复数的三角表示（提升练）解析版

第七章复数

7.3.1复数的三角表示式（提升练）

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.复数-立+表示成三角形式正确的是（）

22

,兀..万n5〃..不

A.cos—+zsin—B.cos——+zsin—

6666

5〃..5"

C.cos---Fisin—1).-cos—4-zsin—

6666

【答案】C

cosO=--，sin=-,

22

又。仁［0,2不)，0=+_!_/=cos+isin•故选:

62266

2.下列各角不是更数36-3i的辐角的是（）

711\7135〃

A.---B.---C.4乃

6

【答案】C

【解析】I厂=J(3a2+(_3)2=6,COS6=¥，sine=-g,

11jr11jr

・••辐角主值。=丁，故可以作为复数3百-3i的辐角的是丁+2版•，keZ.

66

，当攵=一1时，-^-+(-2^-)=--：

66

,,c11\TC八1\71

当％=0时，---+0=---；

66

.,.1\TC.35乃.,

当％=2时，——+4不二——；故选：C.

66

；②及cosf--+zsin—

3.下列表示复数1+i的三角形式中①

k4；4

/9力9〃、、(3元、

③cos』+isinj；④0cosf+isin?；正确的个数是()

\44J-I44)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】,**/*=\1\2+12=5/2»cos0=――»sin0=，辐角主值为一，

224

..nz(7i..7tyrr(9乃..9万)

I+/=v2cos——Hsin—=v2cos---Fzsin——

(44jI44)

故①@的表示是正确的，②④的表示不正确，故选：B.

4.复数z="cos〃+isine)(rX),6XR),则把这种形式,叫做复数z的三角形式，其中广为

复数z的模，。为复数z的辐角.若一个复数z的模为2,辐角为V，则三()

3I

A.1+V3ZB.1-73/C.yfj-iD.y/3+i

【答案】D

【解析】由复数z的模为2,辐角为羊，可得z=(27r..24

2cos——+/sin——=一1+四.

I33

所以z二一1+Gi=+百故选：［).

5.欧拉公式『=cosx+isinMi为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函

数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要,

被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e今表示的复数位于复平面中的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】由欧拉公式e"=cosx+isinx,可得c，'=cos卫+心血1卫=一立一,

6622

二.e争表示的复数位于复平面中的第三象限.故选：C.

二、多选题(共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分)

6.下列复数不呈三角形式的是()

-zsin—

4j2(33)

C.1lsin^/cos^ITI..74

+;I),cos-----Fisin—；

2(1212)55

【答案】ABC

7T..不

【解析】A中间是"-”号，不是三角形式.cos----zsin—cosZ£+/sinZ£];

244；244J

-泉。s-网+.曲]

B括号前面是负数，不是三角形式,

2133J33)

C括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式,

\(.STT.5万冗..乃

—sin——4-zcos一cos-----bzsin——

12121212

【）是三角形式.故选：ABC

7.下列各角是复数36-31的辐角的是（）

【答案】ABD

【解析】I,•二J（36）2+（-3）2二6,cos"今,sin8=-g,・••辐角主值6二?，

故可以作为复数36-3/的辐角的是比+，A£Z..•・当A=—1时，

6

1\7T,八、71

—+（-2^）=--；

66

”,八।11万八1\7i„,八।11万，35万

当&二0时，——+0=—；当女=2时，——+4乃=——.故选：ABD

6666

8.已知生数z=l+8s20+isin2£（-工〈”工）（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（）

22

A.复:数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.z可能为实数

C.|z|=2cos。

【）.」的实部为！

z2

【答案】BCD

【解析】z=1+cos20+isin2。=2cos佻cos。+isin0),

'：---<0<—.

22

.•.8s，>0,sin<9G(-1,1).

则复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限；

Z可能为实数；

|z|二2cos。；

11cosO-isin。1/I1“，.小八八、

-=------------------=-----------=-----tan。，一的实部为一.故选：BCD.

z2cos^(cos/9+/sin<9)2cos。22z2

三、填空题(共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分)

9.更数z=gi,则argz=______.

l-x/3Z

【答案】J

2

……G+，(V3+00+V30G+3i+i+G/4/.

【解析】z=R=(l-疯)(1+6)=lH二币〜

复数z在复平面内，对应点的坐标为(0』)，点(0,1)在y轴上，所以argz=],

故答案为：y.

