2026年高考数学一轮练习：三角函数的图象与性质（附答案）

§4.5三角函数的图象与性质

分值：100分

I。知识过关

一、单项选择题（每小题5分，共30分）

1.函数Av）=V-2cosx-1的定义域为（）

A.[y+2fcn,y+2kir]a^Z）

B.[詈+2/nr,Y+2/CK]<AGZ）

C.[-g+2kn,g+2kT（〃£Z）

D.[-^+2/CTT,.+2Mr]（MZ）

2.已知函数/U）;cos（2x—],则“0在[-2,（）]±（）

A.单调递增B.单调递减

C.先增后减D.先减后增

3.已知函数_/U）=2cos（x+*设月G）,b=fQ）,c=/Q）,则。，b,c的大小关系是（）

A..a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

4.（2025・永州模拟）己知函数兀3sin（3x+8）（0<8<27r）在区间E，上单调递增，则0等于（）

A.-B.-C.-D.n

842

5.（2024・商丘模拟）已知函数,/W=2sin（2x+9乂0<（p<习的图象关于直线尸嗫对称，则府）在，向上的最小

值为（）

A.-2B.-V3C.-lD.-V2

6.（2024.铜川模拟）已知函数凡t）=cos（Gx+s）（0<（w<IO,0<孵兀）图象的•个对称中心是0）,点3（0,当）

在八万的图象上，卜列说法错误的是（）

AJ（x）=cos（2x+

B.直线广等是、”）图象的一条对称轴

O

C./U）在[g,答]上单调递减

D/G+J是奇函数

二、多项选择题（每小题6分，共12分）

7.（2024•新课标全国［1）对于函数/2=0112人和8。尸$由（2%一习，下列说法中正确的有（）

AJU）与g（x）有相同的零点

B./x）与g（x）有相同的最大值

c.yu）与以工）有相同的最小正周期

D£x）与g（x）的图象有相同的对称轴

8.（2025.岳阳模拟津函数小尸sin（3x+£）

（co£N",”<6）的图象关于直线对称，则下列说法正确的是1）

6

A./（0）=i

B./W的图象关于点偌，0）对称

C/U）在区间（0,兀）上有2个极值点

D“r）在区间（0,以上单调递增

三、填空题（每小题5分，共10分）

9.函数尸―；的定义域为

Jtanx-l--------------------------------------------------

10.函数於）=-2cos2］+2sinx+3,工6〜引的值域为.

四、解答题（共27分）

11.（13分）已知人工）二加§足卜工+：）.

（I）求函数产,1+乳2的最小正周期；（6分）q）当椁仔，胡时，求函数於）的最大值和最小值.（7分）

12.（14分）已知函数/（x）=4sin仁x-a2cos2卜+匀（4>0）,且满足.

从①Ax）的最大值为1;②/U）的图象与直线）=-3的两个相邻交点的距离等于兀；③/U）的图象过点偿，0）这

三个条件中选择一个，补充在上面中并作答下列问题.

（I）求函数儿I）的解析式及最小正周期；（6分）

⑵若关于工的方程儿丫）=1在区间［0,〃“上有两个不同解，求实赞用的取值范围.（8分）

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

能力拓展

13题6分，14~16题每小题5分，共21分

13.（多选）已知函数/U尸sinLH-cos2x,则下列结论正确的是（）

A.4v）为偶函数B：/（x）的最小正周期为n

CJU）的最小值为［D.yu）的最大值为2

14.（2024•郑州模拟）已知函数./U）=2si&+asinxmWR）,且.「（-自=0,则下列结论正确的是（）

A.«=3

B../U）在区间（-兀,兀）上有3个零点

C/W在6,专上单调递减，在G，引上单调递增

D.，4x）<4

15.已知函数满足：①A3-x）=/x）；②人幻力U-x）；③函数/U）在（0，3上单调递减.

写出一个同时具有以上性质①②③的函数：.

16.已知/（x）=Acos（（yx+0）（A>O,”>0,0<°<兀）是定义域为R的奇函数,且当x=3时,4幻取得最小值-3,当

3取得最小正数时，川）tA2）4/3）+…t/P024）的值为.

答案精析

LA2.D

3.A[a=f(y)=2cos^,

回(%2cos1

何G)=2COS瑞,

因为尸COSX在[(),兀]上单调递减，

c八13ITTT5TT

又0<—<-<—<71

42312

所以a>b>c.]

4.D［根据题意，函数抬尸sin（3x+9）,其周期7=—,

•5

又由©在区间除，上单调递增,

3-nT（n

必有3*>片2E彳且3乂9%2叫，心Z,

变形可得（p=2kn-n，k£Z,

又由0<0<27r,必有^=1,

此时。=兀］

5.A［因为函数於）=2sin（2i+“0<cp<以的图象关于直线八寸对称，

所以2x2+%E+*ez）,

122

解得右E母攵WZ）,

又0<P<5,所以当k=0时，（pq,

LrJ

所以JU）=2sin（2x+,

因为何》T，

所以*£竹,胃

所以当2可号，即）音时，危）在4T上的最小值为-21

6.B［因为点B（0,巧在於）的图象上，

所以j（0）=COS^=y.

又0<W<7i,所以,因为/（工）图象的一^1s对称中心是A（；,0）,

所以今*W+E、kGZ,

342

则®=2+82，&£Z.

