三角恒等变换【九大题型】-人教A版高中数学必修第一册（解析版）

专题5.5三角恒等变换【九大题型】

【人教A版(2019)]

＞题型梳理

【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】.....................................................3

【题型2利用和(差)角公式化简、求值】.......................................................4

【题型3两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】...............................................6

【题型4辅助角公式的应用】....................................................................8

【题型5利用二倍角公式化简].................................................................II

【题型6利用二倍角公式求值】.................................................................12

【题型7三角恒等式的证明】...................................................................15

【题型8利用三角恒等变换判断三角形的形状】..................................................17

【题型9三角恒等变换的实际应用】............................................................19

A举一反三

【知识点1两角和与差的三角函数公式】

i.两角差的余弦公式

对于任意角a，B有cos(a—/?)=cosacos/?+sinasin/?.

此公式给出了任意角a步的正弦、余弦与其差角a”的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作

C(a-fl)•

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名一:角函数值乘积的和.

2.两角和的余弦公式

(1)公式的结构特征

同一。的余弦、正弦

COA(a+。)=CORaco»。—sinasin。

T________J

同角a的余弦、正弦

(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为,,余余正正，符号相反二

①“余余正正''表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“・”，

两角差时用

3.两角和与差的正弦公式

(1)两角和与差的正弦公式的结构特征

同角8的余弦、正弦

sin(a±。)=sinacos0±cosasinfi

TT

同角a的正弦、余弦

(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两用和时用

两角差时用

4.两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式的结构特征

同号同号

II°II。

hm(a+B)=F*嗯3n(a-F)=警a-tan?

异号异号

符号变化规律可简记为“分子同，分母反

5.两角和与差的三角函数公式的逆用及变形

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如

tana+tan夕=tan(a+』)•(1-tanatanQ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓

展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.

6.三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式

(1)角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用

尤为突出.

常用的角的代换形式：

①a=(a+/O-夕：

-a)；

③a=g[(a+£)+(a1)]：

④a=；[(a+p)-(/J-a)]；

⑤中二«外《必；

(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其

中要特别注意的是力”的代换.

(3)辅助角公式

通过应用公式asina+hcosa=y/cr+h2sin(a+°)[或asina+/？cosa=y/a2+b2cos(«—0)将形如

asina+Ocosa(a力都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数被F1sin(a+夕)[或

"T"cos(a—>)].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个

三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.

【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】

【例I】(24-25高三上•辽宁•阶段练习)已知sin(a+工)cos(a+半)=一：，则cos@a+譬)=()

【解题思路】根据(。+岑)-悟+a)=告利用两角差的余弦公式建立等式,得出sin(a+g)sinQ+

同=-卷，再利用两角和的余弦公式进行求解即可.

【解答过程】因为sin(a+工)=sin[(a+意=cos(^+a),

所以出仁+司.心+亨卜一,而(a+9―仁+。)=学

所以cosy=cos[(a+?)—信+a)]=cos(a+cos仁+Q)+•sin(a+^)sinQ+a),

即-3=-1+sin(a+sin仁+a)，

所以sin(a+})sin隽+a)=一

所以cos(2a4-D=cos[(a+岑)+(得+a)]=cos(a4-日)cos+a)-sin(a+与)sin+a)

=_£_f_±A=_±

5\10710,

故选:D.

【变式1-1](24-25高三上・陕西渭南・阶段练习)已知新6-6)=今8£(-泉0),则1211(。+9=()

A.3B.一：C.-3D.；

•5J

【解题思路】根据题意，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，求得tang=-2,再结合两角和的正切公

式，即可求解.

【解答过程】因为sinC-e)=?，可得cose=g,

又因为0W(—g,0),所以sin0=-"一cos?”一争

所以tan”吗=—2,则12n(。+力=粤誓=三黑7=仁

cos0\4/l-tan0tan-l-(-2)xi3

故选：B.

【变式1-2](24-25高三上•安徽•阶段练习)己知a,0都是锐角，cosa=i,cos(a+0)=-去求cos/?=

【解题思路】利用同角三角函数之间的关系可求得sina,sin(a+£),再利用两角差的余弦公式可得结果.

【解答过程】由cosa=：,cos(a+0)=一段以及a,/?都是锐角可得sina=言，sin(a+/?)二当：

所以cos/?=cos(a+/?—«)=cos(a+/?)cosa+sin(a+/?)sina

111.55/34>/3491

=------X-4--X—=—=

147147982

故选:A.

