对数【八大题型】-人教A版高中数学必修第一册（原卷版）

专题4.3对数【八大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型1对数的概念判断与求值】...............................................................2

【题型2指数式与对数式的互化】...............................................................2

【题型3对数的运算性质的应用】...............................................................3

【题型4运用换底公式化简计算】...............................................................4

【题型5指、对数方程的求解】.................................................................4

【题型6带附加条件的指、对数问题1..............................................................................................................5

【题型7运用换底公式证明恒等式〕.............................................................6

【题型8对数的实际应用】......................................................................7

A举一反三

【知识点1对数的概念】

i.对数的定义、性质与对数恒等式

(1)对数的定义：一般地，如果4、=%(〃>0,且在1)，那么数x叫做以〃为底N的对数，记作x=log“N,

其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)对数的性质：

①log“l=0,Iog"4=l(〃>0,且存1),负数和。没有对数.

②对数恒等式：N=N(N>0.>0,且启1).

(3)对数与指数的关系：

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当〃>0,且在1时，4、=NCx=log.N.

用图表示为：

骞值真数

II

a1=No=x

[底数1

指数对数

2.常用对数与自然对数

名称定义符号

常用对数以1。为底的对数叫做常用对数logioN简记作IgN

以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e

自然对数log。N简记作MN

戏.71828

【题型1对数的概念判断与求值】

【例1】（23-24高一上•全国•课后作业）有下列说法：

①以10为底的对数叫作常用对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以e为底的对数叫作自然对数：

④零和负数没有对数.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式（24-25高一上•全国,随堂练习）对数log（a+3）（5-Q）中实数〃的取值范围是（）

A.（-oo,5）B.（-3,5）C.（-3,-2）U（-2,5）D.（-3,+8）

【变式1-2]（23-24高一上•江苏宿迁•期中）在下列四个命题中，正确的是（）

A.若M=N则logaM=logaMB.若logaM=logaN，则用二可；

22

C.logaM=loga/V,则时=/7；D.若时=N,则log.M?=logaN?.

【变式1-3]（23-24高一上・贵州贵阳•阶段练习）使式子log（3x-i）（2-X）有意义的X的取值范用是（）

A.x>2B.-<x<2C.』V%V2且“二D.xV2,

333

【题型2指数式与对数式的互化】

【例2】（24-25高三上・江苏南京•开学考试）己知谟=4,loga3=y,则谟+、=（）

A.5B.6C.7D.12

【变式2-1]（23-24高一上.新疆乌鲁木齐•期末）将log30.81=》化成指数式可表示为（）

A.3X=0.81B.-81=3C.3081=xD.0.813=x

【变式2-2]（23-24高二下•北京东城•期末）已知2a=3,log45=b,则2。-2b的值为（）

S3

A.15B.-C.-D.-2

35

【变式2-3]（24-25高三上•江苏南通•阶段练习）已知Q>0—>0,log9Q=logi2/）=logi6（Q+b），则”

（）

AdB.在匚C.工D.匹匚

2222

【知识点2对数的运算】

1.对数的运算性质

如果公>0,且a*，M>O,N>O,〃£R,那么我们有:

运算数学表达式自然语言描述

正因数积的对数等于同一底数的各因数的

积的对数log,,(MN)=logM+log"N

u对数的和

两个正数的商的对数等于同一底数的被除

商的对数

logu—=log„M—lugaN数的对数减去除数的对数

正数基的对数等于晶指数乘同一底数的基

基的对数logaM"=nlog,M

的底数的对数

2.对数的换底公式及其推论

（1）换底公式：设公>0,且g1,c>0>且»b>0,则log„/)=.

log,。

(2)换底公式的推论：

①log“h•log〃a=l(a>0,且时1力>0,且01)；

②log。6-log/,c•logcJ=log泡(〃>0,且存I/>0,且厚l,c>0,且d1,办0)；

③log","="log，(q>0,且

3.对数运算的常用技巧

（I）在对数运算中，先利用哥的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数基的形式，使靠的底数最简,

然后用对数运算法则化简合并.

（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数

的积、商、箱再运算.

（3）指对互化：=N0/）=bg"N（a>0,且际1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应

注意互化.

