人教版九年级数学上册《图形的旋转》期末专题复习导学案

人教版九年级数学上册《图形的旋转》期末专题复习导学案

一、学情分析与复习目标预设

（一）学情深度剖析

经过本学期第二十三章“旋转”的新课学习，九年级学生已经初步建立了旋转运动的基本概念，掌握了旋转的定义、性质以及关于旋转中心对称的基本知识，并能够进行简单的旋转作图。然而，在期末综合复习阶段，通过前期诊断性练习及访谈发现，学生普遍存在以下三方面亟待深化的学情：

1.概念理解的碎片化：多数学生能够背诵旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）及性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角，旋转前后的图形全等），但在复杂图形或实际问题中，往往难以准确识别旋转关系，无法将性质进行整合应用。

2.知识迁移的局限化：学生能够解决单一知识点的标准问题，但在面对将旋转与之前学习的全等三角形、特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）、圆，乃至与后续的相似、三角函数等知识进行综合的问题时，常常出现思维断层，缺乏建立知识间有效联结的能力。

3.模型构建与高阶思维的欠缺：对于旋转中的常见模型（如“手拉手”模型（共顶点旋转全等）、旋转构造法解决线段和最值问题、旋转与路径问题等），学生普遍处于无意识状态，解题多依赖记忆和模仿，缺乏主动运用旋转变换思想转化几何条件、构造几何图形的高阶思维能力。

（二）核心素养导向的复习目标

基于以上学情，本次专题复习旨在超越知识点的简单再现，聚焦数学核心素养的提升，设定如下三维目标：

1.知识与技能目标：

1.2.系统化重构：引导学生自主构建以“旋转”为核心的知识网络图，深度理解旋转作为图形全等变换的本质，能够精准阐述其性质及应用前提。

2.3.熟练化操作：能够熟练、准确地进行已知三要素的旋转作图，以及根据旋转前后的图形确定旋转中心和旋转角。

3.4.综合化应用：能综合运用旋转的性质，结合三角形、四边形、圆等知识，证明线段相等、角相等、线段的位置关系（平行、垂直），计算线段长度、图形面积等。

5.过程与方法目标：

1.6.模型归纳：通过典型例题的变式探究，归纳总结旋转中的常见几何模型（如“共顶点等线段”结构引发的旋转全等），体验从特殊到一般的数学思想。

2.7.策略生成：经历“观察图形结构→识别旋转可能性→构造旋转变换→转化几何条件→解决问题”的完整思维过程，掌握利用旋转进行“化散为聚”、“化静为动”、“化难为易”的解题策略。

3.8.思想渗透：深刻体会旋转中的转化与化归思想、从特殊到一般的思想、数形结合思想以及模型思想。

9.情感态度与价值观目标：

1.10.感受旋转对称之美，体会数学图形变换的奇妙与应用价值。

2.11.在合作探究与思维碰撞中，增强克服复杂问题的信心和毅力，培养严谨求实的科学态度和理性精神。

二、复习重点与难点研判

（一）复习重点

1.旋转性质的深度理解和整合应用。

2.利用旋转构造全等三角形，解决线段、角的数量关系与位置关系问题。

3.识别并初步应用“手拉手”等基本旋转模型。

（二）复习难点

1.在复杂或隐蔽的图形中，主动识别旋转条件并创造性地构造旋转变换。

2.旋转与代数、几何其他知识的综合应用，特别是动态几何中的路径问题与最值问题。

3.旋转思想在解决实际问题中的建模与应用。

三、复习准备与资源设计

1.教师准备：

1.2.制作交互式多媒体课件，动态演示图形的旋转过程，特别是“手拉手”模型的生成与变换。

2.3.精心设计“导学案”，包含知识梳理填空、典型例题层级探究、变式训练、反思小结等模块。

3.4.准备几何画板软件，用于课堂即时演示图形旋转的动态效果，辅助学生理解。

4.5.设计分层巩固练习卷（A组：基础巩固；B组：能力提升；C组：拓展探究）。

6.学生准备：

1.7.自主完成“导学案”中的“课前知识梳理”部分，回顾课本第二十三章核心内容。

2.8.准备圆规、直尺等作图工具。

3.9.复习三角形全等、特殊四边形性质等相关知识。

四、复习过程实施（总计两课时，120分钟）

第一课时：基模构建与性质深探（60分钟）

（一）情境唤醒，问题导学（预计用时：8分钟）

播放一组动态图片：风力发电机的叶片转动、时钟指针的转动、游乐场旋转木马的运动、中式古典窗棂中的旋转对称图案。

师生活动：

教师提问：“这些运动有什么共同特征？在数学中，我们如何刻画这种图形运动？”