【变式1-3](24-25高三上•河北邯郸•开学考试)已知sin(a-/?)=jtana=3tan/?,则sin(a+0)=(

J

A.-B.-C.-D.-

6323

【解题思路】先应用同角三角函数公式切化弦，再应用两角和与差的正弦公式计算即可.

【解答过程】由tana=3tan/?,得:::=3段^,所以sinacos/?=3cosasin/?,

又sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?=$

所以cosczsin/?=sinacus/?=

62

所以sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?=-

故选：D.

【题型2利用和(差)角公式化简、求值】

【例2】(24-25高三上•内蒙古呼和浩特•阶段练习)已知sina-sin0=1-4，cosa-cos^=则cos(a-

口)=()

A.--B.--C.-D.—

2222

【解题思路】先求出sina-sin/?=1-f和cosa-cos/?=：的平方和，再利用两角差的余弦公式和同角三角

函数的基本关系化简求出cos(a-.)的值.

【解答过程】因为sina-si邛=1一今

所以(sina—sin/?)2=sin2a—2sinasin/?+sin2/?=:-V3,

因为cosa-cos/?=I，

所以(cosa—cos/?)2=cos2a-2cosacos/?+cos2/?=

所以(cos2a+sin2a)+(cos2/?+sin2/?)—2(cosacos/?+sincrsin/?)=，+(：一6)，

所以1+1—2(cosacos/y+sinasin/y)=2—V3,

所以2—2cos(a—/?)=2-\/3,

故cos(a-/?)=y.

故选:D.

【变式2-1](2024•贵州遵义•模拟预测)若sin-a-/?)=一(，则sin(a+/?)-cos(a+6)的值为()

A.—在B.也C.在D.在

5S510

【解题思路】由题得sinG-。一打)=sin3+夕)]，接着由已知结合两角差的正弦公式即可计算求解.

【解答过程】由题sin-a-/?)=sin-(a+£)]

=sin；cos(a+/?)-cos；sin(a+/?)

44

=v[cos(a+/?)-sin(a+/?)]=-

所以sin(a+/?)—cos(a+/?)=[.

故选：c.

【变式2-2](23-24高一・上海•课堂例题)化简下列各式：

(l)cos(a+0)cos6+sin(a+0)sin。；

(2)sin(0+lO5°)cos(0-15°)-cos(0+lO5°)sin(0-15°)；

(3)cos(6+；)+sin(；+0)；

⑷tan(a-6)+tan。

【解题思路】(1)(2)(3)(4)根据两角和差的正余弦公式及正切公式即可求解.

【解答过程】(1)cos(a+/?)cos/?4-sin(a4-/7)sin/?=cos[(a+/?)-。]=cosa.

(2)sin(0+lO5°)cos(0-15°)-cos(。+lO5°)sin(0-15°)=sin[(0+105°)-(0-15°)]=sinl20°=

V3

T

(3)cos(6+4+sing+6)=[cos6—当sinb+当cos。+当sin。=V2cos0.

(4)tan(a-/?)+tan/?=tan[(a—/7)+/?]=tana.

l-tan(a-/?)tan/?

【变式2-3](23-24高一下•四川泸州•期中)已知0VaV曷<£<ir,cosa=胃会,sin(a+夕)=*

(1)求cos夕的值；

(2)求。-a的值.

【解题思路】(1)利用同角公式及差角的余弦公式计算即得.

(2)由(1)结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得.

【解答过程】(1)由0VaV彳jV/?<TG得1Va+/?〈苧，又cosa=弓妥,sin(a+°)=*,

则sina=-cos2a-J1一(富/=詈，cos(a+夕)=-J1-(^)2=一詈，

所以cos0=cos[(a+/?)-«]=cos(a+fi)cosa+sin(a+/?)sina

7、反一3V10.V2V102巡

=--------X----------------X------=----------.

101010105

(2)由(1)知cos/?=—等，而;V/?V71,则sin/?=J1-(一等T=£，

因此cos(/7—a)=cospcosa+sin/?sina=—誓xx^=—y,

又0V0-aVn,所以/?一。=

【题型3两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】

【例3】(24-25高二上•江西南昌•阶段练习)cosl62°cosl32°+cos72°cos420=()

A.4B.1C.一4D.

2222

【解题思路】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可.

