人教版九年级数学上册：一元二次方程的概念（讲义）

第二十五章一元二次方程

25.1一元二次方程的概念

知识网络理用脉珞人物奉&秘

「只含1个未知数

「定义一未知数最高次数为2

-整式方程

「Q*是•.次项一a为二次项系数

-知识梳理——般形式一a/+帅+。=og#o）-bx是一次项一b为一次项系数

1C:是常数项一以常数项

「使方程左右两边相等一未知数的值

|解（根）一个数一一元二次方程最多有2个实数根

L验证方法一将根代入方程，等式成立则为有效根

一

元「❶定义判断一先看未知数个数、最高次数，再确认是否为整式方程

二

一❷系数确定一先化为标准式，再提取系数，注意保留符号

次

方二次项系数*0+一

学法指导一❸

程系数前的负号不可漏

的

O根的验证一养成代入检脸习惯，排除错根/计算失误

概

I❺含参意识—含参方程先判断是否为一元二次方程•

念

「识S!］一元二次方程★

「已知含参方程为一元二次方程，求参数的取值范围★★

「将一元二次方程化为一股形式★

「根据一元二次方程的一般形式求系数十

「根据一元二次方程各系数的值求字母的值★★

L常见考题-

-判断是否是一元二次方程的解支

一根据一元二次方程的解代人求值★★

〜根据一元二次方程的解求另一方程的解★★

一根据一元二次方程的解降次求值★★★

由实际问题抽象出一元二次方程★★★

知识梳理/理我材…以

▼

©知识点-----元二次方程的概念

一元二次方程的定义：一般地，圻果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最

高次数是2,这样的方程叫作一元二次方程.

一元二次方程的三要素：整式方程、只含有•个未知数、未知数的最高次数是2.

【注意】

1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的.

2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式.

»即学即练

••••

I.（25-26九年级上•湖北黄冈・月考）下列方程中是一元二次方程的是（）

A.2x+5y=8B.-^-3=0C.3/=9D.x2+xz=l

【答案】C

【分析】一元二次方程需要同时满足三个条件：1、是整式方程，2、只含有一个未知数；3、未知数

的最高次数为2,根据三个条件逐一判断选项即可.

【详解】解：A、方程含有2个未知数，属于二元一次方程，不是一元二次方程；

B、分母含有未知数，属于分式方程，不是一元二次方程；

C、方程3/=9是整式方程，只含1个未知数，R未知数最高次数为2,是一元二次方程；

D、方程含有2个未知数，属于二元二次方程，不是一元二次方程.

2.（25-26九年级上•辽宁丹东•期口）下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A.2.x-2+7=0B.2/+2瓜+1=0

C.5x2+^+4=0D.3X2+V3（1+X）+1=0

【答案】C

【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程足只含有一个未知数，且未如数最高次数

为2的整式方程.

【详解】解：•.・一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的

最高次数为2.

对各选项分析如下：

A选项：2/+7=0,满足三个条件，是一元二次方程.

B选项：2/+2向+1=0,满足三个条件，是一元二次方程.

C选项：5/+,+4=0中，L是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，

xx

因此不是一元二次方程.

D选项：整理3f+百（l+x）+l=0得3/+瓜+（6+1）=0,满足三个条件，是一元二次方程.

3.（25-26九年级上.福建漳州.期末）若方程（a-l）Y+2x+l=0是关于x的一元二次方程，则。的取值范

围是•

【答案】〃工1

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即"2+加+。=0（〃/0）得到关于。

的不等式，解之即可.

【详解】解：根据题意得：

解得：々工1,

故答案为：。工1.

.知识点二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式：Q/+bx+c=0（QH0）,它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项

式，等号右边是0.其中：Q/是二次项，a是二次项系数，以是一次项，b是一次项系数，c是常数项.

【补充说明】

1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成a/+bx+c=o（a工0）的形式，所

以判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断.

2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，

应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，•定要带上前面的符号.特殊情况：

①若二次项系数为负，则要把它转化为正数，注意其他项的符号均需要改变；

②若有的项系数为分数，则要把它转化为整数.

3）当方程中的二次项系数含有字母时，若字母的取值不确定，则这个方程不一定是一元二次方程.

