高中数学 培优课 与球有关的截面及内切、外接问题

培优课与球有关的截面及内切、外接问题

【学习目标】I.掌握球的截面问题的相关计算.（难点）2.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.（重点）3.会

求特殊几何体的内切球的相关问题.（难点）

一、球的截面问题

例1一平面。截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面a的距离为VL则此球的体积为（）

A.GB.4百兀

C.4a兀D.6百兀

答案B

解析如图，设截面圆的圆心为。'，M为截面圆上任一点，贝IO。三鱼，。加二1,

AOM=J（V2）2+1=V3,即球的半径为V5,

・••球的体积V=J7CX（V3）MV37C.

反思感悟球的裁面的性质

用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的极面有以下性质：①球心和板面圆圆心的连线垂直于截

面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径「满足关系d=>jR2-r2.

跟踪训练1如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口,

再向容器内注水，当水面恰好接触球面时测得水深为6cm,若不计容器厚度，则球的体积为（）

A500，3

A.-----cm

3

c1372n3

C.——cnr

3

答案A

解析如图，作出球的一个轴截面，则MC=8-6=2（cm）,

刚仁，8W乂8=4(5).设球的半径为R,则R2=OM2+MB2=(R-2)2^2,

解得R=5cm,V.f-^rX5*二哼^(cnf).

二、几何体的外接球

一个几何体的所有顶点都在问一个球面上，则称之为该几何体的外接球.空间中如果一个定点与一个多

面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体的外接球的球心，该定点到各顶点的距离

为外接球的半径.

角度1直接法求几何体的外接球

例2(1)设长方体的长、宽、高分别为2小a,a,其顶点都在一个球面上，则该球的体积为()

ABTU?B.乃“J

C.275M3D.2A/6TU73

答案B

解析作出图形的轴截面如图所示，点。即为该球的球心，线段A8即为长方体底面的对角线，长度为

+(2a)2=V5a,线段AC即为长方体的高，长度为小线段AC即为长方体的体对角线，长度为

la2+(V5a)2=V6«,则球的半径R=^-=^-a,

所以球的体积丫=，/?3=n兀/.

(2)棱长为。的正四面体A8CD,其顶点都在一个球面上，求球的体积.(用直接法解答)

解如图，过A作底面8。的垂线，垂足为E,则七为△8C。的重心，连接8E.

•・•正四面体的棱长为

•ME/译

・'•在R©"中，八斤加一产袅

设球心为O,半径为R,连接OB,

则(AE-R)2+BE2=R2,

/.R=^a,：.V-：=^jiR3=^na3.

反思感悟(1)直接法求解几何体的外接球问题，需要找到合适的截面，才能将空间几何问题转化为平面几

何问题求解.如果几何体是多面体，球心以及侧棱所确定的平面是截面的首选；如果几何体是旋转体，经常

选择轴截面作为截面.找到截面后，利用球心到球而上两点的距离相等来确定球心位置与半径大小，

(2)常见几何体的外接球的有关结论

①长方体的体对角线是其外接球的直径，即若长方体过同一顶点的三条棱长分别为出btc,过球心作长

方体的体对角线，则球的半径为尸；迎2+匕2+02.

②若正方体的棱长为凡则其外接球半径为苧口

③若正四面体的枝长为明则它的外接球半径为R当i.

④正棱锥的外接球球心在顶点到底面的垂线上.

⑤直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.

跟踪训练2(1)设三棱柱的侧棱庭直于底面，所有棱的长都为。，顶点都在一个球面.匕则该球的表

面积为()

A.兀4B.^ur

C.y7l6?D.57l«2

答案B

解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a如图，P为三棱柱上底面的中

心，。为球心，易知4X

J/O

所以球的半径满足心(苧同

R=OAJ+(2=£a\故S球=4成2=夕。2

(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积与此球体积的

比值为.

答案割层

解析分两种情况，

①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为「，则球心到该圆锥底面的距离是竟

于是圆锥的底面半径为卜一（丁上|二高为学

2

该圆卷的体积为:义兀x（空）X为）月球的体积为轲\

・•・该国锥的体积和此球体积的比值为社工=白.

”332

②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为4.

角度2补形法求几何体的外接球

例3（1）已知三棱锥P-A8c中，PA,PB,PC两两垂直，且。4=1,PB=2,PC=3,则三棱锥P-A3C的

外接球的表面积为（）

A.雪兀B.1471

C.56nD.JH兀

答案B

解析以线段24,PB,PC为相邻三条棱的长方体PA8B-C4PC被平面A8C所截得的三棱锥P-A8C符合

要求，如图，长方体尸48B-CAPC与三棱锥尸-48C有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线

PP',

设外接球的半径为凡

则（2R）2=PP2=PA2+尸序+/。2=12+22+32=\%

则所求球的表面积5=4兀A'=7T（2A）'=14兀.

