函数（压轴填空与选择）

函数专题：压轴填空与选择

2x/2sin(x+J)+4x12-x

【例11函数/（%）=的最大值为M,最小值为N则有（）

2x2+cosx

A.M-N=4B.M-N=oC.M+N=4D.M+N=0

tx*+2x+r+smx2

/（x）=------：--------fzr>0)

【变式训练】.若关于X的函数X的最大值为1/，

最小值为・\）且则实数f的值为

2.若函数/（x）=1+*jX+l+sinx在区间［一匕曷（上＞0）上的值域为则m+n等于（）

A.0B.1C.2C.4

【例2】.设函数〃x）=ln（3+H）--二,则使得〃力-/（3x+l）v0成立的x的取值

1x

范围是（）

(\nB.S，)U(-产)

A.-----,------C.D.—oo,—

I42)4J

【变式训练】..设函数/（@=201"+201.8s:,对任意百仔«-乃，1），若

/（x）＞/.（%），则下列式子成立的是（)

A.%,>x2B.X；>X：C.xi>|x2|D|%|<|引

2v

vpx+l+x)-2018-+l,则关于x的不等式

2.已知函数/(x)=2018+log20I8

/（3x+l）+/卜〉:的解集为（）

11

A.(0,+oo)B.(-<»,0)C.---,+coD.—oo,-----

44

3

―..7T31门TTCC八7Z132

3.已知aE—,—，BG—,0，且cc—I-»6^-0=，8/7+2COS/7+1=0,

222I2

则sin（£+〃J的值为（

)

八尬1.

A.0B.------C.—D.1

22

11

4.函数〃力满足r（x）=/（x）-,XG-,4-00,/(l)=-e,若存在〃£卜2,1],使

x2)

1

得/(2——e成立，则机的取值范围是()

k"V

2J_2

A.B.—,+coC.[l,+oo)D.

32f3

2016

7C+1k

5.已知函数/(x)=-----------4-COSX--------则---2f的值为().

212A:=l2017

A.2016B.1008C.504D.0

xr]

【例3]己知函数/(%)=",g(x)=ln-+-,对任意asR,存在〃E(O,+8),使得

22

/(a)=g(3，则b-a的最小值为()

A.2,\[c—1B.c"—C.2—ln2D.2+ln2

2

【变式训练】•.已知函数”%)=641送(工)=3+也(21)，若/(77)及〃()成立，则〃一"2

的最小值为()

21n2-ll+21n2l+ln2l-ln2

A.-----------B.-----------C.---------D.---------

3344

3x-l,0<x<1

2.已知函数/(x)={设〃>〃20,若/'(〃)=/(人)，则。•/’(8)的取

2r-l,x>l

值范围是()

A

A.B.C.D.

12，-3；

3.已知函数/(9=21nx-dx+:,若存在实数机,〃1,下满足n-m>2时，

成立，则实数〃的最大值为()

In5-ln3ln3In5+ln3ln4

A.-------------B.-----C.-------------D.-----

8483

【例4】.若存在两个正实数x,y,使得等式工十4(3，-2")1叮二々()，-26)10¥成立,

其中e为自然对数的底数，则正实数。的最小值为()

A.IB.—C.2D.一

2ee

【变式训练】.•对任意的实数X,都存在两个不同的实数y,使得/r(y-x)-四2.1=0

成立，则实数4的取值范围为()

2

JL+8D,1,1

（2e）（3e

2.对任意的正数，都存在唯一的正数），，使f（lny-lnx）-世2=。成立，则实数。的取

值范围为

A.{^―}D（-oo,0]B,（-8,^-C.{-^―}D.（―oo,0]

3.若对于任意的正实数X,），都有2x-2,ln2《二二成立，则实数机的取值范围为（）

\eJxme

（\\r11

A.—,1B.0,fC.（0,1）D.0,—

4.已知e为自然对数的底数，若对任意的XE：』，总存在唯一的yw[-1,1],使得

ln¥-x+l+a=）2/成立，则实数。的取值范围是（）

【例5】..已知/（x）="（x£/1）,若关于x的方程/⑴一〃外力+机7=0恰好有4

个不相等的实数解，则实数机的取值范围为（）

—JVx>0

【变式训练】..已知函数/（0={2>，若关于x的方程/（/（力）+m=0恰有两

—e二xW0

个不等实根X，%.口用〈与，则4玉+苍的最小值为（）

A.2B.4-41n2C.4+2ln2D.l-31n2

2.已知函数/（司="竺，关于x的不等式「（”―/⑴乂）只有1个整数解，则实数《的

X

取值范围是（）

A.仕In2」n31B.-In2,-ln3（I11「11、

C.-In2,-ln3D.-In2,-ln3

（23J\_23（23」|_23J

3

3.设函数/（x）=（Y—3卜"若函数G（x）=/（x）—4（x）+?有6个不同的零点，则

实数4的取值范围是（）

【例61...已知函数“DEG+IMXX—IIU:）—./,有三个不同的零点，（其中

A.B.C.-lD.1

【变式训练】...函数/（x）=ex+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2%-y-3=0对称，

P,Q分别是函数/（幻,。（幻图象上的动点，则IPQI的最小臂为（）

AYB.V5C.—D.2x/5

55

2.设函数=+（21nx-2a『，其中x>0,aeR,存在/使得[

成立，则实数〃的值是

121.

A.—B.—C.—D.1

552

3.函数/（"二戈Tn（x+2）+e”“+4ei,其中e为自然对数的底数，若存在实数小使

/（占）=3成立，则实数a的值为（）

A.hi2B.In2—1c.—ln2D.—ln2—1

4.已知函数/（五）二/一2丹“01+"川）有唯一零点，则所

111,

A.---B.—C.-D.1

232

5.已知/（力=sinx,工（x）=4'（x）,5（力=£⑴,…,九G）=力’（无），

则函数g（x）=e、[人0坨（耳一/刈7（切（0<X<20187T）的各极大值之和为（）

A.二一-一LB.10092万c.—~~LD.1009乃

1-小1-/万

alux-x2-2（x>0）

6.若函数〃4）={1,、的最大值为〃一1）,则实数〃的取值范围为（）

x+—+a（x<0）

X

A.[0,2e2]B.[0,2e3]C.（0,2e2]D.（0,2e3]

4

【例7】...设函数/（丹二山一加一包一2卜，若不等式/（力＞0恰有两个整数解，则

实数4的取值范围是（）

6+ln34+ln2)<6+ln34+ln2)P,4+ln2A(4+ln2

A.丁，6JI12，6J_C.1,6-----)--ID.1,6-------

lnx+x-4

【变式训练工.已知关于x的不等式＞ar的解集中只有两个整数，则实数。的

取值范围为

In22-ln2]Fln3-12-回FlnS+l2-1吟In3+12-吟

D.

2.设函数/（x）=e'（2x-l）-ar+*其中avl,若存在唯一的整数有，使得/（题）＜0,

则。的取值范围是()

333333

A.[r­—,1)B.r[--，—)C.[r—»一)D.[r—,1)

2e2e42e42e

3.已知函数/(x)=lnx+(。-2)x-2a+4(a>0),若有且只有两个整数不，々使得

/（xJ＞0,且/（£）＞0,则a的取值范围是（）

A.(ln3,2)B.(0,2-ln3]C.(0,2-ln3)D.[0,2-ln3)

4.已知函数〃"=二上，若关于x的不等式尸（司+5（力：＞0恰有两个整数解，则

实数。的取值范围是（）

1+ln2

l+ln3l+ln2\I+|n2中1131cfl+ln3]l+ln3

D.

3'2广[丁F.I2十J亍

5.已知函数/（工）二一1一3/一〃1V一2加，若存在唯一的正整数/，使得/（x0）＞0,则

的取值范围是

A.（0,1）B.C.■1,1）D.■1，+8）

16.（5分）函数f（x）=sina）x-VScoswx（x£R）,若f（x）的任意一个

3

对称中心的横坐标都不属于区间（M2R）,则3的取值范围是.

5

【解答】解：f(x)=sinu)x-cosu)x=2sin(a)x--)(u)>—,x£R),

33

若f（x）的任何一条充称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间（n,2n）,

则工=?L22n・Ti=n,oWl,即工Vu）Wl,

233

函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：

兀、

33兀一兀

什,或

兀,

2（on--<K2W7T--<2H

0

解得3金（1,李.

1

0

-1

故答案为:《争

16.（4分）现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4

人,从中选出4人担任“一带一路〃峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2

人担任俄语翻译，共有种不同的选法.

【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：

①、从只会俄语的3人中选出2人做俄语翻译，需要在〃既会俄语乂会英语〃的4

人中选出2人做英语翻译，

22

有C3C4=18种选法；

②、从只会俄语的3人中选出1人做俄语翻译，需要在〃既会俄语又会英语〃的4

人中选出1人做俄语翻译，选出2人做英语翻译，有C32CJC32=36种选法；

③、在“既会俄语又会英语〃的4人中选出2人做俄语翻译，剩下的2人做英语翻

译，有C/=6种选法，

6

则一共有18+36+6=60种选法;

故答案为：60.

2

17.（4分）设关于x的方程x-ax-2=0和x?-x-1-a=0得实根分别为xPx2

和X3,X4，若Xi〈X3Vx2VX4,则）的取值范围是（-1,1）

【解答】解:由x2-ax-2=0,得由X?-x-1-a=0,得a=x2-x-1.

在同一个坐标系中画出产乂-2和Y=x2-x-1的图象如图:

x

由二x2-x-l，化简得X3-2X2-X+2=0,此方程显然有根X=2,

X

.*.x3-2x2-x+2=(x+1)(x-1)(x-2)=0»解得x=-1或x=l或x=2,

当x=2,或x=-1时，y=l；当x=l时,y=-1,

由题意可知，-1<A<1.

•'•a的取值范围是（-1,1）.

16.（4分）若向量£E满足；2弓。口/二1，则戛+E|的最大值为_怨^_.

【解答】解:因为|；+42+|；工|2二2r+2铲，\+由2_|；4|2二十4

-21---2

a+ya*b+b=1»

］一—*I2।-*-♦।2

所以Ia+b|+|a-b|

28

7

[——।2I-♦-।2

即51a+b|3|a-b1,

88-i

23||2

即i；+bi4V<|故i；+bK平.

5555

故答案为：马叵.

5

14.（6分）已知椭圆的方程为号+1_二1，过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两

点，F2是椭圆右焦点，则AABF）的周长的最小值为10,z^ABF2的面积的最

大值为_2加_.

【解答】解：椭圆的方程为/十丫1二I，

94

2a=6,2b=4,c=V5»

连接AFi，BFi，

则由椭圆的中心对称性可得

+BI?版+

CAABF^=AF22+AF]+AF2AB=6+AB>6+4=1C

S=S-22=2

AABF2AAF,F-^^*^*^,

故答案为：10,2^5•

8

17.(3分)已知直线I：户kx+4(kW±4)交双曲线C:x2二一二1于A,B两点,

3

交x轴于Q,交y轴于P,若钝二人］十二人2靛，且入+入2二则『二4

【解答】解：I的方程：y=kx+4(kW±4,且kWO),设A(xi，yi),B(x2,ya)»

则Q(W0),P(0,4),

k

7PQ=Xi嬴二入2诵

,-4)二入1(X1+—,Y1)=入2(X2+—，丫2)，

4

4

同理入2=-

4+kx2

4

所以入1+入2=_4__8

4+kxi4+kx23

即2k?xiX2+5k(Xi+x2)+8=0.(*)

2

又y=kx+4以及x2--^-=1,

消去y得(3-k2)x2-8kx-19=0.

当3-k2=0时，则直线I与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-kV0.

由韦达定理rr：

19

X]+xz=8k,xix2=-2>

3-芦3-芦

代入(*)式得，

2k2(--^―)+5k(—+8=0,

3-k23-k2

解得k2=4,

故答案为：4.

9

2

10.(5分)已知X1是函数f(x)=x+l-In(x+2)的零点，x2是函数g(x)=x

・2ax+4a+4的零点，且满足lx】-X2IWl,则实数a的最小值是()

A.2-2A/2B.1-2V2C.-2D.-1

【解答】解:Vf(x)=1-1_x+l

・•・当・2VxV-1时，r(x)<0,当x>-1时，fz(x)>0,

・・・当x=-1时，f(x)取得最小值f(-1)=0,

・・・f(x)只有唯一一个零点x=-1,即xi=-1,

v|xi-x2|^1,A-2^X2^0,

・・.g(x)在［-2,0］上有零点,

(1)^A=4a2-4(4a+4)=0,即a=2±2亚，

此时g(x)的零点为x=a,

显然当a=2-2讹符合题意；

(2)若(4a+4)>0,即aV2-2后或a>2+2后，

①若g(x)在［-2,0］上只有一个零点，则g(-2)g(0)WO,

a=-1,

g(-2)〉0

g(0)>0

②若在上有两个零点，贝」

g(X)[-2,0]I-2<a<0

a<2-2近或a>2+272

解得-lWa<2-2V2.

综上，a的最小值为-1.

故选：D.

12.(5分)若存在实数x,使得关于x的不等式(，-a)lx?-2ax+a2W工(其

910

中e为自然对数的底数)成立，则实数a的取值集合为()

A.{—}B.[―,+8)C.{—}D.[―,+8)

991010

【解答】解：不等式1丁—2-2”+收工,

910

即为(x-a)2+(式■-且)工,

3310

10

表示点（x,3）与（a，-）的距离的平方不超过」-，

3310

即最大值为工.

10

由（a,—）在直线I：y=—x_t.,

33

设与直线I平行且与.身相切的直线的切点为（m,n）,

可得切线的斜率为

33

解得m=O,n=—,

3

切点为（0,1）,由切点到直线I的距离为直线I上的点

3

与曲线丫=咛的距离的最小值,

可得（O-a）2+（1-la）2=_L,

3310

解得a二二，

10

则a的取值集合为{L}.

10

故选：C.

15.（5分）在aABC中，AB=2,AC=4,cosA=l,过点A作AM_LBC,垂足为M,

8

若点N满足法3菽，则NA•希.

旦一

【解答】解：以M为原点，以BC所在的直线为x轴，以AM所在的直线为y轴,

建立如图所示的平面直角坐标系,

在△△ABC中，AB=2,AC=4,cosA二工,

8

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB*AC»cosZBAC=4+16-2X2X4X-k=18,

8

JBC=3&,

-*-sinA=^1_cos2A=^I,

由正弦定理可得AC_BC

sin/ABCsin/BAC

11

阻

，sinZABC=-------2,

3近4

VAC<BC,

・'.cosZABC=--,

4

在RQAMB中,BM=AB・cosNABC=2X返二返,AM=AB・sinNABC=2X2ZH=2ZIl.,

4242

•・•点N满足法3而，

，1而1|4航二华，

33

.・.A(0,N(0,B(-返，0),

232

.•.祚(°，叵)，元=(•返，・叵)，

623

・・・瓦・超o+YHx(■血&)=-1,

639

16.(5分)如果｛aj的首项ai=2017,其前n项和S。满足S/Sn-产-V(n£N*,

n22),则aim=3935.

22

【解答】解：,**Sn+Sn-1=~n(n22),Sn+i+Sn=~(n+1),

Sn-i-Sni=-2n-1,

即an^i+an=-2n-1,

••3n*2^'3nil=12n-3,

故an.2-an=-2(n22),

Vai=2017,fi2ai+a2=-4,

12

32=-4038,

山(ai+az+a3)+(ai+a2)=-9,

83-ai=2016.

(3101-^99+：399-397)+••.+(33-81)+d]

=(-2)X

喈4)+a3

=-98+4033=3935.

故答案为:3935.

8.（5分）已知向量本挖的夹角为空"胃=沈，则彳在石方向上的投影为（）

A.返B.返C.亚D.

2222

【解答】解：因为向量彳与E的夹角为21,血，则；在E方向上的投影为,

|^|cos-^-=-V2X—=■—；

322

故选C.

22

12.（5分）已知双曲线三•-01（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi、F2,

a2b2

且F2为抛物线y2=24x的焦点，设点P为两曲线的一个公共点，若△PFF2的面积

为36代，则双曲线的方程为（）

2

A・丁犷B.会.守j

16

【解答】解：由题意，F2(6,0),

设P(m,n),贝!j

•••△PFiFz的面积为36几，

**-yX12X|n|=36V6»-|n|=6V6»

/.m=9,

取P(9,6g则2a=«9+6)2%(函)2-«9-6)2+(函)2=6,

/.a=3,b=3V3»

13

22

・•・双曲线的方程为J-工=1,

927

故选A.

15.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中最大的面积为

3

【解答】解：由题意知，该三棱锥的直观图如图中的A-BCD所示，

则^ABCD=2~X1X2=1，S_AACD总XV2X2=Vs,WXV5X1=^7-，

SAABD_2XV2x—2~~2，

故其四个面中最大的面积为2.

11.(5分)已知函数f(x)=(x2-4x)bin(x-2)十x十1在[-1,5]上的最大值

为M,最小值为m,则M+m二()

A.0B.2C.4D.6

【解答】解：Vf(x)=(x2-4x)sin(x-2)+x+l=[(x-2)2-4]sin(x-2)

+x-2+3,

令g(x)=[(x-2)2-4]sin(x-2)+x-2,

14

而g(4-x)=[(x-2)2-4]sin(2-x)+(2-x),

.*.g(4-x)+g(x)=0,

则g(x)关于(2,0)中心对称，则f(x)在[-1,5]上关于(2,3)中心对

称.

M+m=6.

故选：D.

12.(5分)己知F为抛物线x?=2py的焦点，过点F的直线I与抛物线交于A,B

两点，li，匕分别是该抛物线在A、B两点处的切线，I1，h相交于点C,设|AF|=a,

|BF|=b,则|CF|=()

A.V^+bB.V^C.券D.^2^2

【解答】解：对