2025-2026学年人教A版高中数学选择性必修第三册单元测试：第八章 成对数据的统计分析

第八章成对数据的统计分析

（范围：第八章时间：120分钟分值：150分）

a().10.050.010.005().(X)1

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

选项中，只有一项符合题目要求.

].对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：3，yD，（X2，），2），，・・，

（万”初）,则下列说法不正确的是（）

A.用决定系数咫来刻画拟合效果，配的值越小，说明模型的拟合效果越

好

B.由样本数据得到的经验回归直线矣曲+£必过样本点的中心（27）

C.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

D.若变量），和x之间的样本相关系数，•=—0.9362,则变量y与x之间具

有较强的线性相关关系

2.已知呈现线性相关关系的变量x,y之间的一组数据如下表所示，则），关

于x的经验回归直线一定过点（）

0000

.1.2.3.5

2241

.11.85.080.15

A.（0.1,2.11）B.（0.2,2.85）

C.（0.3,4.08）D.（0.275,4.7975）

3.小明利用课余时间参与科学探究活动——观察蒜苗的生长，下表记录了

大蒜发芽后第4天至第8天的蒜苗高度.若用最小二乘法求得蒜苗高度），（单位:

cm）关于时间N单位：天）的经验回归方程为£=&—4.4,小明根据经验回归方程

预测，从第〃天开始蒜苗高度大于2（）cm,则〃的值为（）

时间力天45678

蒜田图度y/cm12.44.65.66.4

A.15B.16

C.17D.18

4.若y关于x经验回归方程为f=2—3.5x,则变量x增加1个单位，变量y

平均（）

A.减少3.5个单位B.增加2个单位

C.增加3.5个单位D.减少2个单位

5.下表是某厂1〜4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

月份工1234

用水量），4.5432.5

己知用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是£=

0.7KIa,贝Ua等于（）

A.10.5B.5.15

C.5.2D.5.25

6.针对中学生追星问题，某校团委对“中学生性别和中学生追星是否有关”

做了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的去男生追星的人数占男生人

数的看女生追星的人数占女生人数的主若依据小概率值a—0.05的独立性检验,

可以认为中学生性别和中学生追星有关，则调查样本中男生至少有（）

阳：万一m+b/c+sg+os+Q.

A.12人B.11人

C.10人D.18人

7.某种微生物的繁殖速度），与生长环境中的营养物质浓度X相关，在一定

条件下可用模型y=21gx进行拟合.在这个条件下，要使），增加2个单位，则应

该（）

A.使x增加1个单位

B,使x增加2个单位

C.使x增加到原来的2倍

D.使工增加到原来的10倍

8.关于变量R,y,下列说法正确的有（）

①若样本相关系数，＞（），则x增大时，），也相应增大；

②若样本相关系数，＜（），则x增大时，），也相应增大；

③若样本相关系数，・=1或一1,则犬与），的关系完全对应（函数关系），散点

图中的各点均在一条直线上.

A.①@B.②③

C.D.①②③

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得。分.

9.已知在最小二乘法原理下，求得y关于工的经验回归方程为£=—（）.7x+

10.3,且变量x,丁之间的相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）

X

02

y

A.变量x,），之间呈正相关关系

B.可以预测，当x=20时，£=3.7

C.〃?=4.7

D.经验回归直线£=-0.7工+10.3必过点（9,4）

10.下图是某小区2023年8月至2024年8月间，当月在售二手房均价（单

位：万元/n?）的散点图.（图中月份代码1〜13分别对应2023年8月〜2024年8

月）

,当月在售二手房均价"（万元/ID?）

1.04.・.・・・

1.02■••,

1.00•,

0.98・,

0.96

0.94-

1234567891（）II1213月份代码工

根据散点图选择），=。+八&和、=。+小。X两个模型进行拟合，经过数据处

理得到的两个经验回归方程分别为£=0.9369+0.0285也和£=0.9554+0.030

61nx,并得到统计量用的值:

经验回归方

£=0.9369+0.0285也£=0.9554+0.03061nx

程

R20.9230.973

则下列说法正确的是（）

A.当月在售二手房均价），与月份代码x呈负相关关系

B.由£=0.9369+0.0285G预测2027年8月在售二手房均价约为1.1364

万元/m2

C.曲线£=0.9369+0.0285也与£=0.9554+0.03061nx都经过点（7,7）

D.模型£=0.9554+0.03061nx的拟合效果比模型£=0.9369+0.0285也的

拟合效果好

11.某市通过随机询问100名居民能否做到“光盘”行动，得到如下的2X2

列联表，并进行独立性检验，则（）

单位：名

光盘

性别合计

不能做到能做到

男45b55

女C15

合计100

A.。=30

B.零假设为能否做到“光盘”行动与性别有关

C.冷3.841

D.依据小概率值。=0.1的独立性检验，可以认为该市居民能否做到“光盘”

行动与性别有关

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.对于经验回归方程£=源+2,当犬=3时，对应的〉的估计值是17,当x

=8时，对应的y的估计值是22,那么，该经验回归方程为；根据

经验回归方程，当工=时，y的估计值是38.

13.某旅行社为调查市民对人文景观的态度（喜欢或不喜欢）是否与年龄有

关，随机调查了55名市民，所得数据如下表所示.

单位：名

态度

年龄合计

喜欢不喜欢

大于40岁20525

20岁至40岁102030

01+302555

根据小概率值«=0.005的独立性检验，推断出市民对人文景观的

态度与年龄有关.（填“能”或“不能”）

14.对于数据组（刘，）7）（/=1,2,…，〃），如果由经验回归方程得到的对应自变

量方的估计值是:那么将），,•一%称为对应点8,y）的残差.某商场为了给一种

新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下所示数据.

单价/元8.28.48.68.8

销量），/件848378m

根据表中的数据，得到销量y（单位：件）与单价x（单位：元）之间的经验回归

方程为£=—2（4+>据计算，样本点（8.4,83）处的残差为1,则〃2=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

15.（13分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差.在成绩统计中，我们

把某个同学的某科考试成绩与该科平均分的差叫某科偏差（实际成绩一平均分=

偏差）.在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差M单位：分）与物理

偏差），（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科

成绩偏差数据如下表所示.

学生序

12345678

号

数学偏

211

32

差X05351018

物理偏

63310———

差），.5.5.5.5.50.52.53.5

⑴若X与y之间具有线性相关关系，求），关于”的经验回归方程;

（2）若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由⑴的结论

预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.

88

附：>"=324,力七1256,

1=1!=1

£到一〃xy

j=I

经验回归方程£=源+1中，b=------------,a—y—bx.

n一

2十^x_2x-nx,->

ri

16.（15分）长跑对于培养人们克服困难、磨炼刻苦耐劳的顽强意志具有良好

的作用，特别是对那些冬季怕冷、爱睡懒觉、不愿锻炼的人起到积极的促进作

用.某校开展冬季长跑活动，为了解学生对冬季长跑活动是否感兴趣与性别是否

有关，某调查小组随机抽取该校100名学生进行问卷调查，根据所得数据制成如

下2X2列联表：

单位：人

冬季长跑活动

性别合计

感兴趣不感兴趣

男8

女32

□1180100

(1)完成上面的2X2列联表，依据小概率值。=0.1的独立性检验，能否认为

学生对冬季长跑活动是否感兴趣与性别有关联?

(2)若不感兴趣的男生中恰有3名高三学生，现从不感兴趣的男生中随机选

出3名学生进行二次调查，记选出的学生中高三学生的人数为X,求X的分布列

与数学期望.

附：/=讲炭篇果而坛‘其中"=〃+b+c+a

17.(15分)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、

乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

单位；件

品级

车间合计

优级品八QT枚S口nn不合格品

甲车间2624050

乙车间70282100

96522150

(1)填写如下列联表:

单位：件

品级

车间

优级品非优级品

甲车间

乙车间

依据小概率值［=0.05的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品的优级品

率存在差异？依据小概率值。=0.01的独立性检验，能否认为甲、乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,设万为升级改造后抽取

的〃件产品的优级品率.如果万“+L65小守，那么认为该工厂产品的优

级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造

后，该工厂产品的优级品率提高了？(洞心12.247)

---------------------

叫.元(a+3(c+0(a+c)S+J).

000.