（2）棱长为。的正四面体A8C。，其顶点都在一个球面上，求球的体积.（用补形法解答）

解如图，将正四面体ABCO放入正方体中，

•••正四面体的棱长为。，

・•・正方体的棱长为多，体对角线长为争，

・••球的直径2R二手a,

R=—a,V级二士兀RJ渔兀

438

反思感悟当几何体中存在侧棱与底面垂直或对棱相等等条件时，我们可以把几何体补形为长方体或正方

体等特殊几何体，求解其外接球的半径，具体如下：

（I）侧面为直角三角形的三棱棒或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解.

①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

③正四面体PA8C可以补形为正方体且正方体的棱长片是，如图3所示.

④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.

B

图1图2

图3

(2)将一条棱垂直于底面的三棱锥补成直三棱柱求解.

跟踪训练3三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是4,包里，则该三棱锥的外

接球的体积是()

A/2TT口8无n

AA.--B.——

33

C.V6xD.8伤兀

答案C

解析三棱锥的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,

它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，

设PB=b,PC=c,

令界加?如当

解得b=l,c=V3.

则长方体的体对角线长为J(&)2+M+(b)2

=>/6.

所以外接球的直径是连，半径R二F，

则外接球的体积V=^7c/?3=V6n.

三、几何体的内切球问题

例4(1)一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形.类比此方法，若

一个三棱锥的体积£2,表面积5=3,则该三棱锥内切球的表面积为()

A.81KB.1671

C.—D,—

39

答案B

解析由题意，三棱锥内切球球心与各顶点相连把此三棱锥分成以原三棱锥各面三角形为底面，高为内切

球半径的4个小三棱锥，

从而有V=1S/-=>2=1-3-r=>r=2.

所以该三棱锥内切球的表面积为4元/=4n・2?=16兀

(2)如果一个圆锥的高是这个圆锥内切球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S和球的表面积Sz之比为

()

A.4：3B.3：I

C.3：2D.9：4

答案C

解析画出轴截面如图所示，设球的半径为八则。Pgr,NPDO=90。，

・•・ZCPB=30°.

又NPCB=90。，

・・・C8#PG恁，PB=2'

J

/.圆锥的侧面积S]=7rXV5rx2V5尸=6兀3，球的表面积S2=4nP»

，Si:52=3:2.

反思感悟(1)求多面体的内切球恒题时，需要把几何体分割成以球心为顶点，以各个面为底面的小棱锥，

这些小棱锥的高就是内切球的半径，它们的体积之和等于该多面体的体积，根据等体积法列方程求解即可.

(2)求旋转体的内切球问题时，轴截面中的圆心和半径即为内切球的球心和半径，我们可以通过三帘形相似

或等面积法求内切球的半径.

(3)常用结论：①棱长为〃的正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)半径为门二会如图1所示：

②棱长为〃的正方体的棱切球(球与正方体的各条棱相切于各棱的中点)半径为/a,过球心作正方体的

对角面，•如图2所示；

图1图2

③棱长为。的正四面体的内切球半径为二工〃，所以正四面体外接球与内切球半径之比为3：1.

跟踪训练4(1)已知正方形A8C7)的边长为2,E为边48的中点，b为边8c的中点，将△AEO,△

DCF,分别沿OE,DF,E/折起，使A,B,C三点重合于点P,则三棱锥P-OEF的内切球的

半径为.

答案;4

解析如图①，依题意可知AO_LAE,CD1CF,BE工BF,

所以POJ_PE,PFLPD.PELPF,如图②.

图①图②

所以在三棱锥P-OE尸中，PD,PE,P尸两两垂直，且PE=PF=1,PD=2,

因为三棱锥尸-。石尸的表面积为正方形A8c。的面积，

所以S『2X2=4,

IX1X2=1.

设三棱锥RQE厂的内切球的半径为r,

所以由;Sn-r=V三枝粒p-/%?,，解得r=；.

34

(2)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1,当该圆锥体积取最小值时，该圆锥

体积与其内切球体积的比为()

A.2：1B.4：I

C.8：ID.8：3

答案A

解析设圆锥的高为人，底面半径为r,

则当球面与圆锥的侧面以及底面都相切时，轴截面如图，球面与母线AC的切点为E,

由△AOES4AC万可得"

rh.

即V，

・・・圆锋的体积占刎代翡曰("2)+念+4］若,

当且仅当小2=2,即时取等号.

・•・该国锥体积的最小值为季

又内切球体积为

故该国锥体积与其内切球体积的比为2：1.

■课堂小结------------------------------------------------------------------------------------

1.知识清单:

(I)球的截面问题.

(2)与球有关的切、接问题.