【易错/热考】如果明确了Q/+加+c=0为一元二次方程，就隐含了QW0这个条件.

分即学即练

••••

I.（25-26九年级上•广东江门・期口）一元二次方程3/一5工=4的二次项系数是,一次项系数是

,常数项是.

【答案】

3

-5

-4

【分析】先将原•元二次方程化为•般形式公2+版+c=o（〃『（）），再根据•元二次方程•般形式的定义

确定各项系数.

【详解】解：•・-3/-5x=4,

/.3X2-5X-4=0

二次项的系数为3,一次项的系数为-5,常数项为-4.

2.（25-26九年级上.江苏镇江.期末）将关于x的一元二次方程x（x-1）=2025化为一般形式为（）

A.寸7=2025B.f7+2025=0

C.Y7_2025=0D.x2+x-2025=0

【答案】C

【分析】将方程左边展开，然后移项使右边为零，得到一般形式.

本题考查等式的性质，一元二次方程的基本形式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键.

【详解】解：原方程为x（x-l）=2025,

展开左边得f-*=2025,

2

移项得X-X-2025=0,

一般形式为X2-X-2025=0.

故选：C.

3.（25-26九年级上•江苏连云港•月考）已知关于x的一元二次方程f+5x+公-16=0的常数项为0,则我

的值为（）

A.4B.±4C.8D.±8

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，解题的关键是一元二次方程的一般形式是

ax2+bx+c=0（为常数且）,特别注意。工0,这是在解题中容易忽略的知识点.

由一元二次方程常数项为0,得3-16=0,解方程即可，二次项系数已满足非零条件.

【详解】解：,常数项为0，

犬-16=0,

...K=16,

「.〃=±4,

由二次项系数1,（），

.，.&=±4.

故选：B.

©知识点三一元二次方程的根

定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.

判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程，若能使等式成立，则是一元二次方程

的根；反之，它就不是一元二次方程的根.

【补充说明】一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明司,々・

a即学即练

••••

1.(25・26九年级上•江苏泰州•月考)下列方程中，有根为1的一元二次方程是()

A.X—1=0B.+2x—3=0C.x2+x=0D.2)=。

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程“，一元

二次方程的解.根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解，即可进行解答.

【详解】解：A、x-1=0,是一元一次方程，故该选项不符合题意；

B、V+2x-3=0,未知数的最高次数为3,不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

C、x2+x=(),是一元二次方程，当x=l时，f+x=l+l=2/0，故该选项不符合题意；

D、(x-l)(x-2)=0,是一元二次方程，当x=l时，=故该选项符合题意；

故选:D.

2.(25-26九年级上•重庆南岸•期口)若加是方程2/-3x+2=0的一个根，则9〃7-6//+3=.

【答案】9

【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键.

将”=〃，代入方程2/-34+2=0得到关于，〃的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可.

【详解】

Vm是方程2x2一3x+2=0的一个根，/.2m2一+2=0,

2rn2-3m=-2

9m-6m2+3

=-3(2m2-3/n)+3,

将Itrr-3/n=-2代入得

-3x(-2)+3=9.

故答案为：9.

3.(25-26九年级上•湖北襄阳•期天)已知关于”的一元二次方程丁+34-m=0的一个根是-1,则加的值

是()

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程根的定义.

将已知根代入方程即可求出机的值.

【详解】解：•.0=一1是方程f+3x—〃?=0的根，

•将x=—l代入方程得：(―1)~+3x(—1)-w=0,

即1-3=0,

:.—2—=0,

解得m=-2.

故选：A.

题型突破……突破运

=▼

A题型01识别一元二次方程

W-----^ij断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程（等号两边都是整式）；②只含有

一个未知数：③未知数的最高次数为2.注意“整式方程”是指原方程是整式方程，而不是指化简之后;“只

含有一个未知数，且未知数的最高次数为2”是对方程化简之后而言的.

典I例I精I树

1.（25-26九年级上•福建漳州•期天）下列方程是一元二次方程的是（）

A.X2-2X+1=0B.x2+-=0

x

C.x2-2y=0D.xy=2

【答案】A

【分析】根据一元二次方程需满足只含一个未知数，未知数最高次数为2,且为整式方程，逐一判断选项

即可.

