重庆市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷（二）人教版（含答案）

重庆市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷

一.选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）（2025•合江县模拟）在0,-4,一百，5四个数中，最大的数是（）

A.0B.-4C.-V3D.5

2.（4分）（2025•宿迁模拟）宋朝•杨万里有诗日：“只道花无十FI红，此花无FI不春风.一尖已剥胭脂笔,

四破犹包翡翠茸”.月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值.某品种

的月季花粉直径约为0.000（）352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（）

A.3.52X10'5B.0.352X105

C.3.52X10-67D.35.2X10-6

3.（4分）（2024•仁布县一模）美于x的函数y=・x-3,当x=-1时，函数值是（）

A.-4B.-2C.2D.4

4.（4分）（2024秋•北暗区校级期末）估计（而+近写）x4的值应在（）

A.1和2之间B.3和4之间C.5和6之间D.7和8之间

5.（4分）（2025春•开封期末）如图，小明能用一-根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据

是（）

A.有一个角是直角的平行四边形是矩形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.有三个角是直角的四边形是矩形

6.（4分）（2024春•渝水区校级月考）“蜂窝图”如图所示，按照这样的规律，则笫4个图案中“O

的个数是（）

D.15

7.（4分）（2024春•昌邑区校级期中）荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是

儿童所喜爱.已知小明某次荡秋千，秋千离地面的高度h（，心与搜动时间Ms）之间的关系如图所示.结

合图象，下列结论正确的有（）

①变量力是变量/的函数：

②秋千静止时，最低点离地面的高度是0.5〃?；

③秋千摆第二个来回需2.6s；

④秋千离地面的高度力（小）随着挖动时间f（5）的增大而减小.

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③

8.（4分）（2024秋•保定校级期中）方程F-5/2=0的根的存在情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不把等的实根

C.没有实数根D.无法确定

9.（4分）（2025•九龙坡区校级二模）如图，在正方形48CQ口，点E、F、G分别在45、BC、CO上,

连接力REG交于点H,连接C",若CF=CG,AE=2DG,NB4F=a,则的度数为（)

A.450+aB.45°-aC.2aD.a

10.（4分）（2025•青山区校级模拟）已知点4（xi，巾），B（X2,户）在抛物线y=a3_2ax+l（a是常数）

上.以下四个结论：

①抛物线•定经过点（0,1）；

②抛物线的对称轴是直线x=l：

③若|X1・1|＞以2・1|，则”＞加

④关于X的方程of-2ax+\=0有两个不相等的实数根.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二,填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.（4分）（2022秋•邹平市期末）计算：（★）一2一（—2022）°=.

2

12.（4分）（2024•巴中模拟）若一个〃边形的外角和是它内角和的丁音，则〃=.

13.（4分）（2023秋•海沧区校级月考）若（・2,y），（3,㈤是抛物线y=・，+级・2上的两点，则外

丁2.（用或“=”号连接）

14.（4分）（2025春•福鼎市期中）已知一次函数W=〃S+3〃L1（/〃#（））,”=%（x-2）+2（4K0）,若

无论x取何值，始终有”〉“，则机的取值范围是.

15,（4分）（2023春•江都区期中）如图，菱形力4c。的对角线力C,8。相交于点O,过点。作

于点“，连接若04=5,OH=3,则菱形力4c。的面积为.

（y+6>4mmx

16.（4分）（2024秋♦石首市期末）若关于y的不等式组2业<《捞+5有解，且关于》的分式方咚立=

3x4-2

2+--有非负整数解，则符合条件的所有整数加之和为__________.

