数字信号处理-使用Python分析与实现 课件 第2章 时域离散系统的频域分析

1第2章时域离散系统的变换域分析

李蓉艳同济大学电子与信息工程学院第2章时域离散系统的变换域分析

2离散时间信号和系统的变换域分析2.1

z变换2.2DTFT正、逆变换典型序列的z变换Z变换的性质和拉氏变换的关系2.3三种变换的关系2.4LSI系统频域特性定义性质频率响应因果稳定零极点分析一对多映射单位圆上z变换32.1z变换

42.1.1z正变换

5

解

importsympyassymn=sym.symbols('n',integer=True)z=sym.symbols('z',complex=True)Z_trans1=sym.summation(1*z**-n,(n,0,sym.oo))。print('单位阶跃序列的X(z)=',Z_trans1)Z_trans2=sym.summation(sym.KroneckerDelta(n,0)*z**(-n),(n,-sym.oo,sym.oo));print('单位抽样序列的X(z)=',Z_trans2)单位阶跃序列的X(z)=Piecewise((1/(1-1/z),1/Abs(z)<1),(Sum(z**(-n),(n,0,oo)),True))单位抽样序列的X(z)=162.1.2典型序列的Z变换收敛域1.有限长序列

其z变换：

72.右边序列

其z变换：

右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外2.1.2典型序列的Z变换收敛域8因果序列

2.1.2典型序列的Z变换收敛域93.左边序列

左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内2.1.2典型序列的Z变换收敛域104.双边序列

2.1.2典型序列的Z变换收敛域11

解

122.1.3z逆变换

131.留数法（围线积分法）根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域

内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即

根据留数定理

2.1.3z逆变换14

15

16

因此

由此可得

172.部分分式法

（1）留数法求部分分式系数2.1.3z逆变换18

可以借助计算机工具（Python或MATLAB）来求解部分分式的系数。19

解：调用numpy库中的poly函数来求分母多项式的系数。然后利用residuez函数计算部分分式分解的参数。importnumpyasnpfromscipy.signalimportresidueza=np.poly([0.1,0.1,-0.3])r,p,k=residuez([1],a)print('r=',r,'\n','p=',p,'\n','k=',k)运行结果：

r=[0.18750.250.5625]p=[0.10.1-0.3]k=[]

查表可得：

20（2）对比法求部分分式系数

因此

2.1.3z逆变换21比较三项的系数

部分分式分解为

22

解

23

解方程，求得

部分分式分解为

24

查表得

253.长除法

2.1.3z逆变换26

进行长除

27

说明是一个左边序列，以z的升幂排列进行长除法

进行长除

282.1.3z逆变换

29

解：使用deconvolve实现长除法的程序如下：importnumpyasnpfromscipy.signalimportdeconvolvenp.set_printoptions(suppress=True)a=np.poly([0.2,0.3,-0.4])sig=np.concatenate((np.array([1.]),np.zeros((8,))),axis=0)x,_=deconvolve(sig,a)print(x)程序运行结果如下：[1.0.10.150.0050.0191-0.00099]302.1.4Z变换的性质和定理（1）线性