【辉答过程】COS162*COS132*+COS72*COS42*=cos(90*十72°)cos(9(T+42°)十COS72*COS42,

=-sin72°(-sin42o)+cos720cos420=cos720cos420+sin72°sin42<,

=cos(72°-42。)=cos30°=当

故选：A.

3n7n

【变式3-11(23-24高一下.湖北黄冈・期中)加7:警二()

1-tan—

A.百B.-V3D.叵

C*3

【解题思路】根据题意利用诱导公式结合两角和差公式运算求能

3TT勺

【解答过程】由题意可得刊三舞ta哼+tan(nT)

1-tan正1-ta唔

lan午Tan招

1+ta吟ta吟

3n-7n

tan—+tan—

412

所以<八Six

l-tan正

故选:A.

【变式3-2］（23-24高一下.广东佛山•期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值:

（I）sin72°cos420—cos72°sin42°；

（2）cos20°cos70°—sin20°sin70°；

2l+tanlS°

【解题思路】（1）根据正弦两角差公式运算求解;

（2）根据余弦两角和公式运算求解；

（3）根据正切两角和公式运算求解.

【解答过程】(1)由题意可得：sin72Ocos42o—cos72Osin42o=sin(72o—42o)=sin30o=：.

(2)由题意可得：cos20°cos700-sin20°sin70°=cos(20°+70°)=cos90°=0.

⑶由题意可得：.=^^=1皿(45。+15。)=加60。=疯

【变式3・3】(23-24高一・全国•课后作业)化简

小1V3.

(1)；cosx--sinx

(2)-'/3sinx+cosx

(3)、/5(sinx—cosx)

(4)、/2COSX-Vbsinx

【解题思路】利用两角和与差的三角函数公式求解.

【解答过程】(1)解：^cosx-ysinx,

=sin30°cosx-cos30°sinx,

=sin(30°—x);

(2)V3sinx+cosx,

2(ysinx+|cosx),

=2(sinxcos300+cosxsin300),

=2sin(x+30°).

(3)V2(sinx-cosx),

,V2.V2、

=2n(ySinX-yCOSX),

=2(sinxcos：—cosxsin；),

n

=2sin(x--).

(4)V2cosx-V6sinx,

=2>/2(|cosx—^sinx)»

=2V2(sin；cosx-cos；sinx),

66

=2\/2sin(--x).

6

【题型4辅助角公式的应用】

[例4](23-24高一下•广东茂名•期中)函数/'(%)=V3sin(4%+§-cos(4%+eR的最小值和周期分

别是()

A.-y[2,^B.-2彳C.-V3,rcD.一近，如

【解题思路】首先利用辅助角公式，化简函数，再求函数的最值和周期.

【解答过程】/(%)=V3sin(4%+§-cos(4%+,xWR,

=2sin(4x+g-5=2sin(4%+

所以函数的最小值为一2,周期为:=卓

故选：B.

【变式4-1](24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知2bsina=1+2cosa,ae(g,段)，则sin(2a-]=

)

.7+3西7C7-3痣

A.-----oB.--D

16816-i

【解题思路】根据辅助角公式合二为一，再换元，结合同角三角函数式，二倍角公式和两角和的正弦公式,

计算即可.

【解答过程】由1+2cosa=2V5sina,得当sina-：cosa=%即sin(a—E)=：.

令6=ae(pir),sin3=cos0=-V1-sin20=一手.

sin28=2sin0cos0=一平，cos26=2cos2。—1=，.

88

且a=8+j贝1」2°一？=2(。+》一：=26>+3

66666

则sin(2a—》=sin(26+》=?sin261+1cos26=yx(-^)+1x^=

故选:C.

【变式4-2](24-25高三上•北京,阶段练习)已知函数f(x)=asinxcosx+cos(2x+J,且fg)=g.

(1)求Q的值和f(%)的最小正周期;

(2)求/'(;<)在上的最大值和最小值.

【解题思路】(1)利用二倍角公式整理函数的表达式为/G)=Usin2x+当cos2%,然后/《)=4求出a,

利用辅助角公式得/(%)=sin(2x+)代入周期公式求出周期即可；

(2)由(1)知/"Q)=sin(2%+*当工10,足时，;<2x+；<^,结合正弦函数的性质，即可求得/'⑴的

\3J333

最值，及取得最值时X的值.