【题型3对数的运算性质的应用】

【例】高二下.湖南邵阳期中）

3（23-24化简(log43+log83)(log32+log272)=()

【变式3-1］（24-25高一上•上海期中）下列结论中，不正确的是（）

A.IgMn>0)B.IgVM=llgM(M>0)

C.lgM-n=^lgM(M>0)D.lgVM^=^Ig.M(M>0)

【变式3・2】（23-24高二下.山西长治.期末）已知函数w（x）=lg含，则9G）+0（：）+-+0（5）=（）

A.1B.-1C.IgllD.-Igll

,02

【变式3-3］（23-24高二下•天津滨海新•期末）计算Ig5+7^+log23-log94+lg2的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【题型4运用换底公式化简计算】

【例4】（24-25高一上•全国•课后作业）设log83=p,log35=q,则lg5等于()

A.p2+q2R.g(3p+2q)

3Pq

cD.pq

,l+3pq

【变式4-1］（23-24高二下.天津河东•期末）若*=6,y=logJ，则x+2y的值是（）

A.3B.log23C.8D.-3

【变式4-2］（23-24高一下.云南曲靖.阶段练习）若也2=。,108=3,则1082415=（）

人b-ab+1—a万b+1—acb-a

A・-----DB・--------------C・------D.-7

2a+b2a+b3a+b3a+b

【变式4-3］（24-25高一上•全国,课后作业）计算log89xlogglOxlogiollx...xIog3i32的结果为（）

A.4B.-C.-D.-

345

【题型5指、对数方程的求解】

［例5］（24-25高三上•浙江♦开学考试）方程log?%=log6x•logN的实数解有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式5-1］（24-25高一上•上海•随堂练习）设方程。群）2-52-3=。的两实根是。和江则log的+\ogba

等于（）

A.1B.-2

C.--D.-4

3

【变式5-2］（23-24高一・全国•随堂练习）已知小b是方程2。」）2—31僦+1=0的两个实数根,求下列

各式的值：

(2)logab+\ogba.

【变式5-3］（23-24高一上•上海,假期作业）设关于3的方程lg2%-Igx2+3p=0的两个实根分别是a,/?.

（1）求实数p的取值范围；

（2）求log）+log8a的取值范围.

【题型6带附加条件的指、对数问题】

【例6】（24-25高一上•全国•课后作业）已知logy=a,log103=b.

⑴求logio72,log104.5；

（2）若logio》=a+b—2,求x的值.

【变式6-1］（24-25高一上•上海,课堂例题）⑴设3a=妙=36,求£的值;

⑵己知3a=5》=c,且/旨2,求c的值.

【变式6-2］（24-25高一上•上海•课后作业）已知210g2（x-3y）=log2%+log2y+2,求log27：的值.

【变式6-3］（23-24高一上.湖北荆州.期末）（1）化简求值：0+（焉一提+1；

(2)已知％=logak,y=logbZc,z=logck,kwl,且Xy+yz+%z=0,求abc.

【题型7运用换底公式证明恒等式】

【例7】（23-24高一・全国・随堂练习）已知2、=3，=12201,求证：

xyz

【变式7-1](23-24高一•全国•课后作业)证明:

(1)\ogab•log*•logca=1；

n

(2)logamb=£logab.

【变式7・2】（23-24高一下.上海.课后作.业）已知在△4BC中，4=90°,角A,B,C所对应的三条边长

分别为a,b,c.求证：log（d+c）a+log（c_d）a=21og（d+c）a-log（c_d）a.

【变式7-3］（23-24高一.江苏.课后作业）设小〃均为不等于I的正数，利用对数的换底公式，证明:

（1）logab=

°logfca

m

（2）logflnb=^logrtb（THG/?,neRfn0）.

【知识点3对数的实际应用】

1.对数的实际应用

在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数

学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

（1）建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

（2）建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.

【题型8对数的实际应用】

【例8】（24-25高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗

星的星等与亮度满足叫-Hi?=2.5（lg%-IgE）其中星等为双的星的亮度为&（i=1,2）.已知“河鼓二”

的星等约为0.75,“天津四”的星军约为1.25,“河鼓二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是（）

（注：结果精确到0.01，当忱|较小时，10、《1+2.3%+2.7%2）

A.1.56B.1.57C.1.58D.1.59

【变式8-1］（23-24高二下•辽宁本溪・期末）已知一种物质的某种能量N与时间t的关系为t=In生，其中机

是正常数，孔是大于1的正整数，若经过时间G，该物质的能量由N减少到3,再经过时间£2,该物质的能量

由?减少到；，则（）

No

A.t2=