（比例性和可加性）

收敛域为两个序列收敛域的公共部分。如果这些线性组合中某些零点和极点互相抵消，则收敛域可能扩大。31（2）序列的移位

则

①双边z变换

2.1.4Z变换的性质和定理32②单边z变换

左移位性质：

右移位性质：

2.1.4Z变换的性质和定理33证明：

34

得证。

35（3）乘以指数序列

证明：

2.1.4Z变换的性质和定理36

则

证明：

因此

2.1.4Z变换的性质和定理37（5）复共轭序列

则

证明

2.1.4Z变换的性质和定理38（6）初值定理

证明：

因此

2.1.4Z变换的性质和定理39（7）终值定理

证明：

2.1.4Z变换的性质和定理40

得证。41（8）时域卷积定理

则

2.1.4Z变换的性质和定理42证明：

43

解

由线性时不变系统的性质

1.线性卷积法

442.Z变换法

由收敛域判定

45

且

则

收敛域

2.1.4Z变换的性质和定理46证明：

收敛域满足：

两式相乘得

被积函数的收敛域为

47

且

则

*：取共轭

2.1.4Z变换的性质和定理48证明：

则由复卷积定理

49

因此502.1.5利用Z变换求解差分方程

51整理得

零状态解（与系统初始状态无关）零输入解（与输入信号无关）52

解对已知差分方程进行单边Z变换

零输入解零状态解53

解对已知差分方程进行单边Z变换

整理后得

54

编程求解（电子资源），程序运行结果

552.2有限长序列的傅里叶变换（DTFT）

正变换

逆变换

56

交换积分表达式和求和符号

由于

57则有

58

解

幅度响应相位响应

5960

解

程序运行结果图如下：Scipy库中的freqz(b,a)

矩阵向量乘法编程求DTFT61

2.2.2序列傅里叶变换的性质62

充分条件：

63

级数满足以下均方收敛条件

也是DTFT存在的充分条件

一致收敛一定满足均方收敛，而均方收敛不一定满足一致收敛。64

序列傅里叶变换的主要性质可由z变换的性质得出2.2.2序列傅里叶变换的性质65（1）线性

（2）序列的移位

时域的移位对应于频域有一个相移

（3）乘以指数序列

2.2.2序列傅里叶变换的性质66（4）乘以复指数序列（调制性）

时域的调制对应于频域的相移。（5）时域卷积定理

时域的卷积对应于频域的相乘（6）频域卷积定理

2.2.2序列傅里叶变换的性质67（7）序列的线性加权

时域的线性加权对应于频域的一阶导数乘以j。（8）帕塞瓦定理

时域的总能量等于频域的总能量。

2.2.2序列傅里叶变换的性质68（9）序列的翻褶

（10）序列的共轭

时域取共轭对应于频域的共轭且翻褶2.2.2序列傅里叶变换的性质2.2.3序列傅里叶变换的对称性质69

（1）共轭对称序列

共轭对称序列的实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列70（2）共轭反对称序列

共轭反对称序列的实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列类似的

其中

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质71

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质72

其中

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质733.序列和其傅里叶变换的共轭对称性关系

则：

（1）将序列分为共轭对称部分和共轭反对称部分

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质74（2）将序列分为实部和虚部

2.2.3序列傅里叶变换的对称性质75

解

取序列长度为6，编写程序画出原序列、共轭对称和共轭反对称序列从图终可以看到，共轭对称序列的实部满足偶对称，虚部满足奇对称；共轭反对称序列的实部满足奇对称，虚部满足偶对称。

76

原序列长度为6，共轭对称和共轭反对称序列长度为1177

782.1.6Z变换和拉普拉斯变换的关系连续时间信号的拉普拉斯变换

离散时间信号的Z变换

792.1.6Z变换和拉普拉斯变换的关系

80

Ω:

ω:

812.3抽样信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换及z变换的关系1.抽样信号的拉普拉斯变换和z变换的关系

一一映射

多值映射关系

822.序列的傅里叶变换和z变换的关系

即单位圆上的z变换是序列的傅里叶变换832.4线性移不变系统的频域特性2.4.1LSI系统的描述

幅频特性函数：

相频特性函数：

84

2.4.1LSI系统的描述85

86

解：编写程序画图，零极点图如图所示，幅频和相频如图所示。

零极点分布图幅度频谱和相位频谱图z,p,k=scipy.signal.tf2zpk(b,a)w,h=scipy.signal.freqz(b,a,wf)872.4.2LSI系统的因果稳定性因果性的充分必要条件：

稳定性的充分必要条件：

z变换的收敛域满足：

88

importnumpyasnpa=[1,-1.5,1,-0.8]zp=np.roots(a)zpm=max(abs(zp))…[1.2182+0.j0.1409+0.798j0.1409-0.798j]1.218196866316073程序运行结果：

892.4.3利用系统的零极点分布分析系统的频率响应系统函数的零极点形式

幅度响应

90

相位响应

零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定91【例2.4.3】设一阶系统的差分方程为

解将差分方程等式两端取z变换

这是一个因果系统，可求出单位抽样响应