四川省泸州市合江县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题（含答案）

四川省泸州市合江县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.下列根式是二次根式的是（）.

A.V2B.4aC.V3D.2~2

2.下列各式中，属于最简二次根式的是（）

A.B.V8C.V4D.V5

3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国占代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组

数中，是“勾股数''的是（）

A.1,1,2B.1,西，2

C.3,4,5D.0.5,1.2,1.3

4.下列四边形：①平行四边形；②正方形；③矩形；④菱形.其中对角线一定相等的是（）

A.①②③B.①②③④C.①②D.②③

5.下列二次根式中能与混合并的是（）

A.V12B.V21C.4D.

6.如图是一株美丽的勾股树，其中原有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方

形G的边长是2,则A、B、C、D、E、F、G这七个正方形面积之和是（）

7.如图，在回4BCD中，。的平分线DE交BC于点E,若88=11,BE=4,则40的长为•）

8.如图，某港口尸位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航

行，“远航”号沿东北方向航行，每小时航行16海里，“海大”号沿西北方向航行，每小时航行12海里.它们离

开港口1.5小时后分别位于点Q,R处，此时两船的距离是（）

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C.30海军D.32海里

9.在数学活动课上,老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订

方案，其中正确的是)

A.测量对角线是否互相平分

B.测量两组对边是否分别相等

C.测量一组对角是否为直角

D.测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等

10.如图，在正方形中，分别以点A,B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E,连接DE,则

的度数为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

11.已知直角三角形纸片4BC的两直角边长分别是6,8,现将△ABC按如图所示那样折叠，使点A与点B重

合，折痕为0E,则OE的长是（）

C.4

12.如图，在画48。。中，48=6,.40=9,以点A为圆心，AB长为半径画弧交40于点F；以点A为圆

心，适当长为半径画弧分别交4B、，40于M、N两点；分别以点M、N为圆心，大于2例N长为半径画弧，两

弧在平行四边形内交于点G,连接4G并延长交BC于E,连接EF、BD,8。分别交AE、EF于P、Q两点，下

列结论不正确的是（）

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rD

Q

A.4E平分々BADB.四边形A8EF是菱形

C.；D.PQ=QD

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

13.若力有意义，贝卜的取值范围是.

14.菱形的一个内角是120。，边长是5cm,则这个菱形较短的对定线长是cm.

15.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1）,后人称其为“赵爽弦图由图I变

化得到图2,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中上方形A8C。，正方形EFGH,正方形的

MNKT的面积分别为S],S2,S3.若52=6,则S1+S3的值为

HD

G

F

图2

16.如图，正方形48。。中，AB=6,E是边的中点，F是正方形4B。。内一动点，且ET=3,连接EP,

DE,DF,并将aOEF绕点D逆时针旋转90。得到^OMN（点M,N分别为点E,F的对应点）.连接OV,则

线段度的最小值为

三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）

17.计算：V2xV3-V24+|2-V6|.

18.如图，在四边形ABCD中，AD/7BC,ZB=ZC.E是边BC上一点，且DE=DC.求证：AD=BE.

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AD

19.如图，在四边形48C。中，点P是对角线8。的中点，点E、F分别是48、CD的中点，AD=BC,

Z.PEF=30°,求，PFE的度数.

AEB

四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）

20.己知》=而-百，y=yfs+V3>求：

（1）砂的值.

（2）%2+y2的值.

21.某条路规定小汽车的行驶速度不得超过80km".如图，一辆小汽车在这条路的直道上行驶，某一时刻

刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为

50m.这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：lm/s=3.6km/h）

小汽车小汽车

-•C

A

检测仪

五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）

22.阅读与思考

材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理

化因式.例：V3xV3=3,（V6-A^2）（V6+V2）=6-2=4,我们称的一个有理化因式是V5,遍一金的

一个有理化因式是瓶+VI.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中

不含根号，这种变形叫分母有理化.

例.工一必一在8.8（舟匈一8（历+&）_2右।2鱼

例.而一店X而_3，瓜_a-（而_q（舟©-4-"6+"2.