又0<如<10,所以（o=2,

则危尸cos（2x+：）,A正确；

/O詈。■

则直线史不是«r）图象的一条对称轴，B不正确；

当不£肾，等］时,僦+*|2兀，3利，5幻单调递减,C正确；

f(x+§=cos卜无+；)=-sin2x,是奇函数，D正确.]

7.BC[A选项，令7U尸sin2r=0,

解得尸一,k£Z,即为./U)的零点.，

令gQ•尸sin(2x-：)=0,

解得尸,kQZ,即为g(x)的零点，

显然£Y),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项,显然/U)max=g(X)max=l,B选项正确；

C选项，根据周期公式，火工)，g(X)的最小正周期均为§=兀，(2选项正确；

D选项，根据正弦函数的性质，用)的对称轴满足2A=E+；kGZ,

解得户"叶、kQZ,

24

g(x)的对称轴满足2A-2二E弓，攵Z,

*T4£

解得尸铮T，心Z,

显然JU),g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.]

8.ABC[因为函数/U尸sin(3X+弓)

(①£N'，/W6)的图象关于直线对称，

可得①•弁?=?+加,kez,

662

解得①=2+6后，攵WZ,

又ewEN*,且coW6,所以CD=2,

即於尸sin(2x+e).

A中，J(O)=sin7=7，所以A正确；

6Z

B中，因为2义工小兀，所以«r)的图象关于点(瑞，0)对称，所以B正确；

C中：因为x£(0,71),

所以空十，等),

令,解得后？，

626

令级甘=9，解得尸身，

623

所以极值点为三，§,所以C正确；

63

D中，因为x<0,9，所以2A寸£（?y），则函数不单调，所以D不正确.]

9.{不,工:+/nr,且为w1+/nr,左€z}

解析要使函数有意义，

tanx—1H0,

则TT

x=-+krc,k€Z,

2

%声B+fcir,kWZ,

即4

卜k€Z,

故函数的定义域为

{%卜0：+kn,且％W+kmkEzj.

1。栏,5]

解析y（.r）=-2cos2x+2sinx+3

=-2（1-sin2x）+2sinx+3

=2sin\+2sinx+1

=2（sinx+丁+1

因为.七值，,所以:WsinxWl.

L66JL

当sinx=l时，/U）max=5；

当sin4时,/Wmin=*

所以函数./U）的值域为t，5.

11.解（1）因为外）

=V2sin（2x4-,

所以加+与

=缶讨2（x+f）+;]

=V2sin^2x+

=-sin2x-coslx,

所以尸［f［+与］

=(-sin2r-cos2A)2=l+sin4x,

所以函数产［/（x+91的最小正周期不呼成

⑵当回4力时,

誓叫守，

所以-1Vsin（2x+当，

所以-日qwwi,

所以当不£长,年时,函数府）的最大值为1,最小值为-VI

12.解⑴函数府）

=asinl：2x-a2cos+匀

\67

-cos(2x十分1

=asin(2x--

-cos［侬Y)+斗1

=asinl12x-3)+sin(2

=（fl+l）sin^2x—*1.

若选择条件①/U）的最大值为1.

则a+\=2,解得a=\,

所以jV）=2sin（2x—£）-1,

则函数人用的最小正周期T=y=7U.

若选择条件②/U）的图象与直线产-3的两个相邻交点的距离等于兀，

且人"的最小正周期r=y=7T,

所以-3+1）-1=-3,解得。=1,

所以小尸2sin（2x-*L

若选择条件③/U）的图象过点《，0）,

则,（%（"+1）si哈1=0,解得斫1.

所以jV）=2sin卜x—-1,

则函数«r）的最小正周期T=^=n.

（2）令式幻=1,^sin（2x-^）=l,

则2x-^+2kn,k£Z,

62

即x=^+kn，攵£Z.

若关于x的方程兀。=1在区间［0，间上有两个不同解，则或下等，

所以实数"2的取值范围是［如，-I.

33'

13.ACD［因为./（-x）=sin卜M-cos（2）=sin|.r|-cos2x=J（.x）,所以人工）是偶函数，则A正确；

若危）的最小正周期为兀，贝（"+兀|守伏）恒成立，即sin田利-cos2（.v+K）=sin叶cos2x,即sin|.r+兀|=sin国恒成

立，而当户齐寸，siny^sin^,所以‘7U）的最小正周期为兀”是错误的，则B错误；

2

由人工）是偶函数，只需考虑x20时的最值即可，当工20时，,/（x）=sinx-cos2x=2sin4+sinx-l=2（sinx+：）-

I,因为sinx的值域为［-1,1］,所以於）的值域为卜/2］,则C,D正确.］

14.C

［因为人幻=25111%+碗11.«4£即，

所以f（x）=4sinxcosx+acos户cosx（q+4sinx）,

贝1」/（一9=枭小2尸0,即〃=2,A错误；

由y（x）=2sin2x+2sinx=2sinx（1+sinx;=0可得sinx=0或sinx=-1,

因为-兀＜兀,所以A-0或x=-^,B错误；

ZW=cosx（2+4sinx）,当甘时,/（x）＜0,危）单调递减，当/管,等）时，八x）＞0,於）单调递增，

C正确；

令r=sinA-,则-1WW1,所以财=2/+2尸2（£+丁一，

根据二次函数的性质可知，-矢MW4,即-共於）W4,D错误.］

15./W=2sin停%+争（答案不唯i）

解析对于①，若人3-幻二次1）,则/U）的图象关于点修，0）对称，

对于②，若人x）=y（1-x）,则凡丫）的图象关于直线对