2-x

17.（4分）（2025春•重庆期中）如图，正方形力8c。的边长为VL点£G分别为边力。，8C的中点，

连接BE,将沿4E翻折至同一平面得到E,边C。上有一点H,连接GH,又将△CG"沿

G”翻折至同一平面得到△PGH,若点P恰好落在BF上,则此时折痕G”的长

18.（4分）（2023秋•丰都县期末）一个各位数字都不为0的四位正整数阴，若个位与千位数字相同，百

位与十位数字相同，则称这个数，〃为“唯善呈和数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换,

得到一个新的“唯善呈和数”W，并规定?（机）="+则/（7667）=；若已知数根为

“唯善呈和数”，且千位与百位数字互不相同，粤是一人完全平方数，则满足条件的根的最大值

JLJJ

为.

三,解答题（共8小题，满分78分）

19.（8分）（2024秋•虞城县期末）（1）计算：（x-3y）2+（2/3），）⑵-3y）；

（2）化简：（*一1）*再先？

20.（10分）（2024春•南宁期中）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年

级各有300人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：

七年级86,94,79,84,71,90,76,83,90,87

八年级88,76,90,78,87,93,75,87,87,79

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

七年级8485b44.4

八年级84a87366

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：a=,b=.

小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此判断他是年级学生.

（2）学校规定测试成绩不低785分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总

人数.

21.（1（）分）（2025秋•开州区期中）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，小文与小峰进

行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边

相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：

如图，平行四边形48CO中，BE平分/ABC,过点力作8E的垂线4G,垂足为G,交线段8c于点尸,

连接防（保留作图痕迹）.

证明：•・•四边形48CO是平行四边形，

••・①，

ZAEB=NCBE,

〈BE平分/44C,

工/ABE=/CBE,

工②，

；・AB=AE,

'：AFLBE,ZAGB=ZFGB=90a,

又,：BG=BG,

，△力8Gg△MG(ASA),

:・AB=BF,

•:AB=AE,AFA.BE,

工47垂直平分〃E,

二③，

；・BF=BA=EF=AE,

・••四边形力8叫是菱形.

进一步思考，如果四边形48CQ是矩形，可判定四边形力用话是④

22.（10分）（2024秋•项城市期中）某网店直接从工厂购进力、B两款钥匙扣，进货价和销售价如表.（注:

利润=销售价-进货价）

A款钥匙扣B款钥匙扣

进货价/（元/个）3025

销售价/（元/个）4537

（1）该网店笫一次用850元购进小笈两款钥匙扣共3（）个，求两款钥匙扣分别购进的个数.

（2）该网店打算把4款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出4个，经调查发现，每

降价1元，平均每天可多售出2个.将销售价定为每个多少元时，才能使〃款钥匙扣平均每天的销售

利润为90元？

23.（10分）（2025•浙江模拟）甲、乙两地相距300千米，一辆货车从甲地出发去乙地，1.5小时后，一辆

轿车也从甲地出发去乙地，货车一直保持匀速行驶，但轿车中途有一次提速，从而轿车比货车提前到达

乙地.设货车行驶的时间为0小时），图中折线O-A-B-C-D-占表示货车与轿车之间的距离八十

米）马时间x（小时）之间的函数关系.根据图象解答下列问题：

（1）货车的行驶速度是千米/小时，点上的坐标是.

（2）轿车提速前的速度比提速后的速度慢多少千米/小时？

（3）轿车提速后经过多长时间赶上货车？

24.（10分）（2024•太和县一模）如图，8港口位于力观测点的北偏东45°方向，且其到4观测点正北方

向的距离8M的长为一艘货轮从8港口沿8c方向航行277km到达C处，测得C处位于力

观测点北偏东75°方向，求此时货轮与力观测点之间的距离/C的长.（结果精确到（）.1,参考数据：

V2«1.4,V3«1.7）

25.（10分）（2026秋•门头沟区校级期末）在平面直角坐标系.xQy中，抛物线》=加+6+。（a#0）,经过

点力（0,1）和点B（-2,2a+\）.

（1）求c的值，并用含。的式子表示永

（2）过点夕（/,0）作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=-av+l于点M

①若。=1,（=2,求M/V的长；

②已知在点P从点。运动到点。（3m0）的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大，求。的取值

范围.