2.方法归纳：转化法、类比法、直接法、补形法、等积法.

3.常见误区：解与外接球、内切球有关问题时，不会确定球心的位置.

随堂演练

1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()

411n鱼口

AATB~

C.旦D：

26

答案A

解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故

可得球的直径为2,所以球的半径为1,其体积是:X兀X「=F.

2.己知某正四面体的内切球的体积是1,则该正四面体的外接球的体积是()

A.27B.16

C.90.3

答案A

解析设正四面体的外接球、内切球的半径分别为凡r,则里3.由题意知，厂;1,则外接球的体积是

r3

掷3=27X%,士7.

3.球的表面积为400兀，一个截面的面积为64兀，则球心到截面的距离为.

答案6

解析如图，由已知条件知球的半径R=l(),截面圆的半径，=8,

球心到截面的距离h=7R2-7*2=6.

4.若圆台的上、下底面半径分别为小R,则其内切球的表面积为.

答案4兀Rr

解析画出轴截面如图，BE=BOi=r,AE=AOi=R,

O

B2

V%

A

Oi

又OE_LA"且BOLOAy

：.XAEOsXOEB.

：.OE?=AEBE=Rr,

，球的表面积为4兀O七2=47rR,..

课时对点练

［分值：100分］

单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分

基础巩固

1.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为兀，则球的表面积为（）

8n32n

ATBv

C.8几

3

答案C

解析设球的半径为R,则截面圆的半径为庇二1,

，截面圆的面积为7C（V/?2-l）2=7l,

・・・R2=2,

，球的表面积S=4兀R2=8兀

2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为（）

人81n

A—B.167C

C.9兀D.等

答案A

解析如图，易知球心在正四棱锥的高上，设球心为。，半径为一，A£=V2,O£=4-r,则在RtZ\AOE中,

（4⑺2+（企尸=巴解得

4

该球的表面积为4兀尸=4九X（J三芋.

3.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且三个侧面的面积分别为4,6,12,则这个三棱锥的外接球的表

面积为（）

A.56TIB.2247T

n448vl^TT

.3-

答案A

解析三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直，它的外接球就是它补形为长方体的外接

球,

设PB=b,PC=c,

令刊日，产二⑵

解得。-4,b—1tc—6»

则长方体的体对角线的长为Va2+d2+c2=V42+22+62=V56=2V14,

所以外接球的直径为2g,半径长为旧，外接球的表面积为S=4TTR2=56TL

4.将半径为3,圆心角为g的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）

A.叵B.&

33

C.yD.27T

答案A

解析设圆锥的底面半径为八高为/?,

贝I2兀=*X3,

h=yj32-12=2\/2,设内切球的半径为R,则」■广；，

272—R3

O

・•・/?=¥，V手义俘）二等

233\2/3

5.（多选）某人设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相

切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上、下底面都相切，如图是平行于底面FL过圆

柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为「，每个球形巧克力的体积为■，包

装盒的体积为％，贝女）

A.R=3rB./?=6r

C.V2=9V1D.2V2=27%

答案AD

解析由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R=3r,圆柱的高等于球形巧

克力的直径，即力=2r,丫产生%=兀/巴?=18兀,，则有2%=27Vl.

6.（多选）用一个平面去截棱长为1的正方体/WCD-ABiG。，则下列结论中正确的是（）

A.若该平面过点A,C,Bi，则截面的周长为6

B.若该平面过点A,C,则截得的两个几何体的外接球体积相等

C.若该平面过点A,D,5,则截得的两个几何体的表面积均为3+或

D.若该平面过点。，8,则其截正方体的外接球所得的截面面积不是定值

答案BC

解析若该平面过点A,C,Bi,则截面为正三角形AC®,其边长为企,则截面的周长为3企，A错误；

若该平面过点A,C,Bi,则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD-AiBG"的外接球，故外接球

体积相等，B正确；

当该平面过点A,D,用时，截面为A5G。，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，且三棱柱的表面积均

为2X12+2x]xi2+]x&=3+V^C正确；

若该平面过点。，Bi,则其过正方体48CO-A由iG4的外接球球心，所以截外接球所得的截面面积是定

值，D错误.

7.（多选）“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了

数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱

锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知A8=l,则关于图中的半正多面

体，下列说法错误的有（）

A.该半正多面体的体积为十

4

B.该*•正多面体过A,B,C三点的截面面积为尊

C.该工正多面体的表面积为6+2V3

D.该半正多面体外接球的表面积为8冗

答案ABD

解析如图，因为48二1,

所以该半正多面体是由棱长为加的正方体沿各棱中点截去八个三棱锥所得到的,

2

所以该半正多面体的体积V=（两3-8x1x：xg）X务竽，故A错误；

根据该半正多面体的对称性可知，过A,B,。三点的截面为正六边形A8C/ED,

又止1,所以正六边形的面积SWX^XIXIX*苧，故B错误；

因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1,

所以其表面积为8X1X1X1X^+6X12=6+2A/3,故C正确；

根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，

即正六边形A8CFE。的中心，故半径R=l,

所以该半正多面体外接球的表面积为S=4nR2=4nX12=4兀，故D错误.

8.（5分）（2025•全国II卷）一个底面半径为4cm，高为9cm的封I用圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个

半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

答案|

解析设铁球的半径为，，cm.

分三种情况讨论.

情况一：竖直排列（一个在上，一个在下），则"W9,

二•W；

4

情况二：水平排列（并排放置），则4/W8,

・・・W2；

情况三：斜向排列，截面图如图所示，0</<4,

由图可知（8-2/尸+（9-2/产=4产，

即4凡68Hl45=0,即（2六5）（2六29）二0,

解得白］或『曰（舍去）•

综上所述，铁球半径的最大值为》m.

9.（5分）在三棱锥/M8c中，AABC的内心。到三边的距离均为1,PO_L平面ABC,且△PBC的边3。上

的高为2,则该三棱锥的内切球的外积为.

解析如图，O为△43C的内心，若PELBC于点、E,连接。£,易知8C_L平面EPO,

p

•.•。氏平面砂。，A0E1BC,

：.0E=\,PE=2,

若PO上的点/为三棱锥P-48C内切球的球心，且/OJ_PE,即内切球的半径为r=FO=FO,

・•/—＞八0EFD

..sinZEPO=—PE=­PFt

而PF=PO-FO,Pg!PE2-0E'2=®

,r1y[3

・H7仔

故该三棱锥的内切球的体积v=,一二等.

10.（10分）若一个底面边长为手，侧棱长为后的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面

积.

解如图，在正六棱柱中，连接BE,AD交于点O,连接BE1,

则BE=2OE=2DE,

所以BE=VS.BE=&E.

在RSEEi中，%力酬+£•[-2=275,

所以该球的直径为27?二28，贝]半径/?二四,

所以球的体积V，尸，心=467r,

球的表面积Sn=47i/?2=12兀

ID综合运用

11.已知四面体必8c的所有棱长为2百，球。是其内切球.若在该四面体中再放入一个球。2,使其与平面

SAB,平面S8C,平面SAC以及球01均相切，则球。2与球。帮J半径的比值为（）

A.隹B.i

34

C.；D.|

32

答案D

解析如图，设S在平面48c内的射影为O,R为球01的半径，R2为球。2的半径，入”分别为球。1,

球O?与侧面S8C的切点.在RtZXSAO中，该四面体的高

s

h=SO=>/SA2-AO2=JsA2-

二Js/一(|x*8/=“2-4=2、/1

又四面体的表面积5=4X—X(2V3r=12V3,

4

则沁氏二：X3百〃，解得义邛，

由H02=902得/?2二八-2/?］一/?2

出而］SOJ于R「h-Ri1

即詈笺警，解得&邛，故处与

12.(多选)如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱

高度的半，若该组合体外接球的半径为2,贝1］()

A.圆锥的底面半径为1

B.圆柱的体积是外接球体积的四分之三

C.该经合体的外接球表面积与该组合体底面面积之比为16:3

D.圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半

答案CD

解析如图，设圆锥的顶点为P,圆柱上、下底面的圆心分别为。1,。2,0|。2的中点为。,

由题意，设圆锥的高P0产力，圆柱的高0。2=26圆柱的上、下底面圆半径为八

%+h=2,

则

r2+F=22,

解得h=1,/-V3,故A错误;

圆柱的体积为V®*i=7tX3X2=6TT,

外接球的体积为V卡，X2,二等,

则V・在金丫球，故B错误;

16

底面面积为5度=兀X3=3兀，

外接球的表面积为5«=47rX22=167r,

则S球：S底=16北：3TC=16：3,故C正确;

圆锥的母线长为J（6）2+12=2,

所以图锥的侧面积为兀义百义2=2\"兀,

圆柱的侧面积为2兀X>/5x2=4V5m所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.

13.（5分）已知正三棱柱的侧面积为3cm2,其所有顶点都在球0的球面上，则球。的表面积的最小值为一

cm2.

4v3TT

解析当球O的半径R最小时，球O的表面积最小.设正三棱柱的底面边长为。，高为6则正三棱柱的侧

面积S*3a/?=3,所以.底面正三角形所在截面圆的半径r=劣，则

«5

吗,当且仅当未与

1

即力=（34时取等号，又因为°<*2R,

所以（R2）min=g.

故球。的表面积的最小值为宇cnf.

14.（11分）一块边长为20的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角

形加工成一个正四棱锥形容器，如图2,点O在底面ABCO上，石0_1