[解答过程](1)/(x)=asinxcosx+cos(2x+3)=sin2x4-cos2xcost-sin2xsin

=—sin2x4--cos2x,

22

因为/0=4，所以等，吗+当cos：等=g,所以Q=2,

所以/(%)=：sin2x+*os2x=sin(2%+；),所以/(%)的最小正周期T=y=IT.

(2)当xG[0,n]时，2x+^<y,

当2x+：会即x=E时，/(X)max=/'(-^)=Sin(2x4-^)=sin=1,

当即“等、h/(x)min=sin(2x^Tr+^)=-l,

即％=W时/(幻最小值为一1,x=三时/(x)最大值为I.

【变式4-3](24-25高三上•天津,阶段练习)已知函数/(%)=-\/2sin(2x+：)+6sinxcosx-2cos2x+1,

xGR.

(1)求f(%)的对称轴;

(2)求/(x)在区间［O曰上的值域.

【解题思路】(1)通过和角的正弦公式，和辅助角公式化简/'(<),结合正弦函数的对称轴即可求得;

(2)由有求得f(x)=2岳皿2%-》中的2%一；的取值范围，即可求得值域.

【解答过程】(1)由/'(%)=-&sin(2%+)+6sinxcosx—2cos2%+1

=-\^2sin2xcos-7—\Z2cos2xsin-y4-3sin2x—cos2x=2sin2x—2cos2x

44

=2V2sin(2x—：),

令+kn,解得％=

所以/(x)的对称轴为％=萼+WZ.

82

(2)由(1)可知，/(x)=2V2sin(2x-^,因为“W［(),｝］,则

2X-^G-y<sin(2x-^)<1,-2<2V2sin(2x-^)<2\/2,

f(x)在区间［O,乎］上的值域为［-2,2&］.

【知识点2二倍角公式】

1.二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

函数公式P=a简记符号

正弦sin2a=2sinacosaS(«+/7)s%

余弦cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2«C(a+/7)C2a

-2tana

正切tan2a—----------T(a+价T2a

1—tan-a

2.二倍角公式的变形应用

⑴倍角公式的逆用

sin2asin2a

®5«：2sinacosa=sin2a,sina-------,cosa=-z—：-.

22cosa--------------2sina

222

®C2a：cosa—sin2a=2cosa—1=1—2sin«=cos2a.

4T2tan«-

③中==口。2a.

(2)配方变形

1±sin2a=sin2a+cos2aisin2a=(sina±cosa)2.

(3)因式分解变形

cos2a=cos2a—sin2a=(cos«-since)(cosa+sin«).

(4)升嘉公式

14-cos2a=2cos2a：1—cos2a=2sin2«.

【题型5利用二倍角公式化简】

【例5】（23-24高一下•上海松江.阶段练习）已知a£（0,9,化简，2-2sin2a1+co松a的结果是（）

A.迎sinaB.—V2sinaC.V2cosaD.—V2cosa

【解题思路】由倍角公式化简即可.

【解答过程】,:a€(0,cosa>sina>0.

y/2—2sin2a—V1+cos2a=V2-Vsin2a—2sinacosa+cos2a-V1+2cos2a—1

=鱼•J(sina_cosa)2-V2cosa=V2(cosa-sina)-V2cosa=-V2sina

故选：B.

【变式5-1](24-25高一・全国•课后作业)化简2v1一sin4+\2+28s4的值为()

A.2sin2B.-2sin2C.2sin2-4cos2D.-2sin24-4cos2

【解题思路】根据正弦、余弦的二倍角公式即可求解.

【解答过程】211-sin4+72+2cos4=2V1-2sin2cos2+72+2(2cos22-1)=2|sin2-cos2|+

2|cos2|又因为/<2V7T,所以sin2>0,cos2v0,即原式=2sin2—4cos2

故选C.

【变式5-2】（23-24高一下.上海.阶段练习）若无6（-IT,一9,则化简”-sin%+"1+sin%的结果是（）

A.2c吟B.2sin]C.-2c吟D.-2叱

【解题思路】根据二倍角公式化简，结合三角函数的性质判断正负即可求解.

【解•答过程】V1—sinx+Vl+sinx=

.Xx\

sin--cos-|+卜呜+cos；

由于X6（—11,-］）,所以;6（一,一：），故$而；＜0,85；＞0,卜而；＞|cOS^|,

故sin：-cos；<0,sin；+cos；<0,

进而卜呜-cos：|+卜呜+cos；=（cos^-sinf)-(s：in：+cos0=-2sin:,

故选：D.

