高一数学 第一课时 直线与平面垂直的判定

8.6.2直线与平面垂直

第一课时直线与平面垂直的判定

课标要求1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，

并加以证明.2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.3.理解直

线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题.

【引入】在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与

地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线

与平面垂直的形象.正因为日常生活中有许多线面垂直的关系，所以，今天我们

有必要对线面垂直做进一步的研究.

一、直线与平面垂直的定义

探究1如图，在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子3C,随

着时间的变化，影子8C的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？那么与不

过点B的任意一条直线夕。的位置关系又如何呢？

提示始终保持垂直.与夕。也垂直，即可得到旗杆48与地面上的任意一条直线

都垂直.

探究2在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论

推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？

提示可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

【知识梳理】

育线与平面垂宜

(1)定义：如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,那么直线/与平面a互相

垂直，记作山.

(2)有关概念

垂线直线/叫做平面。的垂线

垂面平面a叫做直线/的垂面

垂足直线与平面唯一的公共点

过一点作平面的垂线，该点

垂线段

与垂足间的线段

点到平面的

垂线段的长度

距离

温馨提示(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义

语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.

(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.

例1下列命题中，正确的序号是.

①若直线/与平面a内的无数条直线垂直，贝

②若直线/与平面a内的一条直线垂直，贝

③若直线/不垂直于平面a,贝b内没有与/垂直的直线；

④若直线/不垂直于平面a,则a内也可以有无数条直线与7垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

答案④⑤

解析当直线/与平面a内的无数条平行直线垂直时，/与a不一定垂直，所以①

不正确；

当/与。内的一条直线垂直时，不能保证/与平面2垂直，所以②不正确；

当/与a不垂直时，/可能与a内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正

确；

过一点有且只有一条直线垂直于巳知平面，所以⑤正确.故填④⑤.

思维升华1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.

实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直

线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一

条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.

2.由定义可得线面垂直二线线垂直，即若。_La,bua,则

训练1（多选）下列说法，正确的是（）

A.若直线/垂直于a,贝］直线/垂直于a内任一直线

B.若直线/垂直于平面方贝I"与平面a内的直线可能相交、可能异面、也可能平

行

C.若〃〃4aua,/±a,则/_L力

D.若Q_L6,bA-（/.y则〃〃a

答案AC

解析由线面垂直的定义知，A正确；

当/_La时，/与a内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确

的；

而D中，。可能在a内，所以D错误.

二、直线与平面垂直的判定定理及应用

探究3数学实验1：将一张矩形纸片沿对折后略为展开，竖立在桌面上，我

们可以观察到折痕AB与桌面垂直.如图所示：

CA

DB

数学实验2：如图，将一张矩形纸片沿48对折后略为展开，使。8,8户在桌面

内，观察折痕44还与桌面垂直吗？

提示不垂直.

探究4对比两个数学实验，探究直线与平面垂直的充分条件.

提示直线与平面内两条相交直线垂直.

【知识梳理】

直线与平面垂直的判定定理

文字语如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那

么该直线与此平面垂直

符号语

/wca,nca,m_Q_n=P,Um,/±w=>/±a

—T-.

N

图形语石

温馨提示(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此

处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也

不能判断直线与平面垂直.

⑵要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交

直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有无交点，这是无关

紧要的.

例2(链接教材P152练习T2)如图，在△43C中，4cB=90。,S/_L平面

ABC,力。_LSC于点。，求证：平面S5c.

证明因为N4C8=90。，

所以8C_L4C,

又S/J_平面48C,8Cu平面48。，

所以S4_LBC,

又力C*nS4=4,S4u平面力Cu平面sqC,

所以平面SAC,

因为力。u平面S力C,所以8CJ_4D

又SC上4D,SCCBC=C,SCu平面SBC,BCu平面SBC,

所以平面SBC.

思维升华1.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直;

(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；

(3)根据判定定理得出结论.

2.平行转化法(利用推论)证明线面垂直

(\)a//b,a；(2)夕〃/?,a_La=>〃_L£.

训练2如图所示，氐△43C所在平面外有一点S,且S/=S3=SC,点。为斜

边力。的中点.

⑴求证:SQ_L平面/BC；

(2)若4B=BC,求证：5。，平面%。.

证明(1)・・・S/=SC,。为力。的中点，

：.SDA.AC.

在中，AD-DC-BD,

又SA=SB,:.△ADS/4BDS,

:・/SDB=/SDA,：.SDA.BD.

又ASBD=D,AC,8Ou平面48C,

・・・S0_L平面48c

(2y：AB=BCfD为AC的中点、,

：.BDYAC,又由(1)知SZ)_L6。.

又・.・SZ)ri4C=O,SD,/Cu平面S4C,

平面SAC.

三、直线与平面所成的角

探究5当一支铅笔一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成角

逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成角怎样定义？

提示铅笔和它在桌面上的射影所成的角.