请仿照材料中的方法解答下列问题：

（1）属的一个有理化因式为;

ai+au的一个有理化因式为：

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（2）将下列各式进行分母有理化：

①关；②

23.如图，矩形48co中，过对角线8。的中点O作80的垂线分别交A。，8c于点E,F,连接8E、

DF,证明：四边形EBFD是菱形.

六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）

24.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB_LBD,ED_LBD,连接AC、EC.已知AB=2,

DE=1,BD=8,设CD=x.

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）求AC+CE的最小值；

（3）根据（2）中的规律和结论，请在所给的网格中构图并求代数式乒R+&4一％）2+4的最小值.

图1图2

25.综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形力BCD内一点，^AEB=90°；将Rt△4BE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△C80

（点4的对应点为点C）,延长4E交CE'于点F,连接。E.

猜想证明：

（1）如图①，试判断四边形8&尸E的形状，并说明理由；

（2）如图②，若D4=0E,请猜想线段C尸与E,F的数量关系并加以证明；

解决问题：

（3）如图①，若=CF=2,求EF和DE的长.

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DCDC

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、血的根指数为3,是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意；

B、份中，当aVO时，不是二次根式，故此选项不符合题意；

C、6是二次根式，故此选项符合题意；

D、2—2=3=；,不含二次根号，不是二次根式，故此选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】形如“迎(aN0)”的式子是二次根式，据此逐一判断得出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】A.1二*不是最简二次根式，此项不符合题意；

B.泥是三次根式，此项不符题意；

C.V4=2,不是最简二次根式，此项不符题意；

D.逐是最简二次根式，此项符合题意；

故选：D.

【分析】

本题考杳最简二次根式的定义，解题时需对每个选项逐一验证：检查被开方数是否含分母、是否含能开得尽

方的因数，排除不符合条件的选项，最终选出符合定义的最简二次根式.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：A、因为f+12。22,所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意：

B、因为百不是正整数，所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意；

C、因为32+42=52,且都是正整数，所以这三个数是勾股数，则此选项符合题意；

D、因为0.5,1.2,1.3不是正整数，所以这三个数不是勾股数，则此选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】如果三个正整数满足较小两个的平方和等于最大数的平方，这这三个正整数就是一组勾股数，据此

逐一判断得出答案.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•平行四边形的对角线互相平分；

矩形的对角线相等且互相平分；

菱形的对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角；

正方形的对角线相等，互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；

・••对角线一定相等的是②③.

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故答案为：D.

【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形对角线的性质逐一判断即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：A、V12=2V3,不能与迎合并，故选项错误，不符合题意；

B、&I是最简二次根式，不能与夜合并，故选项错误，不符合题意；

C、■华,能与在合并，故选项正确，符合题意；

2

D、电，不能与&合并，故选项错误，不符合题意.

\33

故答案为：C.

【分析】将所给二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，只有同类二次

根式才能合并，据此逐一判断得出答案.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：根据勾股定理得到：A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；

而E,F的面积的和是G的面积.

即A、B、C、D、E、F的面积之和为2个G的面积.

VG的面积是2?=4,

:.A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3x4=12.

故答案为：C.

【分析】运用勾股定理和正方形的面积公式可得小正方形A、B、C、D、E、F的面积之和等于最大正方形G

的面积的2倍.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：•••四边形4BCD是平行四边形，

：.AD||BC,AD=BC.AB=DC,

：.^ADE=LCED,

〈BE是乙ADC的角平分线，

AZ-ADE=4COE,

J.LCED=乙CDE,

：.DC=EC=AB=11,

二•BE=4,

，BC=8E+EC=4+11=15,

：-AD=15.

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD〃BC,AD=BC,AB=CD=11,由二直线平行，内错角相

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等得NADE=/CED,根据角平分线的定义得NADE=NCDE,则NCED=NCDE,根据等角对等边得

CE=CD=11,由线段和差算出BC即可得出答案.

8.【答案】C

【解析］【解答】解：•••"远航''号沿东北方向航行，“海天''号沿西北方向航行，

・"1=Z2=45°,

:,乙RPQ=+42=90°,

・「远航”号每小时航行16海里，“海天，号每小时航行12海里，它们离开港口1.5小时，

:・PQ=16X1.5=24（海里），PR=12X1.5=18（海里），

:,QR={PR?+PQ2=V2424-182=30（海里），

故答案为：C.

