浙教版初升高一数学暑假预习专练：一元二次不等式（原卷版+解析）

一元二次不等式

1.一元二次不等式的定义：形如。。2+敌+。>0（或〈0）（其中。大0）的不等式称为关于①的一元二

次不等式.

2.一元二次不等式的解法：

方法一、（因式分解法）按照以下步骤处理

（1）化二次项系数为正数；

（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根为、电，那么“>0”型的解集为化<伪或。>外

（两根之外），“<0”型的解集为NiV/V泗（两根之间）；

（3）对两次三项式进行配方，变成虚2+4+°=Q.J+结合完全平方式为非负数的

性质求解.

方法二、（图像法）结合对应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下：

（1）将一次项系数先化为正数；

（2）观察相应的二次函数图像.

处=皿=-瓦

图2

①如果图像与x轴有两个交点（电,0）,（22,0），此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根的、的（也

可以由根的判别式来判断）.

Illf.Ig”一（。。2+近+0。（。>0）或2>12

那么，如图1所不：{2,»,C二；

②如果图像与。轴只有一个交点（-白,。），此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根为=。2=-4

（也可以由根的判别式△=（）来判断）.

ax2+H+c>0（Q>0）<=>rrW-g

2a；

{ax2+/）.??-4-r<0（a>0）-4=^无解

③如果图像与，轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根，(也可以由根的判别式△<()来判断).

(a/+法—°>0(。>0)=比取任意实数

那么，如图3所示:\ax2+阮+cV0(Q>0)无解

例I：通过因式分解法解一元二次不等式

解不等式：/+/—6>。

【解答】SIcV-3或2>2)

【解析】原不等式可化为包+3)3—2)>0,

z+3VO"x+3>0

于是成

z-2<0x-2>0

/V-3—(x>-3

,・[/V2K,r>2，

・•・，<-3或，>2,

，原不等式的解集为(01V-3或/>2}.

例2：通过图像法解一元二次不等式

利用二次函数的图像，解一元二次不等式/+/—6>0和/+/—6Vo.

【解答】{x\x<-3^x>2},{x\-3<x<2}.

根据图像可以得到抛物线与/轴的交点是(-3,0),(2,0),

当2V-3或c>2时，沙>0,对应图像位于出釉的上方，即I2+C-6>0的解集为S|cV-3或/>2},

当-3</<2时，y<(),对应图像位于①轴的下方，即①2+£-6<()的解集为S|-3VrrV2).

巩固练习

I.若O^+H+CV。（。大。）无解，则Q@,C应满足（）

A.a>0,A^0B.«>0,A>0C.«<0,A<0D.Q<O,/XWO

2.满足不等式⑦（一+i）>3+1）（二—£+］）的i的取值范围是.

3.若2——5工+2<0,则，4,2―4C+1+2|C—2|=.

4.解下列不等式

(1)(c+2)(2—3)V6

(2)(①一1)(富+2)W(①一2)(21+1)

5.解下列一元二次不等式

（1）-/+c+6&o

(2)/+I>4N—3

(3)(2x-l)2+0—1)21

(4)4<|2；r-3|W7

(5)(x2——+2c)(22—1)(-/+4①—8)WO

一元二次不等式

1.一元二次不等式的定义：形如32+H+c>0（或VO）（其中Q.WO）的不等式称为关于，的一元二

次不等式.

2.一元二次不等式的解法：

方法一、（因式分解法）按照以下步骤处理

（1）化二次项系数为正数；

（2）若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根心、及，那么“>0”型的解集为2c①1或£>色

（西根之外），“<0”型的解集为为<£<的（两根之间）；

（3）对两次三项式进行配方，变成弧2+卮+°=Q.J+与丫+4研,一”,结合完全平方式为非负数的

\2a/4a

性质求解.

方法一、（图像法）结合对应的一次函数、一元一次方程求解，步骤如下：

（1）将二次项系数先化为正数；

（2）观察相应的二次函数图像.

处=皿=-瓦

图2

①如果图像与N轴有两个交点（为,0）,（电,0），此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根©、&（也

可以由根的判别式△40来判断）.

