2025~2026学年山东省烟台市高二下册期末自主练习数学试题【含答案】

/数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知集合，若且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.3.曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.4.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（）A. B. C. D.5.若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.6.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知函数的最大值为，则的最小值为（）A. B. C. D.e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的有（）A.是偶函数B.在区间上单调递增C.若，则D.当时，10.已知定义在上的函数满足，且，则（）A. B.C.的图象关于直线对称 D.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.若是奇函数，则B.当时，函数的图象关于点对称C.若函数有两个极值点，则或D.若对任意实数，以为边长总能构成三角形，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数满足，且，则的值为___________.13.已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为___________.14.定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集.若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小值；（2）若对，，使得，求实数的取值范围.16.已知函数.（1）当时，求过点且与曲线相切的直线的方程；（2）讨论的单调性.17.一小微企业生产某种产品.经验表明，当该产品每件的售价为元时，日销售量为（单位：千件），且.已知当售价为2元/件时，日销售量为8千件；当售价为6元/件时，日销售量为2.5千件.（1）求的值；（2）假设每件产品的成本为1元，求为何值时，日利润最大？并求出最大日利润.18.已知函数.（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；（2）已知函数存在极值点.（i）证明：；（ii）当时，证明：函数在上存在唯一零点，且.19.已知函数及其导函数的定义域均为，对，定义集合.（1）设，求；（2）对，定义集合，证明：“对，有”是“为偶函数”的必要条件；（3）设，若对且，都有，求实数的取值范围.

数学满分150分，考试时间为120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：不等式解得或，时一定有，而时不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.2.已知集合，若且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，由，得，由，得，所以．3.曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，所以.，，过点，所以切线方程为.4.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的燃料占比（指火箭燃料质量与火箭总质量的比值）与火箭的最大速度满足关系式为正常数.已知火箭的燃料占比为时，火箭的最大速度为，若使火箭的最大速度为，则此时火箭的燃料占比为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意可知，即，当火箭的最大速度为时，，故此时火箭的燃料占比为.5.若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数图象确定与的符号区间，结合与同号即可求解.解答过程：由的图象可知，当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，；当或时，；若不等式，则与同号，分情况讨论：①当且时，交集为；②当且时，交集为；因此，不等式的解集为，故D正确.6.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用对数函数的单调性和对数换底公式化简比较求解.解答过程：当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，即，因为，，所以.7.已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用导数及指数函数单调性得出两段函数的单调性，根据分段函数存在最小值建立不等式，解不等式即可得结论.解答过程：由题意，令，，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以，令，，在上单调递减，且值域为，分段函数存在最小值，则，所以.综上，实数的取值范围为.8.已知函数的最大值为，则的最小值为（）A. B. C. D.e答案：B解析：思路：通过最大值求出与间的关系式并构造新函数，利用单调性求解最小值即可.解答过程：因为，所以，若，则恒成立，无最大值.，令，解得，所以在单调递增，在单调递减，所以.那么.，解得，所以在单调递减，单调递增，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的有（）A.是偶函数B.在区间上单调递增C.若，则D.当时，答案：AD解析：思路：先根据偶函数定义判定A正确，再将绝对值函数分段讨论单调性，得出先减后增否定B，解绝对值不等式得到解集否定C，利用上函数单调递增，结合时证明D正确．解答过程：对于A，的定义域为，关于原点对称，，所以是偶函数，A正确；对于B，在上单调递减，在上单调递增，所以在上是先减后增，B错误；对于C，由，得，解得，C错误；对于D，当时，，，因为在上单调递增，且，所以，D正确．10.已知定义在上的函数满足，且，则（）A. B.C.的图象关于直线对称 D.答案：BCD解析：思路：根据题意，令即可判断A；令即可判断B；先令求出，再分别令和令即可判断C；由可判断的周期是，求出一个周期的和即可求解.解答过程：已知定义在上的函数满足，且，对于A，令，则，即，由于，解得，故A错误；对于B，已知，令，则，化简得，即，对任意，都可以令，则，故B正确；对于C，已知，，令，则，化简得，解得，再令，则，化简得，变形得，再令，则，化简得，所以是一个偶函数，结合，可得，所以，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，已知，进一步可得，所以的周期是，已知，，，，所以每个周期内和为，前项可拆分为个完整周期加剩余项，所以，故D正确.11.