乙

10.棣莫弗公式(cosx+isinx)"=cos/Lt+isinnx(，为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗

(1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，更数(cos至+isin^)6在复平面内所对应的点位

77

于第___________象限

【答案】二

【解析】由(cosr+isinr)"=cosnx+/sinnx，

zpi/.•)\66/r..67r

侍(8s—+，sin­)=cos—+zsin——>

7777

7i6兀6兀八.64八

—<--V7T,cos—<u，sin—>0,

2777

.••复数(cos2+isin2F在复平面内所对应的点位于第二象限.

77

故答案为：二

7—1(7—1Ajr2—1

11.若复数z=1+四3则——=____________;若@唱——=-,则——的三角形式为

3zz)3z

,死左丫1也.J乃「吟

【答案】一十——i—cos—+sin—

442133)

【解析】若Z=1+¥，，则U=:+乎'，设U=Z°，则以0|=3闻隼2。=5，・・・

乃.乃)

cos—+sin—

33)

找火步汨1.1(TC.乃1

故答案为：一十——I—cos—+sin—

442(33)

四、解答撅：(本撅共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

12.(1)把下列复数的代数形式化成三角形式.

①2-2i；

②-3-3匚

(2)把下列复数的三角形式化成代数形式.

①3近cos—+zsin—；

I44J

A4乃..4〃)

②6cos——+zsm——.

I33)

【答案】(1)；@3>/2cos—+zsin——

I44)

⑵①3+3i;②一3-33；.

【解析】(1)①:r={2?+(-2f=2>/2»cos0—，sin0=~~~

乂。£[0,2乃)，・・・。=卫

4

7万..74

,-.2-2/=272cos——4-zsin——

44

____________万5

②,**r=J(-3f+(-3)2=30，cos0——彳»sin6二—三

又夕£[0,2乃），・・・。=红

4

5万..5乃、

・・・-3-3，=3&cos——+zsin——.

44)

+——i=3+3,

2

,A4"..4万)6x|-1--^=-3-3^.

②6cos——4-zsm——

I33)22

13.求复数z=l+cos0+isin。（兀＜。＜2Ji）的模与辐角的主值.

0

【答案】argz=Ji+~2~

【解析】z=l+cos0+isin0

2000

=2cos丁+2i•sin—cos—

00

=2cos-T-(COS丁+isi①

乙乙

n00

*/n<0<2n<n,Acos-<0.

乙乙乙

©it——2cos-(—cos~~一isin-)

=-2cos-[cos(n4--)+isin(八+T)]

o

*.r=-2cos-,

乙

Ji03o0

JIJT<n+—<2JI,/.argz=n4--

乙乙乙乙乙

14.欧拉公式户=cosx+isinx（e为自然对数的底数，i为虚数单位，xwR）是由瑞士

著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，阐述了三角函数和指数函数的

关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式：

（1）判断复数小在复平面内对应的点位于第儿象限，并说明理由;

（2）若*vO,求cosx的值.

【答案】（1）第二象限；（2）-1

【解析】（1）复数/在复平面内对应的点位于第二象限，理由如下:

/=cos2+isin2在复平面内对应的点的坐标为（cos2sin2）,

由于、<2<乃，因此cos2<0,sin2>0,..•点（cos2,sin2）在第二象限,

故复数/在复平血内对应的点位j.第二象限；

（2）eLX=cosx4-fsinx<0»/.e,x为负实数（虚数无法比较大小）

cosx<0

sinx=0,解得cosx=-l.

cos2x+sin2x=1

A级必备知识基础练

士+色

1.［探究点一］复数M21的三角形式是（）

A.cos60°+isin60°B.-cos60°+isin60°

C.cos1200+isin60°D.cos1200+isin120°

2」探究点一］已知ZROs'isin',则下列结论正确的是（）

A.z2的实部为1B.Z2=Z-1

C.z2=5D.|Z2|=2

3」探究点一］复数cos'isin"的辐角主值是（）

一■13flB.n7，w

A*BlC.4Di

n

4」探究点二］复数cos'isn^经过〃次乘方后，所得的复数等于它的共粗复数，则〃的值等于

()

A.3B.12

C.6匕1(A£Z)D.6k+1(A£Z)

5」探究点二］［2(cos600+isin60°)］J=.

6」探究点三］计算(cosn+isin兀户(cos'+isin*)=.