【分析】根据方位角及角的构成得，RPQ=41+乙2=90。，有路程等于速度乘以时间得出PQ、PR的长，最

后利用勾股定理算出QR即可.

9.【答案】D

【解析】【解答】A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；

B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误；

C、根据一组对角是否为直角不能得出四边形的形状，故本选项错误；

D、根据对边相等可得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得出此时四边形是矩

形，故本选项正确；

故答案为：D.

【分析】利用矩形的性质：矩形的对角线相等，即可得出答案。

10.【答案】A

【解析】【解答】解:连接4E、

AE-BE-AB,

是等边三角形,

•••Z.EA3=60°»

在正方形ABCO中，AB=AD,/-ADC=/-DAB=90°,

-AE=AD,Z.DAE=30°,

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•••乙ADE=Z-AED=1(180°-30°)=75。，

Z.CDE=2ADC-Z-ADE=15°,

故答案为：A.

【分析】连接AE、BE,根据作图过程及三边相等的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，山等边三

角形的每一个内角都为60。得NEAB=60。，由正方形四边相等每一个内角都等于90。得AB=AD,

ZDAB=ZADC=90°,由角的构成求出/DAE=30。，然后根据等边对等角及三角形内角和定理求出

ZADE=75°,最后再根据角的构成可求出NCDE的度数.

11.【答案】B

【解析】【解答】解：:在中，BC=6,AC=8,zC=90°,

•'-AB=\/AC2+BC2=10，

由折叠的性质可得AO=80=448=5，/-ADE=^BDE=90°,BE=AE,

设4E=8E=x,则CE=8—x,

在RMEBC中，由勾股定理得BE?=+32,

・・・％2=62+(8-X)2，

解得％=竽，

.4.25

••AcE="J"，

故答案为：B.

【分析】先由勾股定理算出AB=10,再由折叠的性质得到AO=BD=\AB=5,Z-ADE=Z-BDE=

90°,BE=AE，设AE=8E=x,则CE=8—x,在RtZkBCE中，由勾股定理建立方程求出x,得到AE的

长，进而再在RtAAED中利用勾股定理算出DE即可.

12.【答案】D

【解析】【解答】解：由作图可得，=AE平分NBAO,故A不符合题意；

•・•四边形/1BC。为平行四边形，

：.AF||BE,

：,/-FAE=乙AEB,

TAE平分28A0,

：.LFAE=乙BAE,

：,/AFR=/RAE,

：.AB=BE=AF.

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*：AF||BE,AF=BE

・•・四边开乡ABE『足平彳亍四边形，

又FB=BE

・•・四边形4BEF是菱形，故B不符合题意；

：.AF=BE=AB=6,DF=9-6=3,

••・舒二:故C不符合题意；

•・•四边形4BEF是菱形，

，48E4=々QEA,AB||EF,

*•△FQDs&ABD>

-DF^_QD_FQ_1

，'AD~'BD~AB~3i

；・QD=^BQ,FQ=2,

・・・EQ=4，

'：AB||EF,

：.△ABPfEQP,

.BP_/IF_3

,,QP=EQ=2t

7

:・QP=^BQ,

:・PQ丰QD,故D符合题意，

故答案为：D.

【分析】由作图可得，AB=AF,AE平分4ZMO,即可判断A；由角平分线的定义结合平行线的性质得出

=推出力B="=4F,利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断B；由菱形的性质得

出4尸，BE的长，再求出。尸的长，即可判断C；证明△/GD〜△A80,得出Q0=^8Q,R?的长，再证明△

ABPEQP,得出QP=^8Q,即可判断D.

13.【答案】x>—2

【解析】【解答】解：・・♦焉有意义，

Ax+2>0,

.*.%>-2,

故答案为：x>-2.

【分析】根据二次根式为意义的条件和分式有意义的条件即可求解。

14.【答案】5

【解析】【解答】解：:菱形的一个内角是120。，

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・••其邻角为60。,

根据菱形的性质得，60。角所对的对角线与菱形的两边构成的二角形足等边二角形，

故这个菱形较短的对角线长是5cm.