引导学生回顾旋转的定义，并强调“三要素”是确定一个旋转变换的必要且充分条件。

抛出导学问题链：

1.一个图形经过旋转，其形状、大小是否改变？这体现了旋转作为一种图形变换的什么本质属性？（全等变换）

2.旋转的性质，是从哪些方面描述了图形旋转前后的不变关系？（距离不变、夹角不变、图形全等）

3.中心对称是旋转的一种特殊情况，特殊在哪里？（旋转角为180度）

设计意图：通过生活与艺术中的实例，快速唤醒学生对旋转的感性认识与记忆，以问题链驱动学生从现象描述走向数学本质思考，明确本节课的复习核心。

（二）自主梳理，网络构建（预计用时：12分钟）

学生活动：独立完成导学案“知识网络图”的填空与连接。网络图主干如下：

图形的旋转

├─定义：将一个图形绕一个定点O转动一个角度

├─三要素：旋转中心（O）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角（∠POP’）

├─性质

│├─对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA’）

│├─对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角（∠AOA’=θ）

│└─旋转前后的图形全等

├─作图：已知三要素作旋转后图形；已知原图与旋转后图形找旋转中心与旋转角

└─特殊旋转：中心对称（旋转角180°）→中心对称图形

教师活动：巡视指导，关注学生网络构建的逻辑性。选取有代表性的学生作品（正确、有误、有创意）通过投影展示，组织学生互评、补充、修正。最终师生共同完善板书，形成结构化、可视化的知识体系。

设计意图：改变教师单向梳理的惯例，让学生主动参与知识结构的重建，将零散知识点系统化、结构化。展示与互评环节有助于暴露认知误区，促进深度理解。

（三）典例精析，模型初现（预计用时：25分钟）

【例1】（性质直接应用与作图）

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2。将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α<180）得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E。

（1）当点D恰好落在AB边上时，求α的度数。

（2）连接AD，若旋转后AD//BC，请画出旋转后的图形，并求此时α的度数。

师生活动：

1.学生独立审题，分析旋转中心、旋转方向、旋转对象。

2.对于（1），引导学生发现关键：旋转后CD=CA，且点D在AB上，故△ACD是等腰三角形。结合已知角，利用三角形内角和或外角性质求解α=60°。

3.对于（2），这是一个反向问题，根据结论（AD//BC）反推旋转角。学生先尝试独立作图，教师利用几何画板动态演示旋转过程，观察AD与BC平行时的瞬间，帮助学生确定旋转后图形的大致位置。引导学生分析：由AD//BC，结合旋转性质∠BCD=∠ACE=α，以及已知角，可推导出α与已知角的关系，最终求出α=120°。

4.教师小结：本题体现了旋转性质在计算与作图中的直接应用。解题关键在于利用“对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角”以及旋转后的图形全等带来的边角关系。

【例2】（“手拉手”模型初步）

如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B、C、D在同一直线上。

（1）求证：CE=BD。

（2）求∠BFC的度数。

师生活动：

1.引导学生观察图形特征：两个共顶点A的等边三角形。这符合什么结构？（共顶点等线段）

2.分析求证目标：CE和BD分别位于哪两个三角形中？(△CAE和△BAD)这两个三角形可能全等吗？

3.启发思考：能否将其中一个三角形看作由另一个三角形旋转而来？如何描述这个旋转过程？（△CAE可以看作由△BAD绕点A逆时针旋转60°得到，或反之）

4.学生完成证明过程，强调书写规范：需指明旋转角为60°，并利用等边三角形性质提供边角相等条件。

5.对于（2），引导学生发现∠BFC是“8字型”或“蝴蝶型”中的一个角，利用（1）中全等得到的角相等，结合三角形内角和或外角定理，可求出∠BFC=60°。

6.教师提炼模型：共顶点的两个等边三角形，会形成一组旋转全等三角形（△BAD≌△CAE），这个结构常被称为“手拉手”模型。其核心特征是：共顶点，等线段，等夹角（旋转角等于两个图形对应边的夹角）。