【知识梳理】

直线和平面所成的角

有关概念对应图形

一条直线/与一个平面。相交,但不与这个平//

斜线/A/0

面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线*

/

斜足斜线和平面的交点/叫做斜足

过斜线上斜足以外的一点P向平面仪引垂线

射影P0,过垂足0和斜足A的直线A0叫做斜线

在这个平面上的射影

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这

直线和平面条直线和这个平面所成的角.

所成的角规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是笙；一

条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是更

取值范围直线与平面所成的角0的取值范围是0。忘心90。

温馨提示（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在平面上的射

影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.

例3（链接教材P152例4）如图，在正方体力8。。-4181G。中，求直线48和

平面所成的角.

解如图，连接8G,BG与81c相交于点O,连接40.

设正方体的棱长为&

因为45l_L8iC],A\B\A.B\B,BTCTCBIB=B、,5）CI,S8u平面BCCI囱,

所以481_L平面BCCB,

所以4B_L3G.

又因为5c_L5iC,4BiCBC=Bi,A、B】,8Cu平面小QCB,

所以BG_L平面A\DCB\,

所以小。为斜线AxB在平面小。CBi上的射影，NB40为A\B和平面4DCB、

所成的角.

在RtZ\4山。中，4TB=2a,B0='

2

所以BO=：4B.

所以/8小。=30。，

所以直线44和平面4OCS所成的角为30。.

思维升华求直线与平面所成角的一般步骤

⑴作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂

线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已

知量有关，才能便于计算.

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.

(3)计算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算.

训练3如图所示，在中，斜边的V7=5,它在平面月3。上的射影月3

长为4,NMBC=60。,求A/C与平面C48所成集的正弦值.

解由题意知4是〃在平面48。上的射影，

平面48C,

・"UC在平面上的射影为4C,

ZMCA即为直线与平面C45所成的角.

又•・•在中，

BM=5,ZMBC=60%

：.MC=BMs\nNA/3C=5sin60°

=5X='.

22

在Rt/XMAB中，

MA=MB2—AB1=52—42=3.

在RtZ\M4c中,

./MA_323

sin/LMCA——工

MC5c35

2

即A/C与平面08所成角的正弦值为2/

【课堂达标】

1.（多选）若直线/与平面。垂直，则下列说法正确的是（）

A.直线I与平面a内的所有直线都垂直

B.在平面a内存在与直线I异面的直线

C.在平面a内存在无数条直线与直线/相交

D.在平面a内存在与直线/平行的直线

答案ABC

解析在平面a内不存在与直线/平行的直线，故D错误.

2.若三条直线04OB,OC两两垂直，则直线04垂直于（）

A.平面OABB.平面0AC

C.平面OBCD.平面ABC

答案C

解析・・・。4_1_。8,OALOC,08noe=。，OB,OCu平面06C,

・・・CU_L平面OBC.

3.（多选）如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面

垂直的是（）

A.三角形的两边B.梯形的两边

C.圆的两条直径D.正六边形的两条边

答案AC

解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于A,C图形所在的平面，

对于B,D图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一

定垂直.

4.如图所示，在三棱锥产一N3C中，4_L平面力BC,PA=AB,则直线与平

面力所成角的度数为

p

答案45°

解析因为平面W3C,

所以斜线PB在平面45c上的射影为AB,

所以N尸84即为直线尸8与平面48c所成的角.

在中，NB4P=90。,PA=AB,

所以/尸氏4=45。，

即直线PB与平面48c所成的角等于45°.

------------------------课时精练------------------------

一、基础巩固

1.己知直线〃?，〃是异面直线，则过直线〃且与直线〃7垂直的平面（）

A.有且只有一个B.至多有一个

C.有一个或无数个D.不存在

答案B

解析设过〃7的平面为夕，若〃_1_彼，则〃_!_〃?，

故若m与n不垂直，则不存在过tn的平面夕与n每直，

故过机与〃垂直的平面至多一个.

2.空间中直线/和三角形的两边/C,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三

边48的位置关系是（）

A.平行B.垂直

C.相交D.不确定

答案B

解析由于直线/和三角形的两边力C,同时垂直，而这两边相交于点C,所

以直线/和三角形所在的平面垂直，

又因三角形的第三边4B在这个平面内，

所以LL/8.

3.如图所示，如果MC_L菱形48co所在的平面，那么与8。的位置关系是

A.平行B.垂直相交

C.垂直但不相交D.相交但不垂直

答案C

解析连接4C(图略)，因为48co是菱形，所以8O_L4C

又MC_L平面48CQ,BDu平面4BCD,则8D_LMC,

因为4CG/C=C,且4C,"Cu平面/MC,

所以a)_L平面

又M4u平面4MC,所以M4_L80,

显然直线MA与直线BD不共面，

因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.

4.如图，在正方形力8CQ中，E,尸分别为8C,CQ的中点，H为EE的中点,

沿4E,EF,E4将正方形折起，使8,C,。重合于点。，则在四面体/I。七/

中，下列说法中正确的是()

BE

A/"J_平面0EFB.40JL平面0EF

—平面0EFD.力/_L平面0EF

答案B

解析•・•在原正方形48C0中，ABLBC,ADVDC,BC1CD,

・••折叠后力O_LOE,AOYOF,

又OECOF=O,

・・・40J_平面0EE故B正确；

A

如图，连接因为过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，

且4E,AF,力，均不与4。重合，

:・AE,AF,4H均不与平面。痔垂直，

故A,C,D错误.