7」探究点一］已知复数zk.G+i,若复数z满足2iz二zi,则复数z的辐角主值为.

-(cos-+ism-/-......................

8」探究点二旧知zL3,Z2=6'cos+isin人计算zm,并说明其几何意义.

9」探究点一、三］已知复数z=r(cosO+isin。)用0,求二的三用形式.

B级关键能力提升练

/c©彳41sqy

10.若复数为实数，则正整数〃的最小值是()

A.lB.2C.3D.4

WW

1L复数z=cos*=+isin”是方程一，+。=0的一个根，那么a的值为()

vl.11,vl

十■一十一

A.2:iB22i

C.-2:iD.-22i

12.计算:z=2；/(cos6+isii/)]=，则|z|=.

13.莱昂哈德・欧拉发现并记明了欧拉公式[GeosO+isin6,从而建立了三角函数和指数函数的

关系.若将其中的。取作江就得到了欧拉恒等式e#+l=(),它是数学里令人着迷的一个公式，它

将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率办两个单位(虚数

单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:整=cos。+isin"解决以下问题：

(I)试将复数写成。+历(a"£R,i是虚数单位)的形式;

(2)试求复:数2的模.

14.计算下列各式的值:

(2)3(cos63°+isin63°)-2(cos990+isin99°)-5(cos108°+isin1080).

15.求证：

-=cos"isin0.

16.设z1=W+i,Z2=l-i,Z3=sinJ+icos”,求》。的值.

C级学科素养创新练

17.设A.B,C是aABC的内角,z=(cosA+isinA)?(cosB+isinfi)(cosC+isinC)是一个实数、则△

ABC是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.形状不能确定

3n

18.已知k是实数，①是非零复数,且满足arg/=々I+可24（1+i）2=]+%

⑴求必；

⑵设z=cosO+isin|0.2兀）,若|z-s|=l+、2求0的值.

参考答案

1.D令z=-22i=〃+历m力eR),z的模是r,z的辐角是Q,则

百卜。工=；4

1T>j..=b=V5上+9

r=|z|=l,c『；力二V一二一••可取夕=120。....-22i的三角形式是cos120°+isin

120°.

"nl,b1.VI13,V31.X

z-=-+­z(-H-\x-d-----+--

2.Bz=cos3+isin322i.z2=^22i^2=442i=-2?i,其实部为-二故A错

WZ=-~~/A\/£j\

误;z.l=Wm=9,故B正确；一？吊死2,故C错误;国二(习2+(T)2=],故D错误.故

选B.

"“一n=——0-九--九-

3.D复数cos-isin422i=cos4+isin4,

nti7w

所以复数cos"isin’的辐角主值是♦.故选D.

tinee

4.C由题意，得(cos石+isin3)//=cos3+isin3=cos^-isin3,由复数相等的定义，得

tmn

COS---=cos-=

mtn

—nW

2解得=2E-伏£Z),，〃=6hl(A£Z).

5.-8A.=23[cos(600x3)+isin(60°x3)]=8(cos1800+isin180°)=-8.

।/二二、"2一­a

i(cosn+isin7t)r(cos3+isin3)=cos3+isin3=-22i

6.-22i

T1

7.3因为zi=-H+i,2iz=zi,

百In

•vi+i_(-vl+iX-O-i4——

3..3

所以z=*'2K-0i=cos4-isin,

所以复数Z的辐角主值为3

-「(-+-)不+外](cos^-4-isin

8.解Z[Z2=°x6x|_cos""+isin1>J」=3i.

________fl

首先作复数zi对应的向量0Z1,然后将oz】绕点。按逆时针方向旋转工再将其长度伸长为

原来的6倍，得到的向量即为Z1Z2所对应向量.

1_(co$0a^ism0,)_11

9解二"皿"匕in夕)r[cos(00-6»)+isin(0°-6»)]=r[cos(-6>)+isin(-<9)].

COST-LSOTJ-

10.B因为，所以由题意知i"为实数，所以正整数〃的最小

值•为2.

Jin

11.D因为z=cos"+isin”是方程.1+0=0的一个根,

wwnti

屋5+isin正)-c°s鼠3

所以a=-.r5=-

nn

12.2H-2icosW+isin&)

42=24-2=2(cosO+isin

f!fTnf!

cos^isin'16)]=4.cos(-6)+isin(手)]=2、3.2i,

0)4-,

则附2凤匚辰5