设计意图：例1巩固旋转基本性质，并引入逆向思维和作图。例2是本节课的核心模型教学，通过证明与计算，让学生亲身经历从观察结构到识别模型，再到应用模型解决问题的过程，为后续复杂模型应用奠基。

（四）课堂小结与反思（预计用时：5分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行小结：

1.知识：我们系统回顾了旋转的定义、三要素、性质及其核心应用。

2.方法：学习了利用旋转性质进行计算、作图，初步接触了“手拉手”模型的分析与证明方法。

3.思想：体会了转化思想（将线段相等转化为三角形全等）、数形结合思想。

布置课后思考：除了等边三角形，还有哪些共顶点的图形可以构造类似的旋转全等关系？（如共顶点的正方形、等腰直角三角形等）

第二课时：模型迁移与综合应用（60分钟）

（一）模型变式，能力进阶（预计用时：20分钟）

【例3】（“手拉手”模型变式——等腰直角三角形）

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。点D、E在边BC上，且∠DAE=45°。

（1）求证：BD^2+CE^2=DE^2。

（2）若BD=3，CE=4，求DE的长。

师生活动：

1.学生观察：图形中有共顶点的等腰直角三角形吗？（△ABC）但△ADE不是等腰直角三角形，直接套用模型受阻。

2.启发引导：结论是线段平方和，联想到什么定理？（勾股定理）但BD、CE、DE不在同一个直角三角形中。如何将它们集中？能否利用旋转构造全等，将BD和CE转移到同一个三角形中？

3.探究构造：绕点A旋转哪个三角形？旋转多少度？引导学生尝试：将△ABD（或△ACE）绕点A旋转90°，使得AB与AC重合。具体地：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACF，连接EF。

4.师生共同分析：由旋转，BD=CF，∠B=∠ACF=45°，∠BAD=∠CAF。结合∠DAE=45°，可证△ADE≌△AFE(SAS)，从而DE=FE。

5.在△ECF中，∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，由勾股定理得CF^2+CE^2=EF^2，等量代换即得BD^2+CE^2=DE^2。

6.（2）问直接应用（1）结论，DE=5。

7.教师对比升华：本例将“手拉手”模型的条件进行了“软化”，从固定的等边三角形或等腰直角三角形，变为一个含有特殊角（45°）的动态结构。解题关键在于“遇等线段，想旋转”，通过旋转构造全等，实现线段的转移与集中，将分散的条件汇聚到一个直角三角形中，从而运用勾股定理解决问题。这体现了旋转作为几何构造工具的强大功能。

设计意图：本例是“手拉手”模型的经典变式，难度提升。旨在训练学生在非标准图形中识别旋转要素、主动构造旋转变换的能力，深刻理解旋转作为转化策略的本质。

（二）综合拓展，链接中考（预计用时：30分钟）

【例4】（旋转与路径、最值问题）

如图，边长为4的正方形ABCD，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），连接AE。将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接DF。

（1）求证：△ADF≌△ABE。

（2）连接CF，求线段CF长度的最小值。

（3）随着点E在BC上运动，点F的运动路径是什么图形？求出该路径的长度。

师生活动：

1.（1）问相对基础，学生独立完成，利用正方形性质、旋转性质（AF=AE，∠FAE=90°）及等量代换证明∠FAD=∠EAB，从而由SAS证全等。

2.聚焦（2）问：CF的长度如何表示？点F是动点，点C是定点。由（1）全等可知DF=BE。设BE=x，则CE=4-x，DF=x。在Rt△CDF中，CF^2=CD^2+DF^2=16+x^2。这似乎CF随x增大而增大，最小值在x=0时？但点E不与B、C重合，x不能为0或4。

3.思维冲突：上述思路默认点D、F、C可构成直角三角形，但∠CDF一定是直角吗？重新审视图形，发现F是由A旋转AE得到，其位置与E密切相关。能否找到CF的更直接关联？

4.引导学生转换视角：观察△ABE绕点A顺时针旋转90°得到了△ADF。那么，如果考虑整个图形的旋转关系呢？连接AC。正方形中，∠BAC=45°，AC=√2AB。能否找到点C的对应点？

