相邻两条对称轴间的距离为，故B正确；对于C，当时，，当，即时，有最小值，当，即时，有最大值1，故在上的值域为，故C正确；对于D，将的图象向左平移个单位后所得图象的函数解析式为，故D正确.故选：BCD.11.已知定义在上的函数满足，若的图象关于直线对称，且对任意，当时，都有，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线是函数的一条对称轴D.若在区间上有10个零点，则所有零点之和为20答案：ACD解析：思路：对于A，由的图象关于直线对称即可得到是偶函数，令结合偶函数即可求的值，则有，得到的周期，则可求得的值；对于B，由题意得在上单调递增，且有，，进而可比较和的大小；对于C，由，结合偶函数，可得的对称点是，若要证明是函数的一条对称轴，结合奇偶性和对称性证明即可；对于D，设，则的零点就是与的图象的交点的横坐标，由奇偶性和周期性易得图象都关于对称，则有的零点也关于对称，进而可求零点之和.解答过程：对于A，因为的图象关于直线对称，所以的图象关于直线对称，即是偶函数，，，令，则，解得，由于，所以，则有，可得，进而，所以函数是周期为4的周期函数，故，故A正确，对于B，对任意，当时，都有，移项得到，所以当，，即时，，所以在上单调递增，，由于在上单调递增，所以，即，故B错误，对于C，，所以，所以的图象关于点对称，所以，设，则，因为是偶函数，所以，那么，所以直线是函数的一条对称轴，故C正确，对于D，，即，设，则有的零点就是与的图象的交点的横坐标，易得的图象关于对称，因为是周期为4的偶函数，所以有，则的图象也关于直线对称，由在区间上有10个零点，得与的图象的交点两两关于直线对称，不妨设这10个交点的横坐标分别为，且，则，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数则__________.答案：10解析：思路：根据分段函数的解析式和自变量的范围计算函数值即可.解答过程：由题知.所以故答案为：10.13.函数的值域是__________.答案：解析：思路：令，结合一元二次函数求值域.解答过程：由，令，则，所以，当时，有最大值，当时，有最小值，故的值域为.故答案为：14.已知函数，若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________，__________.答案：①.；②.1.解析：思路：对于第一空，先在平面直角坐标系中画出函数的大致图象，再令，得，因此有，再分析在的不同范围内所对应的的解的个数，即可得解；对于第二空，由图可得，再根据对数运算，将其转化为，即可得解.解答过程：，当时，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数，作出函数的图象如图所示：设，当时，方程有3个解；当时，方程有4个解；当时，方程有3个解；当时，方程有2个解；当时，方程有1个解.方程等价于，要使关于的方程恰有6个不相等的实数根，等价于方程有2个不同的根，而当时，方程有2个解，所以时，方程有4个解，所以，即得，所以的取值范围是；由图可知，，所以，即，得，即，即.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合或.（1）当时，求：（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用交集定义计算求解；（2）根据已知转化为，再分，两种情况列式计算求解参数.（1）由题知或，所以；（2）由题知，若对任意的恒成立，则，当时，，解得，当时，，解得，综上可知，即实数的取值范围是16.（1）求值：；（2）已知，求的值．答案：（1）；（2）解析：思路：（1）根据指数幂、分数指数幂、对数运算性质及换底公式即可求解；（2）先利用诱导公式进行化简，结合的范围确定与的符号，再利用与的关系进行计算即可解答过程：（1）原式

.（2），因为，所以，又因为，故，因此.，故.17.已知函数的部分图象如图所示，其中点.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由周期求，将点代入求，即可得解析式；（2）由对称性得到结合诱导公式，二倍角公式求即可.（1）因为在函数图象上且纵坐标互为相反数，结合图象可知，根据，解得.将代入，解得，因为，所以，所以函数解析式为；（2），即在上有两个不相等的实数根，当时，，设，可知在上单调递减，在上单调递增，所以，且，即那么，因为，所以，所以，所以.18.第25届冬季奥林匹克运动会，将于2026年2月6日至2月22日在意大利米兰和科尔蒂纳丹佩佐举行.某商店计划出售该运动会吉祥物.假设该吉祥物的日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元，）满足分段函数：已知每个吉祥物的进货成本为30元，商店每日需支付场地租金等固定成本600元.设该商店销售这款吉祥物的日利润为（单位：元）.（1）写出日利润（元）关于销售单价的函数解析式（利润销售收入-成本）；（2）当销售单价为何值时，该商店的日利润最大？此时日利润是多少？答案：（1）（2）55元或80元，日利润是650元解析：思路：（1）根据已知分段函数结合利润销售收入-成本列式求解；（2）应用二次函数值域及基本不等式计算求解最大值即可.（1）当时，当时，；所以（2）由（1）知，当时，.当时，利润最大，此时利润是650元；当时，，当且仅当，即时，利润最大，此时利润是650元.所以当销售单价为55元或80元时，该商店的日利润最大，此时日利润是650元19.若存在实数使得，则称函数为的“函数”.（1）设函数，若偶函数为的“函数”，且满足，请求出此时的值；（2）若为的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，（i）求的解析式；（ii）设函数.若，且不等式对任意恒成立，求实数的最小值.答案：（1）；（2）（i）；（ii）.解析：思路：（1）根据函数的定义写出，再根据是偶函数列出方程，即可得解；（2）（i）运用函数的定义