.050.010()01

3610

a.841.635.828

18.(17分)某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究,

得到相应的试验数据:

步频x/s0.280.290.300.310.32

步长y/cm909599103117

(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出)，关于K的经

验回归方程，并利用经验回归方程预测，当步长为80cm时，步频约是多少？

(2)记&・=，-)>=»♦一其中v为观测值，y为预测值，已为对应(切》)

的残差，求⑴中步长的残差的和，并探究这个结果是否对任意具有线性相关关

系的两个变量都成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

55

参考数据：£V=0.451,8中•=151.82.

Z⑴-x)(>'/-y)

参考公式：b=-----------------------,a=y-bx.

£3-；)2

i=\

19.(17分)某工厂有25周岁以.卜.(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人

200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层随机抽样的方

法，从中抽取了10()名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人

年龄分为“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”两组，再将两组工人的

日平均生产件数分为5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以

统口，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到

1名“25周岁以下组”工人的概率;

(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据己知条件

列出2X2列联表，并依据小概率值。=0.1的独立性检验，分析“生产能手与工

人所在的年龄组”是否有关.

第八章成对数据的统计分析

（范围：第八章时间：120分钟分值：150分）

a().10.050.010.005().(X)1

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的

选项中，只有一项符合题目要求.

1.A解析：对于A,用决定系数/?2来刻画拟合效果，R2的值越接近］,

说明模型的拟合效果越好，错误.对于B,由样本数据得到的经验回归直线（=合

五十a必过样本点的中心（x,y）,正确.对于C,残差平方和越小的模型，拟合

效果越好，正确.对于D,H越接近1,变量y与1之间的线性相关程度越强，

正确.故选A.

2.D解析：经验回归直线一定过点（三，7）,通过题表中的数据计算得；

=0.275,）=4.7975,易知选D.

3.D解析：由题表中数据得x=6,y=4,代入方程），=〃x—4.4,解

得£=1.4,

则经脸回归方程为Q=1.4X-4.4.

令1.以-4.4>20,解得x>17.4.因为x£N*,所以x》18.

故选D.

4.A解析：由经验回归方程可知£=—3.5,则变量x增加1个单位，变量

y平均减少3.5个单位.

_r-..—1+2+3+4—4.5+4+3+2.5

5.D解析：r因为x——2.5,v==3.5,所以

3.5=-0.7X2.5+l,解得1=5.25.

6.A解析：设男生人数为x,依题意可得如下2X2列联表：

单位：人

性别追星合计

是否

X5x

男X

6~6

女XXX

362

X3x

合计X

2~2

若依据小概率值a=().()5的独立性检脸，可以认为中学生性别和中学生追星

3x(x2_5x2

2136-183xX,

有关，则/-3.841.由~—=谈23.841及5，机为整数，可知x最小

oZO

x'2'2'x

可取12,所以男生至少有12人.故选A.

7.D解析：设『的增加量为△)，=)“一"，工的增加量为Ax=xi—X2,

故可得Ay=21gxi—21gX2=21^=2,解得曾=10.

故要使得y增加2个单位，x应增加到原来的1()倍.故选D.

8.C解析：若r>0,则两个变量正相关，力增大时，y也相应增大，故①

正确.若r<(),则两个变量负相关，x增大时，)，相应减小，故②错误.但越接近

1,表示两个变量相关性越高，仍=1表示两个变量有确定的关系(即函数关系),

故③正确.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选

错的得0分.

9.ABC解析：对于A,由x与y的经脸回归方程，可知金=-0.7<0,

所以变量x,y之间呈负相关关系，故A错误；

对于B,当工=20时，y=-0.7X20+10.3=-3.7,故B错误；

.1<,«-j.।,।——6+〃[+3+2]1+机.——

对于C,由题表中数据可知x=9,y=----------------=一^-，由点(工，V)

必在经验回归直线上，得口y=-0.7X9+10.3,解得m=5,故C错误;

对于D,因为^=5,所以亍=且押=4,所以经验回归直线必过点(9,4),

故D正确.故选ABC.

1().BD解析：对于A,由题图可知散点从左下到右上分布，所以当月在

售二手房均价y与月份代码X呈正相关关系，故A不正确；对于B,令x=49,

得£=0.9369+0.0285X^49=1.1364,所以可以预测2027年8月在售二手房均

价约为1.1364万元/m\故B正确；对于C,非线性回归曲线不一定经过点(1,

7),故C错误；对于D,R2越大，模型拟合效果越好，0.923V0.973,故D正

确.

11.AD解析：由题可得〃=45,/?=1(),c=30,d=15,则〃+力=55,c

+d=45,〃+c=75,力+4=25,。4=675,反=300,n=100.

零假设为Ho:能否做到“光盘”行动与性别无关.

，100X(675-300)2

计算可付汇=55X45X75X25=3.03°.

因为mi=2.706V3.030,

所以依据小概率a=0.1的独立性检验，可以认为该市居民能否做到“光盘”

行动与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.1.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.y=x+1424解析：把(3,17),(8,22)代入经验回归方程得

AAA

3。+。=17,

解得彳〃=1,

AAA

8〃+。=22,。=14.

所以经脸回归方程为£=x+14.

令x+14=38,得x=24.

13.能解析：零假设为加：市民对人文景观的态度与年龄无关.由题表

中数据计算可得大力曾告官：：［。)「11.978>7.879=xo.oo5,根据小概率值

a=0.005的独立性检验，我们推断从不成立，即认为市民对人文景观的态度有

关，此推断犯错误的概率不大于0.005.

14.75解析：根据样本点(8.4,83)处的残差为1,得83-(-20X8.44-^)

A

—1,得〃=250,

A

所以y=-2(k+250.

—8.2+8.4+8.6+8.8—84+83+78+m245+m」一

工=--------4-------=8'>,=------4------=-4—，由)，=一

207+250,得根=75.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

15.

解：(1)由题意可得，

—15

x=QX[204-15+134-34-24-(-5)4-(-10)+(-18)]=T,

——19

y=6义[6.5+3.5+3.5+1.5+0.5+(—0.5)+[—2.5)+(—3.5)]=3，

oo

I256-8X

-9151

X=---X-=-

所以a=y8422

故经脸回归方程为Q=甲,+].

(2)由题意，设该同学的物理成绩为公，则物理偏差为G一91.5.

而数学偏差为128—120=8,所以①一91.5=；X8+J,解得口=94.

所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分.

16.

解：(1)根据已知数据可补全2X2列联表如下：

单位：人

冬季长跑活动

性别合计

感兴趣不感兴趣

男48856

女321244

合计8020100

零假设为Ho:学生对冬季长跑活动是否感兴趣与性别无关.

,士0100X(48X12-8X32)72

由表中数据计算得/=-56x44X80x20^2.597<2.7O6=xo.i,

所以依据小概率值<z=0.1的独立性检脸，没有充分证据推断加不成立，即

可以认为学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别无关.

(2)由题知X的所有可能取值为0,1,2,3,

因为"=0)*4q/X=尸詈/4,p(x=2)=等点

,150X(26X30—24X70)2

可付r=-50X100X96X54

因为xo,o5=3.841<4.6875<6.635=xo.oi,

所以依据小概率隹a=0.05的独立性检险，推断Ho不成立，即可以认为甲、

乙两车间产品的优级品率存在差异，此推断犯错误的概率不超过0.05.依据小概.

率值。=().01的独立性检验，没有充分证据推断“o不成立，因此可以认为Ho成

立，即认为甲、乙两车间产品的优级品率无差异.

(2)由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为

得=0.64,

用频率估计概率可得p=0.64.

又因为升级改造前该工厂产品的优级品率〃=0.5,

/().5X(1—()S0.5

则义心0.5+1.65X

p+1.65=0.5+1.65V15012.247

口.567,

可知万＞p+1.65'/"。〃",

所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

18.

__15__15

解：(1)x=52U=().3,y=5&=100.8,

/=!/=1

5__

£到一5XxXy

A/=lA

b=------：-----------------=620,。=100.8—620X0.3=-85.2,

-5x2

产।

所以经验回归方程为?=620x-85.2.

将)，=80代入得80=620x-85.2,解得炉^0.27,所以当步长为80cm时,

步频约是0.27s.

(2)由(1)可知)=620X0.28—85.2=88.4,♦=90—88.4=1.6：

y2=620X0.29-85.2=94.6,a=95—94.6=0.4;

AA

户=620X0.30-85.2=100.8,依=99—100.8=-1.8;

AA