26.（10分）（2024春•黄石期中）如图1,在中，N8/1C=9O°,AB=AC,D,七两点分别在

AB,4C上，旦DE//BC,将△力QE绕点力顺时针旋转，记旋转角为a.

【问题发现［（1）当a=0°时，线段80,CE的数量关系是；

【拓展探究】（2）当0°WaV360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

【问题解决】（3）设。E=4,BC=6V2,0°Wa<360°,A/l。七旋转至力，B,E三点共线时，画出

图形，直接写出线段8E的长.

参考答案

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）（2025•合江县模拟）在0,-4,一百，5四个数中，最大的数是（）

A.0B.-4C.-V3D.5

【考点】实数大小比较：算术平方根.

【专题】数形结合；实数：运算能力.

【答案】D.

【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大.2、正数都大

于零，负数都小于零，正数大于负数.3、两个正数比较大小，绝对值大的数大：两个负数比较大小，

绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可.

【解答】解：•・・-4＜一遮＜0＜5,

••・最大的数是：5.

故选：

【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比

较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键.

2.（4分）（2025•宿迁模拟）宋朝•杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风.一尖三剥胭脂笔，

四破犹包翡翠茸”.月季被誉为“花中皇后”，月季也是南阳市的市花，具有非常高的观赏价值.某品种

的月季花粉直径约为0.0000352米，则数据0.0000352用科学记数法表示为（）

A.3.52X10-5B.0.352X10'5

C.3.52X10-6D.35.2X10-6

【考点】科学记数法一表示较小的数.

【专题】实数；符号意识.

【答案】A

【分析】科学记数法的表示形式为“xi（r的形式，其中1＜固＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃

是正数；当原数的绝对值VI时，〃是负数.

【解答】解：0.0000352=3.52X105.

故选：A.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X1（）〃的形式，其中lW|a|V10,

〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.（4分）（2024•仁布县一模）关于x的函数y=-x-3,当x=-l时，函数值是（)

A.-4B.-2C.2D.4

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】代入x=-1，求出y值即可.

【解答】解：当x=-1时，y=-IX（-I）-3=-2.

故选：B.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y

=kx+b”是解题的关键.

4.（4分）（2024秋•北硝区校级期末）估计（何+属）x的值应在（）

A.1和2之间B.3和4之间C.5和6之间D.7和8之间

【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算.

【专题】实数；二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出结果是2+遍，再估算无理数的大小即可得

出答案.

【解答】解：（何+g）xj|

=V4+V3

=2+\/3,

V1<V3<2,

/.3<2+V3<4,

A2+8的值在3和4之间，即（而+V15）x4的值在3和4之间.

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则，利

用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键.

5.（4分）（2025春•开封期末）如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据

是（）

A.有一个角是直角的平行四边形是矩形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.有三个角是直角的四边形是矩形

【考点】矩形的判定：平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】C

【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定.

【解答】解：小明用一根绳子脸查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边

形是矩形.

综上所述，只有选项C正确，符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.

6.（4分）（2024春•渝水区校级月考）“蜂窝图”如图所示，按照这样的规律，则第4个图案中“I）”

的个数是（）

A.12B.13C.14D.15

【考点】规律型：图形的变化类.

【专题】规律型；推理能力.

【答案】B

【分析】由题意可知：第1个图案有3+1=4个三角形，第2个图案有3X2+1=7个三角形，第3个图

案有3X3+1=1（）个三角形，…依此规律，第〃个图案有（3什1）个三角形，进而求出答案.

【解答】解：•・•第1个图案中〔）有1+3=4个，

第2个图案中有1+3X2=7个,

第3个图案中有1+3X3=10个,

・••第4个图案中有1十3X4=13个，

第〃个图案中有(l+3/i)个

故选：B.

【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题.