【变式5-3]（23-24高一下•辽宁沈阳•阶段练习）化简求值:

.l+cos20°TE10°(熹一tan5。)；

I'2sin200

?cos400

Z^cos250Vl-sin400'

【解题思路】（1）切化弦，利用二倍角的正余弦公式，结合凑特殊角的思想求解作答.

（2）利用诱导公式，二倍角的正余弦公式求解作答.

l+cos20。2cos210。cos50sin50.

【解答过程】（1）一小1。。（焉-35。）=sinlO°

2sin20°4sinlO°coslO,sin5°cos5d

coslO°.cos*25°—sin25°coslO°cos10°

=----------sin1℃-------------------5inl0n-

2sinl0°sin5°cos5°2sinl0°|sin10°

cos100coslO0—2sin20°coslO0—2sin(30°—10°)

2cosl0°==

2sinl00--------------------2sinl00------------------2sinl00

2sinl00

cos400_cos400_cos400

(2)

cos250Vl-sin400-cos25°x/l-cos500-cos25°V2sin2250

cos40°夜COS40。&COS40。=V2.

V2cos25°sin250sin500cos40c

【题型6利用二倍角公式求值】

[ft6J（24-25高三上•河南•期中）已知角a的始边为x轴的非负半轴，终边过点（2,—1）,则8$（2。一以=

()

A*TC.yT

【解题思路】由三角函数定义可得cosa=手，sina=-^,再结合二倍角公式与两角差的余弦公式计算即

可得解.

【解答过程】由三角函数的定义，得cosa=%,sina=-当

OJ

所以sin2a=2sinacosa=2x孚x(4)=4

cos2a=2cos2a—1=2x(孚)—1=|

cos(2a-9=COS2政党+sin2as吗=乎x6一§二一祭

故选:D.

【变式6-1]（24-25高三上•天津,阶段练习）若tan（a+：）=3,则sin2a+cos2a=（）

D

A.1B・iJC-s-I

【解题思路】借助两角差的正切公式可得tana的值，再借助二倍角公式及三角函数基本关系将弦化切后计

算即可得.

【解答过程】由tan（a+9=3,

则tana=tan(a+：一：)=tam(a+沪an；_3T

l+tan(ff+^tan^1+3x12

田.c.c2sinacosa+cos2a-sin2a

故sin2a+cos2a=-------------------

sm^a+cosza

(2sinacosa+cos2a—sin2a)+cos2a2tana+1—tan2a

(sin2a+cos2a)+cos2atan2a+1

2X：+1-G）=2-；二7

（丁+】一源一丁

故选：C.

【变式6-2]（23-24高一下.江苏南通.阶段练习）已知tana=gtan/?=p且a,/?都是锐角,

⑴求sin2a的值：

（2）求a+2/7的值.

【解题思路】（1）利用二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得结论.

（2）利用二倍角公式得tan2/?=：,再利用两角和的正切函数公式得tan（a+2/?）=1,最后利用三角函数的

求值计算得结论.

【解答过程】（1）由tana=3得sin2a=苦空丝:=含｝=与=5.

7sin2a+cos2a1+tan2a1+（A）225

（2）由tan/?=：,得tan2s==二=；==，而tana=工，

3L1-"ta叱n2/?1-i847

因此tan（a+20）=W嘤=电=1，

'Y'l-tanatan2/5i-|x|

又a，夕为锐角，且tana=：V=1V1,则0VaV0</?</

因此0<a+2/?<午,

所以a+2/7的值是今

【变式6-3](24-25高二上•四川内江•开学考试)已知函数/'(%)=sin2x+2V3sinxcosx-cos2x+m的最大

值为3,

⑴若f(x)的定义域为[0,利，求f(x)的单调递增区间；

(2)若f(藁)=y,xoe[0,=],求cos(2%0+力的值.

【解题思路】(1)利用二倍角公式将/'CO化简并利用最值可得f(x)=2sin伽-9+1,再由三角函数单

调性解不等式即可求得单调递增区间；

(2)代入解析式可求得5比卜0-9=去再根据同角三角函数之间的基本关系以及二倍角等公式求

sin[2(x0-^)],最后利用诱导公式可求cos(2q+J.

【解答过程】(1)将f(幻化简可得/'(%)=V5sin2x—cos2x+in=2sin9工一擀)+小，

因为f(x)max=2+m=3，所以m=1.