2

Jax+bx-\-c>0(a>0)x<X\或rr>x2

那么，如图1所示:2

\ax+6rr+c<0(a>0)<=>x}<x<x2

②如果图像与e轴只有一个交点此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根◎=，2=-4

（也可以由根的判别式△=（）来判断）.

ax2-\-bxJrc>0(a>0)<=>x丰-"

那么，如图2所示:2a

ax2+阮+cV0(a>0)<=>无解

③如果图像与z轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根，(也可以由根的判别式△<()来判断).

2

ax+卮-c>0(Q>0)<=>/取任意实数

那么，如图3所示:2

ax+ON+cV0(a>0)无解

例I：通过因式分解法解一元二次不等式

解不等式：/+2—6>0

【解答】SIzV—3或①>2)

【解析】原不等式可化为3+3)3—2)>0,

2+3<0„①+3>0

于是《/-2<。或

a:—2>0

x<-3rr>-3

9或

x>2

/.x<-3或c>2,

・•・原不等式的解集为QI1<-3或/>2}.

例2：通过图像法解一元二次不等式

利用二次函数的图像，解一元二次不等式/+/_6>0和/+N-6<0.

【解答】Q|z<-3或c>2},{x\-3<x<2}.

【解析】先作出二次函数的图像，如图所示：

根据图像可以得到抛物线与1轴的交点是(-3,0)、(2,0),

当①V-3或c>2时，g>0,对应图像位于2轴的上方，即二十①一6>0的解集为QI/V-3或z>2),

当-3〈①V2时，y<0,对应图像位于弋轴的下方，即/+c—6V0的解集为｛划-3V/V2).

巩固练习

1.若0x2+62+。VO(Q,W0)无解，则Q,6,C应满足()

A.a>0,A<0B.a>0,A>0C.a<0,A<0D.a<0,A^0

【解答】A

【解析】设夕=ax2+如+c,要使岫12+法+cV0(a于0)无解，

需使得二次函数开口向上且与二轴没有或只有一个交点，即。>0且庐一4ac00,

・•・系数如b,。应当满足的条件为a>0且出一4acW0,故选A.

2.满足不等式2(/+1)>3+1)(/一，+1)的］的取值范围是.

【解答】x>l

【解析】•/x(x24-1)>(a:4-1)(x2—4-1),

「./+①>——+①+七2_/+1,

J>1.

3.若2/-5N+2V0,则，4七2-4［+1+2|£—2|=.

【解答】3

［解析］将不等式2/一5①+2V0因式分解得Q-2)(2x-1)<0,

日nJz—2>0(X—2<0

即<2/-1V0或<I2c-1>0,

无解或JVc<2,

/4/2—4Z+1+2|/—2|

一，(2宓+1)2+2上—2|

=2c—1+2(2—c)

=21—1+4—2i

二3

故答案为3.

4.解下列不等式

(1)(x+2)(x-3)<6

(2)Q-DQ+2)W3—2)(27+1)

【解答】（1）S卜3VCV4）；（2）（到£$0或/N4）.

【解析】（1）原不等式可化为——/—12V0,即Q+3）（i—4）<0,

(『+3>()[c+3<0

3-4Vo或[4-4>0，

:.原不等式的解集是QI-3〈①V4)；

(2)原不等式可化为小一4220,即/(/一4)三0,

(cWOJ

1C-4W0断c-420，

.,.3《0或e24,

：•原不等式的解集是W0或324}.

5.解下列一元二次不等式

(1)-/+2+640

(2)化2+1>秀―3

(3)(2x-l)2+0—1)2，2

⑷4<|2a:-3|S7

(5)(①2—『3+2x)(x2—1)(-12+4〉—8)WO

【解答】见解析

【解析】(D2+6+6WO,

.../_/_630,即(2—3)(，+2)三0,

解得)23或2,

・•・原不等式的解集为(R①23或工&-2)；

(2)..♦一+1>4/一3,

.•./-4,+4>0,即3—2)2>0,

解得c学2,

・•・原不等式的解集为值比装2》.

2

(3)V(2T-1)+Q—l)2±算,

4/—4e+1+/—2e+14瑞

5①2-7z+