7.（4分）（2024春•昌邑区校级期中）荡秋千不仅可以增进健康，而且可以培养勇敢精神，为人们特别是

儿童所喜爱.已知小明某次荡秋千，秋干离地血的高度h（m）与摆动时间Ms）之间的关系如图所示.结

合图象，下列结论正确的有（）

①变量力是变量/的函数；

②秋千静止时，最低点离地面的高度是0.5m；

③秋千摆第二个来回需2.6.S-：

④秋千离地面的高度刀（〃，）随着挖动时间f（5）的增大而减小.

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③

【考点】一次函数的应用.

【专题】一次函数及其应用：运算能力：应用意识.

【答案】A

【分析】①根据变量与函数的定义判断即可；

②③④根据图象直接判断即可.

【解答】解：①由图象可知，秋千离地面的高度〃随摆动时间/的变化而变化,

，变量h是变量t的函数，

，①正确；

②〃的最小值是0.5/77,

・••秋千静止时，最低点离地面的高度是05〃，

，②正确；

5.4-2.8=2.6（5）,即秋千摆第二个来回需2.6s,

••・③正确；

由图象可知，秋千离地面的高度〃（而）并非随着摆动时间，（s）的增大而一直减小，

工④不正确.

综上，①②③正确.

故选：A.

【点评】本题考查一次函数的应用，掌握变量与函数的定义、从图象获得有关信息是解题的关键.

8.（4分）（2024秋•保定校级期中）方程W・5"2=0的根的存在情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实根

C.没有实数根D.无法确定

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】B

【分析】一元二次方程ad+b/c=0（oWO）的根与△=川・4ac有如下关系：①△>（）,方程有两个不

相等的实数根，@A=0,方程有两个相等的实数根，③AV0,方程没有实数根，计算出△=（-5）

2-4XlX2=17>0,即可得出答案.

【解答】解：一元二次方程版+c=。（〃X0）的根与△=房-46有如下关系：①△>（）,方程有两

个不相等的实数根，@A=0,方程有两个相等的实数根，③AV0,方程没有实数根，

•・•方程/-5x+2=0；a=\,b=-5,c=2；

••・△=（-5）2-4XlX2=17>0,

・•・方程有两个不相等的实根.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，正确进行计算是解题关键.

9.（4分）（2025•九龙坡区校级二模）如图，在正方形4BCD口，点E、F、G分别在48、BC、C。上，

连接EG交于点、H,连接若CF=CG,AE=2DG,ZBAF=a,则的度数为（）

C.2aD.a

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】过点。作交力8于点〃，连接4G,FG,作△CFG的外接圆，则四边形。〃£G是平

行四边形，由此得4〃=QG,由此可证明和aOG力全等，则N3力尸=NG/lD=a,DH=AG,证

明8/=力〃，进而可证明△力8/和4D4H全等，则/8月产=/力。，=。，AF=DH,继而得//_LGE,

则NNGE=2a,再根据力H=/IG,4F=DH得4F=4G,ZJFG=45°+a,NFGE=45°-

a,证明点〃在^OFG的外接圆上，根据圆周角定理得/〃。/=/产6£=45°-a.据此即可得出结论.

【解答】解：过点、D作DH〃GE交AB于点H,连接4G,FG,作△CFG的外接圆，如图所示：

•・•四边形力4CO是正方形，

：.AB=DA=BC=DC,ZDAB=ZB=ZBCD=ZCDA=90°,AB//CD.