此时/(%)=2sin(2x—+1,

当无时，2x—詈]

令一？42%—£工£得043三千

ooZ3

令三＜2x-^＜詈，得詈＜X＜TI,

所以/(均的单调递增区间为[。£]和F，n・

(2)由(1)知/(%)=2sin(2%-：)+1.

由，©)=上得2加卜。/)+1=*

所以sin(%。一一看，又因为6[。4].所以*。_己6卜:司，

x=1sin2X=

所以COS(o-i)J-(o-D?

所以sin[2(x0-J]=2sin(x0~;)cos(%o-，)=景

所以cos(2x0+;)=cos[2G。一，)+外=-sin[2(x0-,=嗤

【题型7三角恒等式的证明】

【例7】（23・24高一•上海•课堂例题）证明下列恒等式:

...sin(a+^)sin(a-/?)..2o

(l)cos^cos^=tan2a-tan2/?；

（2师（。+加部

【解题思路】（1）运用恒等变换公式，同角三角函数的商数关系即可化简;

（2）运用两角和的正切公式证明即可.

【解答过程】（i）则”等铲_(sinacos6-cosasin/?)(sinacos/?+cosasin/?)

cosJacosz/?cos2acos2p

sin2acos2/?-cos2asin2/?

cos2acos2P

=tan2a—tan2/?：

/一、n、tanO+tan;

黑

(2)tan(6+-)7=---------

'4l-tan0tan4-

tan0+l

l-tan0"

【变式7-1］（24-25高一上•上海,课堂例题）证明下列三角恒等式:

(l)sinx(1+tanxtan=tanx；

【解题思路】（1）利用正切差角公式及同角三角函数关系进行化简，得到答案:

（2）利用二倍角公式，化弦为切，证明出结论.

【解答过程】⑴「黑舞=tan（x—；）=

tan-,

2

tanx-tan-

14-tanxtan-=

2tan-

.xXx

sinx_sin2sinxcos]-cos.vsin

cos%cos5x-

cosxcos2

乙

T~xT~x

sin2sin2

xx

cos2cos2

si『咨二上

cosxcos|s呜cosx

..(入、、x\sinx

..sinx1+tanxtan-=——=tanx.

\2/cosx

・220・ocra

l+sinasm^。-+・cosz-+2sm-cos-

(2)2

l-2sin^C0S21,sin2|

(sin/+cos

(sin2+cos多)(cos多-sin

s；na-+cosa-1+tanaj

一co$及--si7n"-5—\1~-Ztanja-

【变式7-2](23-24高一下•上海,假期作业)在锐角△ABC中，求证：

(l)tan力+tanB+tanC=tanzltanStanC；

(2)tan3tang+tan7tan+tantan7=1.

222222

【解题思路】(1)利用锐角4ABC,通过内角和与两角和的正切公式结合将tan力+tanB转化成-tanC(l-

tanAtanB)从而得证；

(2)对左式提取tan?,对tan^+tan：运用两角和的正切公式转化，再利用锐角△48C将tan与转化为与即

2222tan-

可得证.

【解答过程】(1)由4十。+C=71,且在锐角△4ZJC中，故A+0=n-C,

两边取正切得：tan(A+B)=tan(n-C)=—tanC,B[Jtan/1+tang=一tanC,

''''l-tan/ltanfl

整理得tan44-tanB+tanC=tan/ltan^tanC,故原式成立.

(2)在锐角A/IBC中，有4+B+C=IT,则等=]一"

则311号=匕吗-刍，

222tanj

又tan等=：'?：：呢,

n1-tanytan-

则左式=tan^tan^+tang)+tantan

B/A+C\/AC\AC

=tan2-tan(^M1-tan2tan2btan2Un2

Fl/AC\AC

=tan-----H1-tan—tan—+tan—tan—

2tanfk22)22

=1—tan-tan-+tan-tan-=1=右式.

2222

故原式成立.

【变式7-3](23-24高一下•云南大理•阶段练习)证明：

(1)cos4a+4cos2a+3=8cos4a

_2cos(a+£)=陋

sina仁'sina

(3)已知sin。+cos。=2sina,sinOcosO=sin2/?,求证4cos22a=cos22/7.

【解题思路】

根据题意，利用三角恒等变换的公式，淮确化简、运算，即可求解.