【详解】解：A选项产-2x+l=0,只含一个未知数工，最高次数为2,且是整式方程，满足所有条件，故

本选项符合题意；

B选项方程含有分式,，不是整式方程，不满足条件，故本选项不符合题意；

x

c选项方程含有x和y两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意；

D选项方程含有X和y两个未知数，不是一元方程，不满足条件，故本选项不符合题意；

变］式工巩［固

1.（25-26九年级上•宁夏银川•期口）下列各方程中一定是关于x的一元二次方程的是（）

A.3X2=4A+3B.o?—8=0C.x+y2=0D.3q，+6=5.口

【答案】A

【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选

项即可.

【详解】解：A选项3/=4x+3只含有一个未知数巴最高次数为2,且是整式方程，符合一元二次方程

的定义；

B选项a2_8=0中，未说明当a=0时，方程不是一元二次方程；

C选项X+）,2=0中含有X和y两个未知数，不符合一元二次方程定义；

D选项30+6=5岁整理得2冷，=6,含有两个未知数，不符合定义.

2.（25-26九年级上•湖北武汉•期口）下列方程不是一元二次方程的是（）

A.x2-75x+350=0B.；x（l）=28

C.-7+x-1=。D.3x（x-1）=5（A—2）

•A

【答案】c

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断各选项是否为整式方程且最高次数是否为2.

【详解】解：•♦・一元二次方程必须是整式方程，且未知数的最高次数为2；

A、x2-75x+350=0,是整式方程，最高次数2,是一元二次方程，不符合题意：

B、lv（x-l）=28,展开并化简得f7一56=0,是整式方程，最高次数2,是一元二次方程，不符合题

意；

C、-4+x-l=0,分母含有未知数，不是整式方程，符合题意；

x

D、3x（x-l）=5（x-2）,展开并化简得3/-8x+10=0,是整式方程，最高次数2,是一元二次方程，不

符合题意；

故选:C.

3.（25-26九年级上.河南许昌・月考・）方程①」+3f=l；②4/-4"+/=0；③3x-5/=0;®

/一4中，一元二次方程的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【分析】本题考杳了一元二次方程的定义，通过判断每个方程是否满足一元二次方程的定义（整式方程、

一个未知数、最高次数为2）来确定个数.

【详解】v方程①4+3/=1含有分式，不是整式方程，

•••不是一元二次方程.

•••方程②4x2-4xy+/=0含有两个未知数工和户

・••不是一元二次方程.

•••方程③3X-5X2=0可化为-5X2+3X=0,满足一元二次方程定义，

•••是一元二次方程.

•••表达式④f_4没有等号，不是方程，

综上所述：只有③是一元一次方程，共1个.

故选c.

A题型02已知含参方程为一元二次方程，求参数的取值范围

，——如果明确了Q/+bx+c=0为一元二次方程，就隐含了a*0这个条件.

典」例1精通

1.（25-26九年级上•湖南张家界•期末）关于x的方程（〃?-2）/々-5x-1=0是一元二次方程，那么的值

为（）

A.2B.-2C.±2D.±3

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是

只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程.根据一元二次方程的定义列式计算即可.

【详解】解：二关于x的方程（〃?-2），-2一5工一1=0是一元二次方程，

/.m2-2-2且tn2声0,

由〃/一2=2得机2=4,

/./«=±2,

又加一2工0,

/.in^2,

ni=—2.

故选:B.

变］式工巩［固

1.（25-26九年级上.广东中山.期口）若关于x的方程W+1）/12侬-3=0是关于x的一元二次方程，则

加的取值是（）

A.任意实数B.1或-1C.1D.-1

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2,且二次项系数

不为0,据此计算，〃的取值即可

【详解】解：•.■关于4的方程（〃任1），2同+2〃状-3=0是关于x的一元二次方程，

.1网=2

m+1工0’

解=2得〃［=1或〃7=-1,

•••"1+1=0

二"件一1,

A!T]=\.

2.（25-26九年级上•天津南开•期口）若关于工的方程是一元二次方程，则。的取值范围

是.

【答案】E

【分析】本题考查一元二次方程：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此a-lwO.

