平行线分线段成比例-苏科版九年级《数学》下册讲义

专题6.2平行线分线段成比例（举一反三讲义）

【苏科版】

飕题型归纳

【题型1判断比例式正误】.......................................................................2

【题型2“/'字型】..............................................................................4

【题型3“X，字型】..............................................................................7

【题型4字型】..............................................................................9

【题型5“8”字型】.............................................................................12

【题型6平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】...........................................16

【题型7平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】............................................20

【题型8多次利用平行线分线段成比例求解】.....................................................25

【题型9作垂线构造平行线分线段成比例】.......................................................31

【题型10作平行线构造平行线分线段成比例】....................................................37

:举一反三

知识点平行线分线段成比例

1.基本事实：两条直线被•组平行线所截，所得的对应线段成比例.

2.数学语言描述：如图，已知直线，］〃/2〃，3,分别交直线m，n于点A,B,C,D,E,F,则能=器，啜=络

KCcrACDr

BC―EF,....

ACDF

3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）配得的对应线段成比例.

如图（1）、图（2）所示，BC//DE,则有竺二竺ABAC

BDCE

图（IXA型）

【题型1判断比例式正误】

【例1】（24-25九年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，点。、E、f分别在△ABC的边48、AC.BC上,

连接DE、EF、AF,力广交DE于点G,四边形8/ED为平行四边形，则下列式子一定正确的是（）

«ADDEnAEBC…ADDG~AGDE

A.—BD=—CFB.—AC=—DEC.—AE=—EGD.—FG=—BC

【答案】A

【分析】本题考杳了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得DE=BF.EF||

AB,DE||BC,再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解.

【详解】解：团四边形3FZ?。为平行四边形，

团DE=BF,EF||AB,DEIIBC,

噂=票=爷=差=络故A选项正确，符合题意；

BDFGCECFCF

因为CTHBC,故D选项不正确，不符合题意；

笫=器，故B选项不正确，不符合题意;

需=竟=皆=鬻，而80不一定等于/lE,故C选项不正确，不符合题意;

故选：A.

【变式1・1】（24-25九年级上•河南新乡•期末）如图，AB||CD与8E相交于点G,若AG=1,GD=

)

BC1AB

C.—=一Dc.—=-1

BE2EF5

【答案】B

【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理内容是解答本题的关键，三条平行线截两条

直线，所得的对应线段成比例.

【详解】解：A.ABWCD,则会=胃=；,正确，故本选项不符合题意；

GCuD2

B.幽凯则票=竿=而嬴^急.错误，故本选项不符合题意；

C.AB.EF,则黑华=盗落=蒜，正确，故本选项符合题意：

D./例呼，则喘=*=冬=2=：,正确，故本选项不符合题意；

EFGFGD+DF2+35

故选：B.

【变式1-2］（24-25九年级上•江苏南京•期末）如图，在△48。中，点。在力8上，点£尸在力C上，且。E||BC,

DF||BE,则下列结论中，错误的是（）

【答案】D

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键.

由平行线分线段成比例可得*=*器=笠，通过证明尸E〜△8EC,可得会二翌二名即可求解.

/lcACoCDCcCoCAD

【详解】解：•••DE||BC,DF||BE,

DEADAEDFDAAF

—=一：=—,—=—=—,

BCABACBEABAEZ.AED=乙C,(BEC=乙DFE,

AFAE

△〜△

ASAC—BCBEDFEBEC,

EFDE

：.一=一,

ECBC

.竺_更

,・布一记,

故选：D.

【变式1-3］如图，在△?1%;中，。、E分别为45、4C边上的点DEIIBC,点F为3C边上一点，连接4尸交0E于

点G.则下列结论中一定正确的是（）

c

aADAEcAGAE_BDCE「AGAC

A.一=—B.­=—c•6=族D-淳=正

ABECGFBD

【答案】c

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两

边的延长线），所得的对应线段成比例；推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截

得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.由此逐项判断即可得出答案.

【详解】解：•••在AABC中，DEWBC,

故选项A结论错误，不合题意:

•••在MFC中，EGWCF,

•.•竺_竺9

CFEC

EC不一定等于BD,

••・郎=需不一定正确,

故选项B结论错误，不合题意;

•.•在中，DEWBC,

£D_C£

AD~AE9

故选项C结论正确，符合题意;

•••在中，EGWCF,

AE

CF-EC'

故选项D结论错误，不合题意;

故选C.