故答案为：5.

【分析】根据菱形邻角互补得出其一个内角为60。，由菱形的四边相等及有一个内角为60。的等腰三角形是等

边三角形得出菱形60。角所对的对隹线与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，最后根据等边三角形三边相

等可得答案.

15.【答案】12

【解析】【解答】解：设这八个全等的直角三角形的面积都是5△，

VS2=6,

:・Si—4SA=S3+4SA=52=6,

/.Si+S3=(Si-4SA)+(S3+4SA)=64-6=12,

故答案为：12.

【分析】设这八个全等的直角三角形的面积都是5△，根据图形求出Si-4sA=S2=6,进一步求出S1+S3的

值，即可求解.

16.【答案】3V5-3

【解析】【解答】解：过点M作MP_LCD,垂足为P,连接CM,

由旋转可得：DE=DM,EF=MN=3,4EDM=90。，

在正方形4BC0中，AB=6,E为BC中点，

：-CE=^BC=3,

*：Z-EDM=90°,

:•乙EDC+Z.CDM=90。，又乙EDC+乙DEC=90°,

:•乙DEC=4COM,

在△EDC和^OMP中，

zor/?=ZLMPD

乙DEC=(CDM,

DE=DM

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:,AEDCPOMPOMS),

CD=MP=6,DP=CE=CP=3,

-'-CM=yJCP2+PM2=3V5»

VC,M位置固定，

:・CN+MN>CM,即CN4-3>3V亏，

:・CNN3遮-3,即CN的最小值为36一3,

故答案为：3V§-3.

【分析】

本题考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短/三角形三边关系.由

旋转性质得。E=DM.EF=MN=3/EDM=90。；结合正方形性质，证△EDC=△OMPQL4S),得CD=MP=

6,DP=CE=CP=3；用勾股定理算出CM=3遮，根据CN+A1NNCM,得CN之CM-MN=36一3,即

CN最小值为3西-3.

17.【答案】解：V2xV3-V24+|2-V6|

=V6-2V6+-76-2

=-2.

【解析】【分析】先根据二次根式的乘法法则、二次根式性质及绝对值性质分别计算，再合并同类二次根式即

可.

18.【答案】证明：VDE=DC,AZDEC=ZC.

VZB=ZC,

AZB=ZDEC,

，AB〃DE,

VAD//BC,

・•・四边形ABED是平行四边形.

AAD=BE.

【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定、平行四边形的定义与判定.解题核心是通过角

度关系推导平行线，再结合平行四边形定义完成证明，解题需紧扣“平行关系-平行四边形一边长相等''的逻

辑.

19.【答案】解：•・•在四边形48CD中，P是对角线BO的中点，E,F分别是48、CO的中点，

・・・PF,PE分别是△CD8与△DA8的中位线，

:・PF=』BC,PEAD,

*：AD=RC,

:.PF=PE,

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故△EPF是等腰三角形，

•・•乙PEF=30°,

：,Z-PFE=(PEF=30°.

【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、角度计算.解题关键在于利用三

角形中位线定理，得出P尸PE=^AD-,结合AD二BC的条件，推出PF=PE,证明△EPF为等腰三角

形；最后根据等腰三角形“等边对等角“，结合4PEF=30。，求出乙PFE=30。.

20.【答案】(1)解：,•%=遥—y=V5+V3

**•xy-(V5—V3)(\/54-V3)=(V§)2—(x/3)2=5—3=2

(2)解：:x=V5—V3»y=V5+V3

••x+y=(\/5—V3)+(>/5+V3)=2而，xy=2

Ax2+y2=(x4-y)2—2xy=20-4=16

【解析】【分析】(1)将字母的值代入，然后利用平方差公式展开括号，进而根据二次根式的性质化简，最后

计算有理数减法得出答案；

(2)先根据二次根式加法法则计算出x+y的值，然后根据完全平方公式将待求式子变形为(x+y)Z2xy,从而整

体代入计算即可.