••・四边形DHEG是平行四边形，

:・DE=HE,DH=GE,

：・AE=AH+HE=AH+DE,

•:AE=2DG,

：,AH+DE=2DGf

:・AH=DG,

在△/〃£)和△OG4中，

(AH=DG

1/.HAD=Z.GDA=90%

\AD=DA

:.△AHD/ADGA(SAS),

：・NBAF=NGAD=a,DH=AG,

:・NFAG=NDAB-(NBAF+NGAD)=90°-2a,

•:BC=DC,CF=CG,

:.BC-CF=DC-CG,

:.BF=DG,

又,：AH=DG,

：.BF=AH,

在△力5尸和中，

AB=DA

乙B=DAH=90°，

BF=AH

:•△ABFgADAH(SAS),

:・NBAF=NADH=a,AF=DH,

•；NBAF+NE4G=NDAB=90°,

；・NADH+/E4G=90°,

：.AF±DH,

*：DH//GE,

:・AF工GE,

N/GE=900-NE4G=90°-(90°-2a)=2a,

,:DH=AG,AF=DH,

:,AF=AG,

:.NAGF=NAFG=W(1800-NFAG)=1x(180°-90°+2a)=450+a,

:・NFGE=NAGF-NAGE=45°+a-2a=45°-a,

•；NBCD=90°,

:.FG是△bG外接圆的直径，

'：AFLGE,

：・/FHG=90",

・••点H在△CFG的外接圆上，

根据圆周角定理得：NHCF=NFGE=45。-a.

故选：B.

【点评】此题主要考杳了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等

三角形的判定和性质是解决问题的关键.

10.（4分）（2025•青山区校级模拟）己知点4（XI，尸），B（X2,”）在抛物线y=aW2axil（。是常数）

上.以下四个结论：

①抛物线一定经过点（0,1）;

②抛物线的对称轴是直线x=1;

③若卜1・1|＞卜2■“，则人＞”；

④关于x的方程of-2ax+\=0有两个不相等的实数根.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一元二次方程及应用；二次函数图象及其性质：运算能力.

【答案】B

【分析】根据题意和二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，可以判断各个小题中的结论是否正确，

从而可以解答本题.

【解答】解：：抛物线y=。/-2改+1=4（X-1）2"+1,

••・当x=0时，y=l,即抛物线一定经过点（0,1）,故①正确，符合题意；

抛物线的对称轴是直线工=1，故②正确，符合题意；

当a＞0时，若M-1|＞卜2-则当。＜0时，若田-1|＞w2-1|，则yi＜_y2；故③错误，不符

合题意；

关于x的方程ax1~2ax+\=0的4=（-2ay2-4a=4a2-4a=（2a-1）2-1,当。=/时，A=0,此

时该方程有两个相等的实数根，故④错误，不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，

利用二次函数的性质解答.

二填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.（4分）（2022秋♦邹平市期末）计算：（金一2一（一2022）°=8.

【考点】负整数指数转；有理数的减法；零指数第.

【专题】实数：运算能力.

【答案】8

【分析】先根据负整数指数哥及零指数幕的运算法则计算出各数，再根据有理数的加减法则进行计算即

叽

t解答】解：原式=9-1

=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查的是负整数指数累及零指数累，有理数的加减法则，熟知运算法则是解题的关键.

2

12.（4分）（2024•巴中模拟）若一个〃边形的外角和是它内角和的方，则〃=5.

【考点】多边形内角与外角.

【专题】多边形与平行四边形；运算能力.

【答案】5.

【分析】根据〃边形的内角和可以表示成（〃-2）-180°,外角和为360°,根据题意列方程求解.

【解答】解：由题意得（〃-2）・180°x|=3600,

解得：“=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理.解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式与

外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°.

13.（4分）（2023秋•海沧区校级月考）若（-2,“），（3,㈤是抛物线y=-f+2x-2上的两点，则”

<（用“V”，或“=”号连接）

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【专题】二次函数图象及其性质；推理能力.

【答案】V.

【分析】利用抛物线解析式求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性判断即可.

【解答】解：・・，=-F+2X-2,

・•・抛物线y=・f+2x・2开口向下，对称轴为直线x=-不与百=1,

V（-2,y\）,（3,yi）是抛物线y=-/+2x-2上的两点，

・,•点（-2,〃）的对称点为（4,yi）在抛物线y=-f+2x-2上，

Vl<3<4,

.\y\<y2,

故答案为：V.

【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键.