【详解】解：•,•关于4的方程（〃-1）/+方-1=0是一元二次方程，

二二次项系数4-1工0,解得"I.

故答案为：awl.

3.（2025•四川广元•一模）关于x的方程（〃?-1），'叫—4x7=0是一元二次方程，则.

【答案】-3

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键.

根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0,列出条件求解.

【详解】解：由题意，得向+[=2且m_1工0,

解得〃?=1或m--3,

当加=1时，m-\=0,不符合题意；

当〃?=一3时，〃L1=T¥0,符合题意.

故答案为：-3.

4.（25-26九年级上•江西九江•月考）已知关于上的方程（〃广-4卜2+（〃L2）X+5=0.

（1）当机满足什么条件时，此方程是一元一次方程？

（2）当，〃满足什么条件时，此方程是一元二次方程？

【答案】（1）切=-2；

（2）W7t±2.

【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和

一元一次方程的定义.

（1）根据一元一次方程的定义解答即可；

（2）根据一元二次方程的定义解答即可.

【详解】（1）解：•.•方程（，〃2-4b2+（机-2）1+5=。是一元一次方程，

则〃/一4=0且E-2H0.

解得〃?=一2；

（2）解:方程（病-4产+（m-2卜+5=0是一元二次方程,

则〃广一4。0,

解得工±2.

I►题型03将一元二次方程化为一般形式

典！例1精西

1.（25-26九年级上•云南曲靖•月考）把方程d+2x=5x-2化为一元二次方程的一般形式是（）

A.X2-3X-2=0B.X2+7X-2=0C.X2-5X+2=0D.X2-3X+2=0

【答案】D

【分析】本题考查了将一元二次方程化为一般式.

将方程化为一般形式ax2+bx^c=0（。/0）,需将所有项移到等号左边.

【详解】解：v原方程为X2+2A=5X-2,

移项得x2+2x—5x+2=0,

合并同类项得X2-3X+2=0>

一般形式为X2-3X+2=0,

故选：D.

变］式工巩［固

1.（25-26九年级上•吉林长春・期口）将一元二次方程x-2x（x-3）=l化为一般形式，正确的是（）

A.1X-2X2=\B.2X2-7X=-\C.2%2-7X+1=0D.7X-2X2-1=0

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需熟练掌握化简步骤，确保方程为标准形式.

将原方程通过去括号、移项和合并同类项化为一般形式ad+bx+c=0.

【详解】解：•.•原方程为x—2r（x—3）=l,

去括号：x-2x2+6x=1»

合并同类项：-2F+7X=1,

移顶：-2X2+7X-1=0,

乘以一1（使二次项系数为正）：2/一7/+1=0,

•••一般形式为2X2-7X+1=0,

故选：C.

2.（25-26九年级上.四川广安・月考）一元二次方程（x+3『7=2（/+3）化成一般形式为.

【答案】X2-5X-3=0

【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键.先计算完全平

方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式亚2+云+。=0”/工0）即可得.

【详解】解：（"+3）27=2（/+3）,

x2~6x+9-x=2x2+6,

2x24-6-X2-6x-9+x=0，

x*12-5x-3=0.

故答案为：x2-5x-3=0.

I►题型04根据一元二次方程的一般形式求系数

、善3—忽略系数前面的符号

虞」例1精通

1.（25-26九年级上•河南开封•期天）方程V=3y-2化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次

项系数、常数项分别是（）

A.1,3,-2B.-1,-3,2C.-1,3,2D.1,-3,2

【答案】D

【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是“+乐+。=。（叱0）,其中

◎2是二次项，”是二次项系数，版是一次项，。是一次项系数，。是常数项.

【详解】将原方程化为元二次方程的般形式为），2-3），+2-0,所以二次项系数为1,•次项系数为

-3,常数项为2.

故选:D

变I式I巩I固

1.（25-26九年级上•四川泸州・月考）把一元二次方程5“-2f=3整理成一般形式浸+bx+c=0（a>0）后,

一次项系数〃的值是（）

A.5B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即◎?+法+c=0（aw0）.其中。是二次项系数，匕是一次

项系数，。是常数项.

将方程整理成一般形式后作答即可.