5.在正三棱锥夕一力8。中，48=3,PA=2,则直线以与平面力所成角的大

小为（）

A.30°B,45°

C60°D75°

答案A

解析如图，取底面正三角形X8C的中心。，连接P。，则尸。_L平面/8C,

连接力。并延长，交8。于点。,

则。为8C的中点.

所以4P在平面48c上的射影为40,

所以产力与平面4儿•所成角为NP40.

因为/8=3,所以/。=AB=3.

3

又因为4=2,

AO7

在Rt△尸0%中，有cosN/MO==

AP2

故直线4与平面。所成角的大小为30°.

6.如图，aCQ=l,点、A,CCa,前BSp,且加_La,BC邛,那么直线/与直

线力。的关系是

答案IVAC

解析VJ5la,lua,

又BC》,luB,."CJJ,

又ABCBC=B,且48,8Cu平面48C,

，直线/_L平面48C,

又力Cu平面4BC,tkl-LAC.

7.矩形48CQ中，4B=1,BC=2,0力J_平面N8CQ,P4=l,则尸。与平面

ABCD所成的角的大小为.

答案30。

解析由题意知NPC4为PC与平面力BCD所成的角.

PA1Q

在Rt△尸4c中，tan/PC4===。

AC33

：.ZPCA=30%

即PC与平面48CO所成的角为30。.

8.在长方体48CQ一由BCQi中，正方形48CO的面积为16,4G与平面

B囱GC所成的角为30°,则该长方体的体积为.

答案642

解析,•*S正方形.4BCD=16,：・AB=CB—4,

♦・・23_L平面BB\CiC,

故/ACiB为AG与平面88iGC所成的角，即N4G8=30。.

从而BG=43,CCi=BG_BO=42.

故长方体的体积P=16X42=642.

9.在正方体中，E,尸分别是力小，小。的中点，求:

⑴。山与平面48CQ所成角的余弦值；

(2)£尸与平面所成的角.

解(1)如图所示，

连接。8,

•・・。|。，平面48。。，

是。归在平面43C。内的射影，

则/。出d即为AR与平面力。C。所成的角.

°：DB=2AB,DiB=3AB,

：.cos/DIBD=DB=6,

D\B3

即D、B与平面ABCD所成角的余弦值为:.

(2)・「£是44的中点,44_L平面48G。，

・・・/硒心是EF与平面小囱G4所成的角.

在《△口尸中，

•・•尸是小出的中点,・・.NEE4i=45。，

即反与平面所成的角为45°.

10.如图，43为。。的直径，产力垂直于。。所在的平面，M为圆周上异于力，B

两点的任意一点，AN1PM,N为垂足.

(1)求证：4N_L平面P5M；

(2)若/。_1尸8,垂足为。，求证：NQ工PB.

证明(I)：/夕为。。的直径，

又P4_L平面力笈必，BMu平面4

C.PALBM,

又・・・P4G/1M=4,PA,4V/u平面尸4M,

平面PAM,

又4Nu平面尸4M,：,BM_LAN,

又ANSM,且BMCPM=M,

BM,PA/u平面08例，

・・・4N_L平面PBM.

（2）由⑴知4NJ_平面PBM,

PBu平面PBM,:・ANIPB.

又・.・40_LP8,ANC\AQ=A,AN,力。（=平面4%。，

・・・P8_L平面4N0.

又NQu平面AN。,：.PB1NQ.

二、综合运用

11.（多选）如图，在以下四个正方体中，直线与平面CDE垂直的是（）

CD

答案BD

解析对于A,易证力8与CE所成的角为45。，所以直线48与平面C0E不垂

直；

对于B,易证45J_CE,AB上ED,且CECED=E,所以力8_1_平面CQE；

对于C,易证与CE所成的角为60。，所以直线48与平面CDE不香直;

对于D,如图，设正方体的上底面为EFZM,

连接4凡由正方形的性质可得

而力产_1平面石尸可得力尸_LO£;且BFCAF=F,

则。E_L平面43片即有。E_L/B,

同理可得力8-LCE,且EOAEC=区

所以，平面CDE.

12.如图，在四棱锥。一/8c。中，尸。_L平面力8CQ,四边形48co为正方形，

4B=2,E为。8的中点，若直线彳E和平面/BCD所成角的正弦值为；，则夕。

=()

p

2

C.3D.2

答案D

解析如图，取8。的中点凡连接EF,AF.

三

AB

因为E,尸分别为尸分8。的中点，

所以石/〃P。且上尸=，g

因为PO_L平面ABCD,

所以七尺1_平面4BCD,

因为4R=平面48c。，所以£7口_力/，

所以直线4E与平面ABCD所成角为ZEAF.

因为四边形力8C。是边长2的正方形，

所以