14.（4分）（2025春•福鼎市期中）已知一次函数yi=〃m+3〃？-1yz=k（x-2）+2（4K0）,若

尢论X取何值，始终有”,yi.则m的取值范围是M加#0.

【考点】一次函数与一元一次不等式.

【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】机〈且胆#0.

【分析】由题意可知川〃段,且”在“的上方,则〃?=/,3m-1<-2H2,即可求得」的取值范围.

【解答】解：•・・无论x取何值，始终有及>“，

••・两条直线平行且”在巾的上方，

（m=k

，*（3m-l<-2Ar+2，

解得机v',

：.m的取值范围是mv|且〃?#（）.

【点评】本题考查一次函数的阻象及性质,熟练掌握一次函数的图象及性质,通过所给的条件确定两条

直线的位置关系是解题的关键.

15,（4分）（2023春•江都区期中）如图，菱形力质:。的对角线力C,4。相交于点O,过点。作

于点〃，连接若。4=5,0〃=3,则菱形/14CQ的面枳为.

【考点】菱形的性质：直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形：运算能力；推理能力.

【答案】30.

【分析】由菱形的性质得O4=OC=5,OB=OD,ACLBD，则力C=10,再由直角三角形斜边上的中

线性质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可.

【解答】解：•・•四边形彳8CZ）是菱形，

：,OA=OC=5,08=00,AC±BD,

・"C=10,

:・NBHD=90°,

■:BD是斜边上的中线,

・•・30=20/7=2X3=6,

J菱形力BCD的面积=3。喈。=|xl0X6=30,

故答案为：30.

【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练

掌握菱形的性质，求出8。的长是解题的关键.

（y+6>4mmx

16.（4分）（2024秋•石首市期末）若关于丁的不等式组y+2?n,,，「有解，旦关于x的分式方程;=

—<4m+5x-2

3Y+2

2+--有非负整数解，则符合条件的所有整数机之和为72.

2-x

【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解.

【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力.

【答案】-12.

【分析】分别解不等式组和分式方程,根据题意确定，〃的取值范闱,求出所有符合条件的整数机的值.

将它们相加即可.

【解答】解：解不等式组,得4/M-60W6m+lO,

•••不等式组有解，

-6»解得~8.

解分式方程，得》=一岛（〃学-1）,

•・"=2为原分式方程的增根，

-4,且mW-1.

-8,

/.ni+12-7,

。=一岛>。,

/.w+l<0»

综上，-7W/H+1V0,且加工-4,〃#・1.

又•・”为整数，

:.〃?+1=-6、-3、-2或-1.

当1=-6时，w=-7；

当m+1=-3时，〃?=-4（不符合题意，舍去）；

当用+1=-2时，m=-3,

当mW=-1时,m=-2,

m=-7、-3或-2,

A-7-3-2=-12,

故答案为：-12.

【点评】本题考查分式方程的解等，熟练地解分式方程及一元一次不等式组是本题的关键.

17.（4分）（2025春•重庆期中）如图，正方形48CO的边长为VL点E,G分别为边力。，8C的中点，

连接8E,将△力5E沿6E翻折至同一平面得到△尸8E,边C。上有一点〃，连接G”,又将△CG”沿

G”翻折至同一平面得到△PG",若点?恰好落在8尸上，则此时折痕G”的长为_乎_.

O

【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.

【专题】三角形：图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；几

何直观；运算能力；推理能力.

【答案】哈

O

【分析】由正方形的性质以及题意可得//=/。=90°,AR=CD=巾.,DE=AE=RG=C.G=~

再根据折叠的性质可得力f=£F=DE=¥，BF=AB=V2,PG=CG=BG=号、ZBFE=ZA=9（f：

延长8尸交。。于K,连接EK,则NEFK=90°,易证RtADKE/Rt△尸KE（HL）,可得KF=DK,设

KF=DK=x,则有CK=E-%,BK=0+X,根据勾股定理列方程可得％=孝，即CK二孚，BK=

手；连接尸。，根据等边对等角、三角形内角和定理可得N84=9（r,再根据折叠的性质可得PCJ_

HG,"是线段CK的中点，最后由勾股定理求解即可.