【详解】解：5X-2X2=3,

-2X2+5X-3=0»

2入，—5x+3—0，

••・一般形式为2/-5x+3=O,其中b=-5.

故选：B.

2.（25-26九年级上.河南郑州・月考）关于x的一元二次方程（x-lf=4（2x+l）化成一般形式后，一次项系

数和常数项分别是（）

A.-6,-5B.10,-3C.-10,5D.-10,-3

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，比较系数即可，熟练掌握一元二

次方程的一-般形式是解此题的关键.

【详解】解：•••（x-l）2=4（2x+l）,

•••x2-2x+l=8x4-4,

•••x2-2x+l-8.r-4=0,

•••X2-IOX-3=O,

故一次项系数为TO,常数项为-3,

故选：D.

3.（25・26九年级上•云南曲靖・期天）将一元二次方程d-2x=6化为依2+/»+。=0（。/0）的形式，则

a+b+c=.

【答案】-7

【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键.

直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案.

2

【详解】解：VX-2X=6

x2-2x-6=0,

•••«=1,b=-2fc=-6>

.*.r/+Z?+c=l+（-2）+（-6）=-7,

故答案为：-7

4.（25-26九年级上•河南平顶山•阶段检测）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项

系数、一次项系数和常数项.

方程一般形式二次项系数一次项系数常数项

(3x+l『-2x=0

3X2-2A=X2+1

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=O（a,b,

。是常数且。工0）.在•般形式中aP叫二次项，乐叫•次项，c是常数项.其中。，b,c分别叫二次项系

数，一次项系数，常数项.

先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可.

【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

方程一般形式二次项系数一次项系数常数项

2

（3X+1）-2X=O9x2+4A+1=0941

3x2-2x=x2+12X2-2X-1=02-2-1

A题型05根据一元二次方程各系数的值求字母的值

典］例工精适

I.(24-25八年级下•云南昆明•期天)关于X的一元二次方程(03)¥+5工+42-9=0常数项为0,则k值为

()

A.3B.-3C.+3D.9

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的定义.

根据一元二次方程的定义，常数项为。且二次项系数不为0,解方程即可确定女的值.

【详解】解：根据题意得，代-9=0旦忆-3。0,

解得&=±3且2壬3,

•••k=-3,

故选:B.

变I式I巩I固

I.(河北省廊坊市燕郊燕昌中学等联考2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷)关于工的一元二次方

程Mx+-)=0化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0,则W表示的数为

()

A.-4B.4C.2D.-2

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(。，

b,。是常数且。工0)特别要注意〃工0的条件.在一般形式中依2叫二次项，云叫一次项，。是常数

项.其中c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

【详解】解：设W表示的数为〃?，

化成一元二次方程一般形式是x(x+)=x(x+M=x2+?nv=O,

•••二次项系数、一次项系数和常数项分别是1,4,0,

.•.5=4,

・•.W表示的数为4,

故选：B.

2(25-26九年级上•江苏扬州•期中)关于x的一元二次方程(〃1)/+〃&=工+5化为一般形式后不含一次

项，则用的值为.

【答案】-1

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为i般形式，根据不含一次项的条件，令一次项

系数为零，且二次项系数不为零，求解

【详解】解：原方程（，〃-1）/+加1=工+5化为一般形式：（〃I）f+,舟_工_5=0,

BP（/??-1）X2+（/?Z2-1）X-5=0,

由于不含一次项，则一次项系数苏-1=0,且二次项系数，〃-1W0.

解苏一1=（）,得〃2=±1.

由〃2—1工0,得〃？工1,

故m=~\.

故答案为：-1.

3.（25-26九年级上•河北唐山•月考）已知关于x的一元二次方程1-1）『+31+/+1=0的常数项是2,则

a的值为.

【答案】-1

【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键.根据一

元二次方程的定义和题意列出。满足的条件求解即可.

【详解】解：••・关于％的一元二次方程（4-1）丁+31+片+]=0的常数项是2,

a2+\=2

>

[”1工0

解得：。=-1,

故答案为：-1.

A题型06判断是否是一元二次方程的解

Ql方收

一分别将未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等.相等则是，否则不是.