已知函数，则下列结论正确的有（）A.若是奇函数，则B.当时，函数的图象关于点对称C.若函数有两个极值点，则或D.若对任意实数，以为边长总能构成三角形，则答案：ABD解析：思路：选项A，利用奇函数的特殊点，直接计算参数，验证即可；选项B，利用函数对称性时，函数关于点对称；选项C，函数有两个极值点，所以时有两个不相等的实数根；选项D，，讨论与1的关系，由三角形成立条件通过极端值逼近决定的范围.解答过程：选项A，因为是奇函数，所以，解得，当时，，函数的定义域为，，函数为奇函数，选项A正确；选项B，当时，，，所以函数的图象关于点对称，选项B正确；选项C，令，所以函数有两个极值点等价于有两个不相等的异号零点，因为，令得，，令，即，所以有两个不相同的正实数根，所以，解得或，且，，所以，所以有两个不相同的正实数根时，即函数有两个极值点时，选项C错误；选项D，，令，当，，，能构成三角形；当时，单调递增，所以单调递减，，由三角形三边关系有，所以；当时，，，任意的使得，当时，，，不满足成立条件，所以；当时，单调递减，，，，所以，即；当时，，不满足成立条件，综上所述，，选项D正确.方法提示：全面考查函数的性质，由函数奇偶性计算参数的值，函数对称中心条件，由函数极值点转化导数为零时的解的问题，通过函数单调性决定交点个数求参数范围，同时，根据三角形成立条件，利用逼近思想确定参数的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知实数满足，且，则的值为___________.答案：18解析：思路：根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解.解答过程：由，得，则，由，得，联立解得或，因此或，所以.13.已知函数，若函数有4个不同的零点，则实数的取值范围为___________.答案：解析：思路：根据给定条件，作出函数的部分图象，数形结合求出范围.解答过程：当时，，当时，，，当时，，，当时，，由，得，由函数有4个不同的零点，得直线与函数的图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图：观察图象知，当且仅当时，直线与函数的图象有4个交点，所以实数的取值范围为.14.定义个元素构成的实数集的相伴数集，若中所有元素的最小值为1，则称为元规范数集.若集合为4元规范数集，则的取值范围为___________；若为6元规范数集，则中所有元素的绝对值之和的最小值为___________.答案：①.②.9解析：思路：（1）根据元规范数集的定义列不等式求解；（2）由为6元规范数集，得中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1，设中所有元素从小到大依次为：，再根据绝对值不等式求解即可.解答过程：（1）集合为4元规范数集，中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1，所以解得取交集得.（2）设中所有元素从小到大依次为：，若为6元规范数集，则中任意两不同元素之差的绝对值大于或等于1，即有，所以，，，，当时，，所以中所有元素的绝对值之和的最小值为9.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小值；（2）若对，，使得，求实数的取值范围.答案：（1）1（2）解析：解答过程：（1）因为，所以，令，即，解得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，取得最小值，即最小值为.（2）因为，使得，即.由（1）知，，所以在上有解，当时，函数在上单调递增，所以，不合题意.当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，则，解得或，又因为，所以实数的取值范围为.16.已知函数.（1）当时，求过点且与曲线相切的直线的方程；（2）讨论的单调性.答案：（1）（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.解析：思路：（1）先利用导数写出切线斜率，再利用斜率坐标公式建立方程，求出切点，最后代入点斜式即可写出方程；（2）先求导分解因式，再根据的正负，比较两根2和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间.（1）当时，，所以.设切点为，则，即，解得，所以，又，所以切线方程为，即.（2）因为函数的定义域为，且当时，由，得，在上单调递增，，得，在上单调递减；当时，因为，当时，，在上单调递减；当时，因为，由，得或，在上单调递减，由，得，在上单调递增；当时，因为，由，得或，在上单调递减，由，得，在上单调递增；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.17.一小微企业生产某种产品.经验表明，当该产品每件的售价为元时，日销售量为（单位：千件），且.已知当售价为2元/件时，日销售量为8千件；当售价为6元/件时，日销售量为2.5千件.（1）求的值；（2）假设每件产品的成本为1元，求为何值时，日利润最大？并求出最大日利润.答案：（1），（2），千元解析：思路：（1）代入已知数据可求得参数值；（2）求出利润函数，然后利用导数求得最大值.（1）由题知，，即，解得.，即，解得.（2）设日利润为，则.由（1）知，当时，，，所以当和时，单调递增当时，单调递减，又，所以，当时，的最大值为12.当时，，因为，当且仅当时，等号成立，故.综上，当时，日利润的最大值为千元.18.已知函数.（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；（2）已知函数存在极值点.（i）证明：；（ii）当时，证明：函数在上存在唯一零点，且.答案：（1）（2）（i）对求导得，当时，，在上单调递减，无极值点，不合题意.当时，令，则.由（1）知，，则对任意恒成立，则在单调递增，且当，，当，，所以当时，存在，使得.即当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以为函数的极大值点.又，令，则，令，得，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即；（ii）由（i）知，当时，，故，且.因为在上单调递增，，所以在上无零点.又在上单调递减，且当时，，故函数在上存在唯一零点.因为在上单调递减，故要证，只需证，只需证因为，令，则且，故，令，则，令，则，因为，故，在上单调递减，故，即，故在上单调递减，所以.又因为，所以，结论得证.解析：思路：（1）将函数单调递减转化为导数恒小于0，分离参数后构造函数，求新函数的最值，即可得到的取值范围；（2）（i）先分析导数符号，判断只有才存在极值点，利用极值条件把替换掉，代入构