(1)解：,・%=遥_百，y=V54-V3

：.xy=(V5-V3)(V5+V3)=5-3=2

(2)解：x=遥-a,y=V54-V3

Ax+y=(V5-\/3)+(>/5+V3)=2遥，xy=2

.*.x2+y2=(x+y)2-2xy=20-4=16

21.【答案】解：在中，AC=30m,AB=50m,

根据勾股定理可得8c=40m,

；・小汽车的速度为竽=20(m/s)=20x3.6(km/h)=72(km/h).

•••72km/h<80km",

；.这辆小汽车没有超速.

【解析】【分析】根据勾股定理算出BC的长，然后根据路程、速度、时间三者的关系计算出速度，与限速比

较即可得出答案.

22.【答案】(1)vi3；ai-au

⑵解：①专

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5x/15

-715x715

5V15

=~15~

邛

(2)4

4x(272+2)

=(272-2)X(2V2+2)

4(272+2)

二4

=2V2+2.

【解析】【解答】(1)解：..・旧'反=13,(m+砌(711-痴)=(92一(m)2=11-10=],

的有理化因式为VI5,Vil+国的有理化因式为VIT-V10.

故答案为：VT3：A/T1—VTo；

【分析】(1)开放性命题，答案不睡一；根据互为有理化因式的定义模仿题干给出的例子解答即可；

(2)①首先分子和分母都乘以分母的有理化因式代，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；

②首先分子和分母都乘以分母的有理化因式2或+2,再根据平方差公式及二次根式性质计算分母，最后约

分即可.

⑴解：・.・履乂闻=13,(711+710)(71!-=(Til)2-(>/Io)2=11-io=1»

的有理化因式为g,TIT+的有理化因式为JIT-VIU,

故答案为：V13；VT1-V10：

⑵解：@7=

VJL3

5x/15

-715x/15

5715

=^5"

②2&一2

4x(272+2)

=(272-2)x(272+2)

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4(272+2)

=4

=2V2+2.

23.【答案】证明：•••四边形4BCD是矩形,

AD||BC,

•••Z-ED9=乙FBO,

•・•点。是80的中点，

DO=B0,

又•・•LE0D=乙FOB,

.*.△B0F三△OOE(ASA)；

BF=DE,

•••EF1BD,且O是BD的中点,

・・・EF是BD的垂直平分线，

，BE=ED,BF=FD,

・・・BE=ED=DF=BF,

四边形E"D是菱形.

【解析】【分析】由矩形的对边平行得出AD〃BC,由二直线平行，内错角相等得NEDO二NFBO,从而可用

“ASA”证^BOF且ADOE,由全等三角形的对应边相等得BF=DE,由线段垂直平分线上的点到线段两端点的

距离相等得BE=ED,BF=FD,则BE=ED=DF=BF,从而根据四边相等的四边形是菱形可得结论.

24.【答案】解：(1)・・・BD=8,

设CD=x,

ABC=8-x,

VAB1BD,ED±BD,

AZABC=ZCDE=90o,

；・ACYE=J(8-x)2+44-Jx2+1：

(2)如图，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

过点A作AF//BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,

则AB=DF=2,AF=BD=8,EF=ED+DF=2+1=3,

22z2

所以AE=x/i4F+FF=V8+3=V73

故AC-CE的最小值为

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(3)如图所示，作BD=4,过点B作AB_LBD,过点D作EDJ_BD,使AB=1,ED=2连接AE交BD于

点C,设BC=x,则AE的长即为代数"TT+J(4—K)2+4的最小值.

图2

过点A作AF//BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,

贝i」AB=DF=l,AF=BD=4,EF=ED+DF=2+1=3,

所以AE=〃F2+“2=742+32=5，

即i+J(4一,心+4的最小值为5.

【解析】【分析】(1)设CD=x,则BC=8-x,在RsABC和RtACDE中,利用勾股定理分别表示出AC,

CE,再求和即可；

(2)若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和〉第三边知，AC+CE>AE,故当A、C、E三

点共线时，AC+CE的值最小，过点A作AF〃BD交ED的延长线于点E易得矩形ABDF，由矩形对边相

等得AB=DF=2,AF=BD=8,则EF=ED+DF=2+1=3,在RsAEF中，利用勾股定理算出AE即

可；

(3)由(1)(2)的结果可作BD=4,过点B作AB_LBD,过点D作ED_LBD,使AB=1,ED=2,连接