高中数学 加练 专题6　第52练　等比数列

第52练等比数列(分值：40分)一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S9+7S6=8S3，则{an}的公比为()A.2 B.12 C.-1答案D解析设等比数列{an}的公比为q，根据等比数列前n项和的性质，S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，且公比为q3，又S9+7S6=8S3，即S9-S6=-8(S6-S3)，所以q3=-8，解得q=-2.2.在等比数列{an}中，若a1·a5·a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是()A.T6 B.T8 C.T10 D.T11答案D解析在等比数列{an}中，设公比为q，则a1·a5·a12=a13q15=(a1q5)若a1·a5·a12为一确定的常数，则a1q5为一确定的常数，又∵T6=a16q15=T8=a18q28=(a1q5)8q12T11=a111q55=(a1q5)11，∴T113.已知数列{an}满足a1=1，前n项和为Sn，an+1·an=2n(n∈N*)，则S2026等于()A.22026-1 B.3×21013-1C.3×21013-2 D.3×21013-3答案D解析数列{an}中，a1=1，由an+1·an=2n，得a2=2，an+2·an+1=2n+1，则有an+2因此数列{a2n-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S2026=(a1+a3+…+a2025)+(a2+a4+…+a2026)=1-210131-2+2(1-21013)1-2=3二、多项选择题(共6分)4.记等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1>1，a2024>1，a2025<1，则()A.a2024a2026-1<0B.S2024+1<S2025C.T2024是数列{Tn}中的最大项D.T4049>1答案AC解析设数列{an}的公比为q.∵a1>1，a2025<1，∴0<a2025<1，又a2024>1，∴0<q<1.∵a2024a2026=a20252∴a2024a2026-1<0，故A正确；∵a2025<1，∴a2025=S2025-S2024<1，即S2024+1>S2025，故B错误；∵0<q<1，a1>1，∴数列{an}是递减数列，∵a2024>1，a2025<1，∴T2024是数列{Tn}中的最大项，故C正确；T4049=a1a2a3·…·a4049=a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4048)=a14049q1+2+3+…+4=a14049q2024×4=(a1q2024)4049=a2025∵0<a2025<1，∴a20254049即T4049<1，故D错误.三、填空题(共5分)5.设函数y=f(x)的定义域为R，若f(0)=1013，且对任意x∈R，满足f(x+1)-f(x)≤3x，f(x+2)-f(x)≥4×3x，则f(2025)的值为.答案3解析由f(x+1)-f(x)≤3x，可得f(x+2)-f(x+1)≤3x+1，因为f(x+2)-f(x)≥4×3x，所以f(x+1)-f(x)=-[f(x+2)-f(x+1)]+f(x+2)-f(x)≥-3x+1+4×3x=3x，又因为f(x+1)-f(x)≤3x，所以f(x+1)-f(x)=3x，所以f(2025)-f(0)=[f(2025)-f(2024)]+[f(2024)-f(2023)]+…+[f(1)-f(0)]=32024+32023+…+3+1=1-320251-3又因为f(0)=1013，所以f(2025)=32025+2025四、解答题(共14分)6.(14分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=3Sn+1，n∈N*.(1)求{an}通项公式；(6分)(2)设bn=ann+1，在数列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k=m+p)成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由.解(1)由题意知，在数列{an}中，an+1=3Sn+1，an=3Sn-1+1，n≥2，两式相减可得，an+1-an=3an，an+1=4an，n≥2，由条件知，a2=3a1+1=4a1，符合上式，故an+1=4an，n∈N*.∴{an}是以1为首项，4为公比的等比数列.∴an=4n-1，n∈N*.(2)由题意及(1)得，在数列{an}中，an=4n-1，n∈N*，在数列{bn}中，bn=4n