【解答】解：•・•正方形力8C。的边长为VL点凡G分别为边力。，AC的中点，

/.ZJ=ZD=90°,AB=CD=V2,DE=AE=BG=CG=专,

•・•将△力跖沿8E翻折至同一平面得到△尸8E,边CO上有一点〃，连接G”,又将△CGH沿翻折至同

一平面得到△PG”,

：,AE=EF=DE=BF=AB=V2,PG=CG=BG=冬NBFE=N4=90°,

如图，延长BF交DC于K,连接EK,则NE产K=90°,

:・ED=EF,EK=EK,

：・RtADKE丝RtMKE(HL),

:.KF=DK,

设KF=DK=x,则有CK=&-x,BK=V2+x,

在RtZXBCK中，BK2=CK2+BC2,

・•・(&+x)2=(V2-%)2+(或产，

解得》=乎，

连接PC,

，：BG=GP,

:.NGPB=/GBP,NGPC=NGCP,

同理，NGPB+NGBP+NGPC+NGCP=\80°,

:"CPB=/GPB+/GPC=90°,

•・•将△CG"沿G"翻折至同一平面得到△PG",

・・・GH垂直平分PC,CH=PH,

:・PC」IG,ZIICP=Z/IPC,

,?ZHCP+ZCKP=NHPC+NHPK=90°,

/HKP=NHPK,

:・HK=HP=CH,

即〃是线段CK的中点，

•ru—1riz—3、汉

••CH=2(<K=&'，

在RrAC/ZG中，由勾股定理得G”=7cH2+CG2=蜉

o

故答案为：--

O

【点评】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，

灵活运用相关知识并掌握特殊化思想成为解题的关键.

18.（4分）（2023秋•丰都县期末）一个各位数字都不为0的四位正整数〃?，若个位与千位数字相同，百

位与十位数字相同，则称这个数〃，为“唯善呈和数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，

得到一个新的“唯善呈和数”〃心并规定F（m）="券：则产（7667）=27；若已知数也为“唯

善呈和数”，且千位与百位数字互不相同，黑是一个完全平方数，则满足条件的〃?的最大值为

JLJD

9449.

【考点】因式分解的应用；完全平方式.

【专题】新定义：推理能力；创新意识.

【答案】27,9449.

【分析】易得〃?=7667,根据要求得到〃/=6776,根据规定可得/"667）的值；设机的千位数字为x,

百位数字为y,分别求得根和〃?’，然后求得少⑼,，进而根据梁是一个完全平方数求得加的最大值.

【解答】解：由题意得：加=7667,

，〃?'=6776.

••二_rn-m

•r(»>>--23-，

.厂m-m77667-6776891

••/(7667,==-33—=-3T=27.

可设小的千位数字为X,百位数字为外那么个位数字为X,十位数字为外

/.m=1OOO.v+100v+1Qy+x=1001x+llOy,

・•・〃/=1000y+100x+10x+y=100ly+HO.v.

••・/,»=(1001x+110y)&(10Qly+110x)=891q891y27y.

.F(in)27(x-y)x-y

"^35135

•・•偿是一个完全平方数，

••・x-y是5的倍数，

•\x-y=5或0.

•・,千位与百位数字互不相同，

.•.x=y+5.

Ay最大可选4,

：・x=9.

Aw=100lx+110^=9449.

故答案为：27,9449.

【点评】本题考查新定义问题.理解新定义及规定的意义是解决本题的关键.

三.解答题（共8小题，满分78分）

19.（8分）（2024秋•虞城县期末）（1）计算：G・3y）2+（2"3y）（2x・3y）：

⑵化简：（击-1）+^^.