【题型2“产字型】

【例2】（2025•浙江杭州•模拟预测）如图，在四边形A8CD中,力。|山C,点2在4B上,EFII4D交CD于点凡

若AE：/W=1;3,DF=3,贝ijFC的长为（）

D

A.6B.4C.5D.4.5

【答案】A

【分析】本题考杳了平行线分线段成比例.根据平行线分线段成比例解答.

【详解】解：^AE-.AB=1:3,

^AE\EB=1:2,

13在四边形中,AD||BC,EF\\AD,

团4。IIBC||EF,

造=竺即工=±,

EBFC2FC

解得FC=6.

故选：A.

【变式2-1]（24-25八年级下•吉林长春・期末）如图,ADWEWCF,若筮=2,则案为（）

23

A-3B.5C.2D.3

【答案】A

【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据平行线分线段成比例得到普=喋=2,进而可求解.

croC

【详解】解：（MDIIBEIIC凡H=2,

嗤=*2,

喷/

故选:A.

【变式2-2】如图，直线a〃b〃c,点A,B在直线a上，点C,D在直线c上，线段AC,BD分别交直线b

于点E,F,则下列线段的比与空一定相等的是（）

b

BD

AB

B•需

.而D.而

【答案】B

【分析】根据平行线分线段成比例，即可得到黑二啜.

【详解】解：・・・a〃b〃c,

.BFAE

..一=--

BDAC

故选择：B.

【点睛】本题考查r平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题

的关键.

【变式2-3]（24-25九年级上•江苏徐州•阶段练习）如图，直线阴ICDIIEF,若AC=3,CE=4,则骨的值

4

C.7D.?

734

【答案】c

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，正确识别对应线段是解题的关键.利用y行线分线段

成比例定理，找出线段80、8r与AC、4E的比例关系，再通过已知线段长度计算比值.

【详解】解:•:ABIICD||EF,

£2_"

BF~AE

VAC=3,CE=4,AE=AC+CE=7,

BD3

BF7

故选：C.

【题型3“X”字型】

【例3】（24-25八年级下•吉林长春,期末）如图，allbllc,m分别交a、b、c于点力、8、C,n分别交a、b、c于点

D、E、F,若｛8=6,BC=4,EF=3,则线段DE的长为（）

A.1.5B.4.5C.7.5D,10.5

【答案】B

【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键.根

据平行线分线段成比例即可求解.

【详解】解：0a||b||c,AB=6,BC=4,EF=3,

喂喑，即合舁

ioQ

0DE=—=-=4.5,

42

故选：B.

【变式3-11（24-25八年级下•重庆・期末）如图，48IICD||EF,A9与BE相交于点G,若力G=DF=3,GD=1,

4

CD.

77

【答案】D

【分析】本题考查了平行线分线段成比例.根据力B||CD得到笠=.再代入数据计算即可求解.

obAr

【详解】解：SAB||CD||EF,

_AD_3+1_4

BE~AF~3+1+3-7'

故选：D.

【变式3-21(24-25九年级上•河南新乡•阶段练习)如图，已知直线，1II。II13,直线AC分别与直线，I、%、，3交

于A、B、C三点、,直线。尸分别与直线。、。、，3交于D、E、F三点，AC与DF交于点O,若BC=AB,DE=3,

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键.根据平行

线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.

【详解】解：团直线。，2口3，

胜=竺

BCEF

MC=AB,DE=3,

国EF=3,

团OF=EO+EF=3+3=6,

故答案为：6.

【变式3-3］已知三条互相平行的直线，1，12,。分别截直线L于点4B,C,截直线卜于点D,E,F,直线%

与匕相交于点O,且48=3V2,BC=同，EF=8,E0=2.

(1)求。E的长:

⑵求OB的长.

【答案】（檐

⑵苧

【分析】（1）由"Glib，推出誓=笑，即可求解;

£rCo

（2）由推出啜=整，即可求解.

ABDE

【详解】（1）解：・・，iII。口3,

DE__AB_

EF~CB

•CE__3\/2

,,8"旗'

24

：.DE=-

(2)解：-：BE||AD,

,OBOE

ABDE

,OB2

••迈―三

・・.08=乎

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属r中考常考题

型.

【题型4“A”字型】

【例4】（2025•河南南阳•模拟预测）如图，△ABC沿BC边向右平移得到△/）",若EC=2BE=6,CG=4,

则。尸的长为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线分线段成比例，

先根据平移的性质得力8IIEG,AC=DF,再根据平行线分线段或比例求出4G,此题可解.

【详解】解.：团将△48。沿着BC边向右平移得到△DEF,

团4B||EG,AC=DF,

（^=—=2.