典।例।精।析

1.（25-26九年级上•福建屋门・期口）若一元二次方程有一个根是x=0,则这个方程可以是（）

A.（x+l）（x+2）=0B.A-2-2,v1=0

C.x2-1=0D.x2+x=0

【答案】D

【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程

的解.

根据一元二次方程的解的定义判断即可.

【详解】解：A、把工=。代入，可得a+l）（x+2）=lx2=2H0,所以x=0不是方程（x+D（x+2）=。的

根，不符合题意；

B、把x=0代入，可得/-2%+1=0-0+1=1=0，所以x=0不是方程V-2x+l=0的根，不符合题意；

C、把x=0代入，可得9-1=0-1=-1.0,所以x=0不是方程/-1=0的根，不符合题意：

D、把x=0代入，可得f+x=o+o=o,所以x=0是方程f+K=0的根，符合题意；

故选：D.

变I式I巩I固

1.（25-26九年级上.安徽芜湖•期口）能使方程=2成立的x的值可以为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过解一元二次方程x2-x=2,得到根后与选项对比.

【详解】解：・&7=2,

.•.r-v-2=0,因式分解得：（x-2）（x+l）=0,

.••工-2=0或工+1=0,

.••x=2或x=-l,

故选:C.

2.（25-26九年级上•河北保定•期口）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，

它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：V-奴-6=0的解

是（）

X-2-10123.・・

z

x-ax620026•••

A.x=-2B.x=3C.x=0或x=lD.x=-2或x=3

【答案】D

【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为r-av=6,从表格中找出使该式值为6的

%值，即为方程的解.

【详解】解：；x2-ar-6=0可化为x2-ax=6,

由表可知，当x=-2或x=3时，X2-OX=6，

二方程的解为x=~2或x=3.

故选：D.

3.（25-26九年级上•江西南昌•期口）若一元二次方程加+云+c=0中的满足痴_%+°=0,则方程

必有根（）

A.x=0B.x=2C.x=—2D.x=±2

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则

为其根，条件4，-%+c=0恰好对应x=-2时的方程值，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：•当x=-2时，代入方程得：«(-2)2+b(-2)+c=4a-2b+c=0,

・••方程必有一根为x=-2,

故选:C.

A题型07根据一元二次方程的解代入求值

典］例工精通

1.(25-26九年级上•陕西汉中•期天)已知工=。是方程-/+3工一J。的一个根，则代数式一九十3〃的值为

()

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义.利用方程根的定义，将工=。代入原方程，通过移项即可求

出目标代数式的值.

【详解】解：•.“=。是方程-Y+3x-l=0的一个根

•••-/+3。­1=0

•••-a2+3a=1

故选：A.

变］式工巩］固

1.(2025•陕西西安•一模)若工=-1是关于x的一元二次方程如2-法-2026=0的根，则的值为()

A.-2026B.-2025C.2026D.2025

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将x=-l代入方程，通过计算即可求出的值.

【详解】解：是关于X的一元二次方程/_云一2026=0的根，

二把工二一1代入方程得：ax(-l)2-/?x(-l)-2026=0,

即”+/j-2026=0,

•••。+。=2026,

故选：C.

2.(25-26九年级上•福建漳州•期天)若〃?是一元二次方程/—张+2=0的一个根，则代数式

2029+2〃/-8m为()

A.2026B.2025C.2033D.2034

【答案】B

【分析】本题考查•元二次方程的解及代数式求值.利用方程解的定义对代数式变形，再整体代入计算即

可.

【详解】解：•加是一元二次方程V-4x+2=0的一个根,

•••nf-4in+2=0»

fir-4m=-2,

:.2029+2m2-=2029+207-4/n)=2029+2x(-2)=2029-4=2025,

故选:B.

3.(25-26九年级上.四川达州•期末)若机、〃是一元二次方程f7-3=0的两个实数根，多项式

2n'-mn+2m的值是______.

【答案】11

【分析】利用一元二次方程根的定义将高次项降次，再结合根与系数的关系代入求值.