【考点】分式的混合运算；完全平方公式；平方差公式.

【专题】分式；运算能力.

【答案】（1）5.F-6xy：

（2）.

x

【分析】（1）先根据完全平方公式和平方差公式计算,再合并同类项即可：

（2）先进行括号内计算，再计算除法即可.

【解答】解：（1）（x-3y）2+C2x+3y）（2x-3y）

=JT-6A产9y+4/-9产

=5AT-6AT'.

Ix2

（2）

（市T）"+2X+1

=-------rrrX-------------

X+1X2

x+1

=-----・

X

【点评】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟冻掌握运算法则是解题的关键.

20.（10分）（2024春•南宁期中）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年

级各有30（）人，现从两个年级分别随机抽取1（）名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：

七年级86,94,79,84,71,90,76,83,90,87

八年级88,76,90,78,87,93,75,87,87,79

整理如下：

年级平均数中位数众数方差

七年级8485b44.4

八年级84a8736.6

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空：a=87,b=90.

小明同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此判断他是七年级学生.

（2）学校规定测试成绩不低785分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总

人数.

【考点】方差；用样本估计总体；中位数：众数.

【专题】数据的收集与整理；数据分析观念.

【答案】（1）87,90：

（2）七;

（3）330人.

【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案：

（2）根据中位数的定义即可求出答案；

（3）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可.

【解答】解：（1）七年级10名学生的成绩中90分的最多有2人，所以众数/7=90,

把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为:75,76,78,79,87,87,87,88,90,93,

根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为等丝=87,

八故答案为：87,90；

（2）力同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；

故答案为：七：

56.

（3）—x3OO+-^x3OO=33O（人），

答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为330人.

【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和

计算方法是解题的关键.

21.（1（）分）（2025秋•开州区期中）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，小文与小峰进

行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边

相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：

如图，平行四边形力8C。中，BE平分/ABC,过点力作8七的垂线力G,垂足为G,交线段8C于点R

连接律（保留作图痕迹）.

证明：•・•四边形力8CO是平行四边形，

.,・①AD//BC,

/.NAEB=NCBE,

•.•4E平分N/14C,

，NABE=NCBE,

・••②/AEB=/ABE,

:・AB=AE,

•；AF_LBE,^AGB=ZfGB=90n,

又,：BG=BG,

:.△ABGgAFBG(ASA),

:"B=BF,

,:AB=AE,AFA.BE,

・・・4F垂直平分BE,

工③BF=EF,

：,BF=BA=EF=AE,

・•・四边形48/花是菱形.

进一步思考，如果四边形/也CO是矩形，可判定四边形也是④正方形

【考点】作图一复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；平行

四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】解：如图，垂线4G,垂足为G,交线段8C于点凡即为所求；

AD//BC,ZAEB=ZABE,BF=EF,正方形.

【分析】根据垂线的作法作图即可；然后根据正方形的判定方法进行逐一填空即可.

【解答】解：如图，垂线力G,垂足为G,交线段4c于点凡即为所求；

证明：•・•四边形力8c。是平行四边形，

：.AD//BC,

:.ZAEB=NCBE,

,：BE平分//AC,

・•・NABE=/CBE,

・•・/AEB=/ABE,

:,AB=AE,

•：AF1BE,NAGB=/FGB=90°,

又,：BG=BG,

:.AABG迫AFBG（ASA）,

:・AB=BF,

•；AB=AE,AFIBE,

・•・力尸垂直平分8E,

:・BF=EF,

:.BF=BA=EF=AE,

••・四边形川外法是菱形，

进一步思考，如果四边形/4CQ是矩形，可知：ZBAD=W,所以可判定四边形心是正方形.

故答案为：AD//BC,NAEB=NABE,BF=EF,正方形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，解决本题

的关键是掌握基本作图方法.

22.（10分）（2024秋•项城市期中）某网店直接从工厂购进力、B两款钥匙扣，进货价和销售价如表.（注: