2025-2026学年江苏省南京市励志高级中学高二下学期第三次调研考试数学试题-含解析

/数学满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图中，线性相关性系数最大的是（）A. B.C. D.2.设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（）A.{5} B.{1} C.{0，5} D.{0，1}3.设随机变量服从正态分布，若，则实数（）A. B.1 C.2 D.44.设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.5.2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（）A. B. C. D.6.已知，，，则（）A. B. C. D.7.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.8.已知函数在上有最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（）A.，，是两两互斥的事件 B.事件与相互独立C. D.10.已知函数，则下列说法中正确的有（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为11.下列结论中，正确的有（）A.数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5B.若随机变量，则C.若，且，则C，D相互独立D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知的展开式中项的系数为30，则______．13.已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________．14.过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.记为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）若，求整数的最小值．16.某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：女男未参加跳绳比赛参加跳绳比赛（1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关（2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．附：其中．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC．（1）求证：点E是棱PD的中点；（2）若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值．18.已知函数（1）求在处的切线方程；（2）讨论在上的零点个数.19.在平面直角坐标系中，已知，平面内一动点满足,成等差数列，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于A，B两点.①若点的坐标为，求线段AB的长；②若的面积是面积的3倍，求直线的方程.

数学满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图中，线性相关性系数最大的是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由点的分布特征可直接判断解答过程：观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选：A2.设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（）A.{5} B.{1} C.{0，5} D.{0，1}答案：C解析：思路：利用集合相等求解.解答过程：解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C3.设随机变量服从正态分布，若，则实数（）A. B.1 C.2 D.4答案：C解析：思路：利用正态分布的对称性可得答案.解答过程：，得：.故选：C．4.设复数的共轭复数为，为虚数单位，复数在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由复数的坐标得出对应的复数，再由共轭复数的定义得出，由模长公式、复数的运算得出答案.解答过程：由题意可知则故选：B5.2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率.解答过程：记事件:甲游览机场跑道无人机灯区，事件:甲与乙不到同一赏灯区，则，因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区，基本事件的总数为，若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁，此时，不同的游览情况种数为，若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区，此时，不同的游览情况种数为，因此，，由条件概率公式可得.6.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可.解答过程：，，，又，，，，，，，，则，故选：C．7.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：把函数化成的形式，利用公式求函数的最小正周期.解答过程：因为.所以，函数的最小正周期为：.故选：B8.已知函数在上有最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解.解答过程：由函数求导可得，.设，其开口向上，对称轴为，因为函数在上有最大值，所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且，则，即两根同号，则有，解得或.当时，对称轴，则要使函数在上有最大值，则，所以，解得，此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合；当时，对称轴，此时方程的两根均为负根，则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值.综上，.故选：D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的是（）A.，，是两两互斥的事件 B.事件与相互独立C. D.答案：ACD解析：思路：根据互斥事件的定义判断A，根据相互独立事件的定义判断B，根据条件概率公式判断C，根据全概率公式判断D.解答过程：对于A：从甲罐取出一个球，取出球的颜色可能是红球、白球、黑球，显然不可能同时是两个颜色，所以，，是两两互斥的事件，故A正确；对于B：因为，，而，所以事件与不相互独立，故B错误；对于C：因为，，所以，故C正确；对于D：因为，所以，故D正确；故选：ACD10.已知函数，则下列说法中正确的有（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.若，则的最小值为D.若，则的最小值为答案：BC解析：思路：根据正弦函数的性质求出函数的对称轴与对称中心可判断A和B；根据的值域结合周期可判断C和D.解答过程：对于A，令，得，所以函数的对称轴方程为，故A错误；对于B，令，得，所以函数的对称中心为，当时，对称中心为，故B正确；对于C，因为，，且，所以，，即时取最大值，当时取最小值，所以的最小值为，故C正确；对于D，因为，所以，即当时取最大值，当时取最大值，所以当时，取最值，令，则，即，所以，即，故D错误.故选：BC.11.下列结论中，正确的有（）A.数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5B.若随机变量，则C.若，且，则C，D相互独立D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001答案：BC解析：思路：由分位数的计算方法即可判断A；由正态分布曲线的对称性即可判断B；根据条件概率公式及对立事件即可判断C；根据独立性检验即可判断D选项．解答过程：对于A，先排序：1,2,4,5,6,8,9，，第五位数据6，故A错误；对于B，，则，故B正确；对于C，，由条件概率公式得，得到，即C，D相互独立，故选项C正确；对于D，没有充分证据推断X与Y有关联，故D错误．故选：BC．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知的展开式中项的系数为30，则______．答案：##解析：思路：原式展开，设的二项式展开式通项为，分别求出、的系数可得答案．解答过程：原式，设的二项式展开式通项为，令，得的系数为，令，得的系数为，所以项的系数，得：．故答案为：．13.已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________．答案：解析：思路：根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值.解答过程：，，，，在上的投影向量为，所以，.14.过原点的直线与双曲线：交于，两点，点在上，若直线与的斜率之积为，则的离心率为______.答案：解析：思路：设过原点直线与双曲线交点关于原点对称，取双曲线上点，利用点差法得出，结合已知斜率之积为得到关系，再由双曲线离心率公式及即可求出离心率.解答过程：设，，.由在双曲线上得，.两式作差得.，，.由题意，离心率，.代入得，故.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15.记为数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）若，求整数的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据递推公式，利用构造法以及整体代换思想可得是以为首项、为公比的等比数列，从而得出结论；（2）利用分组求和法以及等比数列的前n项和求解即可.（1）已知，，，是以为首项、为公比的等比数列，．（2）由（1）可知，，，，；由，可得，为整数，的最小值为2026．16.某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：女男未参加跳绳比赛参加跳绳比赛（1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关（2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．附：其中．答案：（1）有（2）解析：思路：（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可.（2）利用分层抽样求出抽取的12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出古典概率.（1）由表格中的数据，得，所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．（2）利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人，老师甲从这人中随机选取人，记“至少有人参加跳绳比赛”为事件，则，所以至少有人参加跳绳比赛的概率是.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E是棱PD上的一点，平面AEC．（1）求证：点E是棱PD的中点；（2）若平面ABCD，，PC与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正切值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF，结合四边形ABCD为矩形可得为BD的中点，根据平面AEC可得，进而求证即可；（2）方法一：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而得到，进而得到平面PAD，在平面PAD内作，垂足为G，连接GC，可得，进而得到是二面角的平面角，进而求解即可；方法二：结合平面ABCD可得就是PC与平面ABCD所成的角，进而建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，利用法向量求解即可.（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF，四边形ABCD为矩形，为BD的中点，平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF，，又点F是BD的中点，点E是棱PD的中点.（2）方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，则就是PC与平面ABCD所成的角，故，解得．四边形ABCD为矩形，，又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD，如图，平面PAD内作，垂足为G，连接GC，则，是二面角的平面角．在直角三角形PAD中，，点E是PD的中点，，且平面PAD，平面PAD，，故，二面角的平面角的正切值为．方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，则就是PC与平面ABCD所成的角，又四边形ABCD为矩形，，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为，由，可得，则，故解得，所以，又是平面AED的一个法向量，且为锐角，故，则，即，所以二面角的平面角的正切值为．18.已知函数（1）求在处的切线方程；（2）讨论在上的零点个数.答案：（1）（2）当时，无零点；当时，一个零点；当时，两个零点.解析：思路：(1)求出切点坐标及切线斜率后即可求解(2)分