BEAG

团CG=4,

团4G=2,

12DF=AC=4G+CG=6.

故选:A.

【变式4-1]（24-25八年级下•山东淄博•期末）如图,在△八命中，E,尸分别是边力从4c上的点,且EFIIBC.若

AE=2,BE=4,AF=1,则尸C的长是（）

【答案】C

【分析】本题考杳运用平行线分线段成比例定理，解题关键是由平行线得到对应边成比例求解.

根据平行对应边成比例列出等式，代入已知边的长度，求出FC.

【详解】解:HEFIIFC,

AEAF21

:•=艮nn=

E3FC4FC

解得：FC=2,

故选：C.

【变式4-2]（2025・河南•中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,△A8C的三个顶点均

在网格线的交点上，点。、E分别是边84、与网格线的交点，连接。E,则OE的长为（）

A展B.1C.V2D.V3

【答案】B

【分析】本题考杳了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出DE是△48C的中位线是解题关

键.取格点G、H,由网格的性质可知，EGWCH,得到*=党=*=；,进而证明DE是的中

ABAH2ACAH2

位线，即可求解.

【详解】解：如图，取格点G、H,

由网格的性质可知，EG|£H,

:.ADA=G=2-1=-A,EA=G2=_=1一

ABAH42ACAH2

D、E分别是48、4C的中点，

0E是△ABC的中位线，

0E=：8C=1,

2

故选：B.

【变式4-3]（24-25八年级下•山东淄博・期末）如图，在3x4的王方形网格中，4、B、。为格点，连接CD,

交过点4的水平格线于点£若小王方形边长为1,贝KE=.

【答案】苧

【分析】本题考查了勾股定理、平夕亍线分线段成比例定理，根据勾股定理求出CD的长，再根据平行线分线段

成比例得出等式求出CE的长即可.

【详解】解：如图所示，

由48在网格中的位置，可知MD=NO=；MN=泉

DF=DN+FN=

2

在Rt△COF中，CD=>JDF2+CF2=卜+似=苧,

•••EGWDF,

CECG2

:.—=—=—,

CDCF3

CE2

,运=王

2

解得：CE=^.

故答案为：孚.

«5

【题型5“8”字型】

【例5】（2025•安徽亳州•三模）如图,团ABCD中,E为对角线3。上一点,过点E的直线MN分别交边4B,BC

于点F,G,交射线D4DC于点M,N.若MF=3,Er=2,则EG•EN的值为（）

【答案】C

【分析】本题主要杳了平行四边形的性质，平行线分线段成比例.根据平行四边形的性质，可得力。IIBC.AB||

CD,再由平行线分线段成比例可得霁=器，霁=器，从而得到黑=黑，即可求解.

MEDEENDEMEEN

【详解】解：回四边形⑷?CD是平行四边形，

瓦4DIIBC.AB||CD,

团MF=3,EF=2,

喘=春

回EG・EN=10.

故选:C

【变式5-1］如图，在平行四边形HBCO中，448c的平分线B厂分别与AC、AD交于点E、F,AB=3,FD=2,

则黑的值为（）

ro

2333

A.-B.-C.-D.-

5875

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质证得AO〃/SC,AD=BC,再根据用平分线的定义和平行线的性质以及等角对

等边证得AF=48=3,BC=5,再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可.

【详解】解：•・•四边形A3CO是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

：,ZAFB=/CBF,

/平分/ABC,

/.4ABF=/CBF,

：,NABF=NAFB,

:.AF=AB=3,又FD=1、

：.BC=AD=AF+FD=5,

■:AD〃BC,

,EFAF3

••—=—=―,

BEBC5

•EF3

••=一，

FB8

故选:B.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段

成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

【变式5-2］如图，AB,CO相交于点E,且AC〃EF〃OB,点C,F,B在同一条直线上，已知AC=p,EF

=/，DH=q，则P，/，•之间满足的数量关系式是（）

,121,12

+-=-D.-+-=一

qpPqr。・尹:9Qrp

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例，可证得箓=弟黑=能两式相加即可得出结论.

【详解】解：•:AC//EF,

EFBF

:•AC—BC,

EF//DB,

EF__CF_

ED-BC'

EF,EFBF,CFBF+CFBC.rr.

-----=---F-=----=—=1,UnnJ-+-=1,

ACBDBCBCBCBCpq

二—1,|—1=—1.

rqr

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解

题的关键.