【详解】解：•"小〃是一元二次方程W-x-3=0的两个实数根，

・•・根据一元二次方程根的定义，得〃2-〃-3=0,即〃2=〃+3,

根据一元二次方程根与系数的关系，得利十〃=1,/加=-3,

将〃2=〃+3代入多项式2/-加+2/〃，得：

2(n+3)-mn+2m

=2n+6-nui+2m

=2(〃7+6

把m+n=1,mn=-3代入上式：

2x1-(-3)+6

=2+3+6

=11.

A题型08根据一元二次方程的解求另一方程的解

典！例1精”

I.(25-26九年级上•黑龙江鹤岗•月考)若一元二次方程f一31+〃7=0的一个根是I,则另一个根是()

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的解法，将x=l代入方程求出M的值，再求解方程即可.

【详解】解：将*=1代入方程得1-3+m=0,

in=2,

方程为/一3工+2=0,

化为(x-2)(x-l)=0,

故根为玉=1，%=2,

故选:B.

变I式I巩I固

I.(25-26九年级上•湖北武汉・月考)如果x=3是一元二次方程依2=。的一个根，那么该方程另一个根是

()

A.3B.-3C.0D.-1

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，直接开平方法解一元二次方程，求得9a=c•是解题的关键.

将工=3代入原方程，得到9a=c,进而即可求解.

【详解】•.“=3是关于工的一元二次方程数2的一个根，

9〃=。，

・•・原方程为/=9,

解得为=3,々=-3.

故选:B.

2.(25-26九年级上.河北保定.月考)若方程_?="的一个根为X=_3,则另一个根为工=

【答案】3

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两

边相等的未知数的值，据此把x=-3代入原方程求出。的值，再解原方程即可得到答案.

【详解】解：•.•方程的一个根为x=-3,

•••4=(-3)-=9»

二原方程为/=9,

解得x=±3,

•••原方程的另一个根为x=3,

故答案为：3.

3.(24-25九年级上呐蒙古乌兰察布•期末)若关于x的方程V一如一4=0有一个根是-1,则方程的另一个

根为.

【答案】4

【分析】本题考查一元二次方程的解、解•元二次方程.先将工=-1代入方程中求得攵=3,再解方程

炉-31-4=0即可解答.

【详解】解：•••方程/一3一4-0有一个根是一1,

.­.(-l)2+A:-4=0,解得左=3,

•••方程为v一3工一4=0,即(x+l)(x-4)=0,

解得X=-1,%=4,

二方程的另一个根为4,

故答案为:4.

I►题型09根据一元二次方程的解降次求值

典！例1精西

1.（25-26九年级」二•山东德州•期天）若。是方程/—X—1=0的一个根，则—4+2°+2026的值为（）

A.2025B.-2025C.2026D.-2026

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将/、/表示出来，然后

代人表达式化简计算，即可解题.

【详解】解：是方程M—x—1=0的根，

•••。'-4—1=0，即炉=a+l,

：.a'=a-a2=a（^a+\）=a2+a=（a+\）+a=2a+\,

+2。+2026=-（勿+1）+2。+2026=-2a-\+2a+2026=2025.

故选：A.

变I式i巩「固

I.（25-26九年级上•全国•寒假作业）已知，〃为方程f+3x—2022=0的根，那么〃丁+2病—2025加+2025的

值为（）

A.-1999B.3C.2025D.4047

【答案】B

【分析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值.根据题意有〃『+3/〃-2022=0,即

有加3+3〉-2022m=0,再整体代入计算即可作答.

【详解】解：•••〃?为％2+33一2022=0的根，

•••nr+3m-2022=0>且机工0,

•，•w?+3/?r-2022m=0，

•••W+2〃?2-2025/〃+2025

=（nr+3m2-2022m）—（m24-3m-2022—3）

=0+3=3,

故选;B.

2.（25-26九年级上•四川成都•期中）设。、夕是方程V-x-2025=0的两个实数根，则4-2027a-6+1

的值为.

【答案】2025

【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系.根据方程的解得到〃-a=2025,根据根与

系数的关系得到。+尸=1，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可.

【详解】解：因为a是方程2025=0的实数根，

所以〃-a=2025,

即12=2025+。.

因为a,B是方程/-4-2025=0的两个实数根，

所以根据根与系数的关系，«+/?=1.

.•."-2027。-尸+1