5.启发构造：将△AEC（或点C）也绕点A旋转90°试试？将△AEC绕点A顺时针旋转90°，则点C旋转到点C‘，AC’=AC，∠CAC‘=90°。由旋转性质，EC=C‘F。由于△AEC旋转后得到△A？F？需要明确点E的对应点是F。所以，实际上是点C的轨迹跟随点E的旋转而确定。更简洁的思路：由（1）全等，∠ADF=∠B=90°，所以点F在过D且垂直于AD的直线上运动（即射线DM，其中DM⊥AD于D，且M在AD右侧）。

6.确定F轨迹后，问题转化为：定点C到定直线DM上动点F的距离最小值，即垂线段最短。过C作CN⊥DM于N。易证四边形CDMN为矩形，CN=DM=AD=4。所以CF的最小值即为CN的长，等于4。

7.对于（3）问，由（2）分析知，点F在射线DM上运动。但由于点E在BC线段上运动，需要确定F的起点和终点。当E与B重合时（虽不取，但为边界），F与D重合？计算：E与B重合时，由旋转，F应在AB延长线上且AF=AB，此时F不在DM上？这里需要严谨分析。

8.重新严谨分析F轨迹：由△ADF≌△ABE，得∠ADF=∠B=90°恒成立。因此，无论E在BC上何处，∠ADF始终为90°，即DF始终垂直于AD。又因为A、D是定点，所以F始终在过点D且垂直于AD的直线上。同时，DF=BE，BE的取值范围是(0,4)。所以，点F的运动轨迹是线段D'D''，其中D'、D''分别对应E在B、C（不含端点）时F的位置。计算可得D'是使得DF=0的点，即D本身；D''是使得DF=4的点，位于直线DM上且DD''=4。因此轨迹是长度为4的线段。

9.教师总结提升：本题是旋转与动态几何综合的典型。解题的关键步骤是：

1.10.第一步，证明旋转全等，建立动点F与已知动点E的联系。

2.11.第二步，利用旋转全等带来的不变性（此处是∠ADF=90°），确定动点F的轨迹（定直线或定圆的一部分）。这是解决旋转动态问题的核心思路。

3.12.第三步，将问题（最值、路径长）转化为关于轨迹的经典几何模型（点到直线距离、弧长计算）来解决。

4.13.其中，寻找“不变量”（角度、线段关系）是确定轨迹的突破口。

设计意图：本题融合了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、动点轨迹、最值问题等多个重要考点，思维含量高。通过层层递进的分析，引导学生掌握处理复杂旋转综合题的通用策略：证明关系→确定轨迹→模型转化。旨在培养学生的几何直观、逻辑推理和综合运用能力，直指中考压轴题的考查要求。

（三）课堂总结，体系升华（预计用时：10分钟）

引导学生以思维导图形式，从以下方面总结本专题复习：

1.一个核心：旋转是一种保距、保角的图形全等变换。

2.两大应用：

1.3.直接应用：利用性质计算、作图。

2.4.构造应用：通过旋转，将分散的条件集中，将非常规图形转化为常规图形（如构造全等三角形、直角三角形）。

5.三类模型：

1.6.“手拉手”模型（共顶点等线段，等夹角）。

2.7.旋转构造法（用于证明线段和差平方关系、求最值）。

3.8.旋转轨迹问题（抓住不变量确定轨迹，化动为静）。

9.四种思想：转化思想、模型思想、数形结合思想、从特殊到一般的思想。

教师最后强调：旋转不仅是知识，更是重要的几何解题工具和思维方法。在遇到共顶点、等线段、特殊角等条件时，要优先考虑旋转变换的可能性。

五、分层作业设计

（一）A组：基础过关（全体完成）

1.选择题：考查旋转中心、旋转角的识别，中心对称图形判断。

2.填空题：利用旋转性质进行简单计算。

3.解答题：模仿例1进行旋转作图和角度计算；模仿例2完成一个共顶点等腰直角三角形的“手拉手”模型证明。

（二）B组：能力提升（中等及以上学生完成）

1.证明题：变式“手拉手”模型，例如共顶点的两个正方形中，证明线段与角的特定关系。

2.计算题：类似例3的变式，在四边形或含有60°、120°角的图形中，利用旋转构造全