【解答过程】(1)

证明：由cos4a+4cos2a+3=2cos22a-1+4cos2a+3

=2(cos22a+2cos2a+1)=2(cos2a+l)2=2(2cos2a)2=8cos4a

所以cos4a+4cos2a+3=8cos4a.

(2)

证明:由当y-28sm+夕)=sin(2a+/?)-2cos(a+/?)sina

sina

sin[(a+/?)+a]-2cos(a+/?)sina_sin(a+/?)cosa-cos(a+/?)sina_sin/?

sinasinasina

所以随”2ms(a+/?)=..

sinasina

(3)

证明：因为siMe+cos?〉=1,可得(sin。+cos。/=1+2sinUcos。，

把sinS+cosO=2sina,sind-cos6=siM.代入得4sin2a=14-2sin2^,

即4(1—cos2a)=14-2(1—cos2/?),

整理得4cos2a=1+2cos2/?,所以4cos2a-2=—1+2cos2氏所以2cos2a=cos2/?

两边平方可得4cos22a=cos22/7.

【题型8利用三角恒等变换判断三角形的形状】

【例8】(23-24高一下.江西吉安•期末)在AABC中，若siMsinB=g(l+cosC),则△A8C是()

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形D.直角三角形

【解题思路】根据两角和与差的余弦公式可得sinAsinB--1[cos(/l+B)-cos。-B)],再结合诱导公式

化简计算得出结果.

【解答过程】因为cos(44-B)=cosAcosB—sinAsinB

cos(/l-B)=cosAcosB+sinAsinB

所以sinAsinB=--[cos(7l+B)-cos(力—B)],

2

因为sinAsinB=-(1+cosC)

则一L[cos(i4+8)-cos(71—B)]=-(14-cosC)

又71+B=TI-C,

所以cosC=—cos(i4+B),

所以一：[cos(/l+B)-cos(/l-B)]=^[1-cos(i44-8)]

所以cos(4—B)=1.

又48为△ABC的内角，所以4一8二。

所以4=B,故4A8C为等腰三角形.

故选：C.

【变式8-1](23-24高一下・浙江金华•阶段练习)已知△ABC,角力㈤C所对应的边分别为a,b,c,且sinA+

sinB=cosA+cos/?,则^ABC^.()

A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

【解题思路】根据给定条件，利川和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答.

WA/V'-i-tni时上..,A+8A-8、.^A+BA—8、,4+8/I-8、A-B

【解答过程】依题忠，sin(—+—)+sin(---------)=cos(—+—)+cos(----------—

则有2/等8s"=2cos等cos第在△加中，告…即8s等＞。，

因此tan差=1,又0＜干＜—于是得竽=；,即4+

222242

所以△4RC是直角三角形.

故选：A.

【变式8-2](23-24高一下桔林期末)在△48C中，已知sinBsinC=cos2*则△力BC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

【解题思路】由二倍角公式可得，cos2^=1(l+cos/l),再根据诱导公式可得cos4=—cos(B+C),然后利

用两角和与差的余弦公式，即可将sinBsinC=cos2?化简成cos(B-C)=l,所以B=C,即可求得答案.

【解答过程】因为sinBsinC=cos2^=1(1+cos/1)=^[1-cos(F+C)],

cos(fi+C)=cosBcosC-sinBsinC,

所以，cosBcosC+sinBsinC=l,即cos(8—C)=1,

因为8,CG(0,TT),所以B—CE(—n,71)

所以8=C,即为等腰三角形.

故选：A.

【变式8-3](23-24高一下•陕西西安•阶段练习)若在△48。中，sin(4+C)•sin(4+8)=cos4则△48。

的形状为()

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【解题思路】利用诱导公式及二倍角公式得到2sin8•sin。=1+COSA,再由两角和差的余弦公式得到

cos(B—。)=1,即可得解；

【解答过程】解：因为sin(4+C)♦sin(4+8)=cos2g,

即sin(7r—B)-sin(7r—C)=1+：'

所以sinB-sinC="广",

即2sinB-sinC=1+cos4»即2sinB-sinf=1—cos(B+C),

所以2sinB-sinC=1-cosBcosC+sinBsinC,

所以cosBcosC+s\nB-sinC=1,即cos(8—C)=1»

因为€(0,7T),所以B—C€(_7T,7T),

所以B—C=0,即8=C,所以△/BC为等腰三角形；

故选:C.

【题型9三角恒等变换的实际应用】

【例9