【变式5-3］如图,在平行四边形ABC。中，石为48的中点,F为4。上一点,E5与4C交于点，,"/=3cm,EH=

6cm,AH=4cm,则”C的长为（）

DC

A.22cmB.20cmC.18cmD.16cm

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，构造辅助线

证明两个三角形全等是关键;延长FE交C8的延长线于点G,由平行四边形的性质及中点条件可证明△AFE=

△2GE,得EG=EF；再由平行线分线段成比例定理即可求得结果.

【详解】解：延长FE交CB的延长线于点G,如图所示：

回四边形A8C。是平行四边形，

^AD||BC,

^EAF=Z.EBG,Z.AFE=乙BGE,

(3E为AB的中点，

图4E=BE,

三△BGE(AAS),

团EG=EF,

^EF=EH+FH=3+6=9(cm),

国EG=9cm,

回G"=GE+EH=9+6=15(cm),

^ADIIBC,

喘唱

解得：CH=20cm.

故选:B.

DC

【题型6平彳亍线分线段成比例与三角形的中位线的综合】

【例6】(24-25九年级下•贵州铜仁•阶段练习)如图，在等腰中，4c=8C=3,。是线段BC上一点,

连接4D,4840=15。，将线段4。绕点4逆时针旋转90。得到4E,连接8E交4c于点F,则CF的长度

为.

【答案】等

【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，中位线的性质，解直角三角形；延长BC至点C,

使CG=8C,连接力G,EG,根据旋转以及等腰直角三角形的性质证明△480三△4GE(SAS),:i£而得出EG=

BD,^AGE=AABC=45°,证明CF是△BGE的中位线，解Rt△力CO得出80,进而根据中位线的性质，即可

求解.

【详解】解：如图，延长BC至点。，使CG=BC,连接4G,EG,

M图①•••CA=CB=CG.Z,ACB=90°,

••・△48G为等腰直角三角形，AB=AG,

又••乙BAG=4DAE=90°,

Z.BAD=Z.GAE

•••4。旋转得到4E，

AD=AE

.••△ABD三△/IGE(SAS),

EG=BD,/.AGE=乙ABC=45°,

vLAGC=45°

•••乙CGE=90°,

•••/ACB=90°

^CFWEG

科=些=1

EFCG

0FF=EF,

•••CF是△BGE的中位线，

1

CF=-EG.

2

vLBAC=45°,乙BAD=15°,

•••/.DAC=30°

在ACO中，CD=V3,

:.BD=3-逐

/.CF=-EG=-BD=—,

222

故答案为：

【变式6-11（24-25八年级下•湖南郴州•期末）在平行四边形4BCD中,对角线4C,BD相交于点O,0E||CD.若

。£=4,则线段的长为

【分析】小题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，证明0E是△EC。的中位线，利用三角形中位线定

理求解.

【详解】解：团四边形48co是平行四边形，

0。8=0D,

.•.0为8。的中点，

团0EI3C0,

胫=眨

ODCE

回BE=EC,

站为8c的中点，

R10E为△BCD的中位线，

0CD=20E=8.

故答案为：8.

【变式6-2】(2025•内蒙古♦模拟预测)如图，80是△48C的角平分线，石是4B的中点，连接CE交80于点F,

若CEJ.80,CE=2BD=8,则线段48的长为.

A

【答案】10

【分析】先证明ABEF三ABCr(ASA),取4D的中点G,连接EG,则EG是△4BO的中位线，即以=g=l,

DGFE

证明0尸是4CEG的中位线，最后根据勾股定理计算即可.

【详解】团E是＜8的中点，

0/4F=BE=-2AB.

团C£1BD,

田乙BFE=Z.BFC=90°.

MD是△ABC的先平分线，

团/EBF=乙CBF.

又®B尸=BF,

0ASFF=A5CF(ASA),

MF=CF.

0CF=2BD=8,

团EF=CF=BD=4.

如图，取AO的中点G,连接EG,

团EG是△A8Z)的中位线，

0E（；=-j?D=-x4=2,EG^BD,

22

喔=洒1，

0DG=CD.

又瓯尸=CF,

皿）『是ACEG的中位线，

团DF=：EG=：x2=l,

22

（3BF=BD-DF=4-1=3.

在Rt△BEF中,BE=>JBF2+EF2=V32+42=5,

^AB=2BE=2x5=10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形中位线，平行线分线段成比例，勾

股定理，熟练掌握各知识点是解胭的关键.

【变式6-3］如图，DE、NM分别是AABC、4ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F,则S^MN：S四边形MFCE

等于（）

A.1：5B.1：4C.2：5D.2：7

【答案】B

【分析网N作NH0DE丁•H,过A作AP0BC于P交DE丁G,得到NMMG,根据三角形中位线定理得到DE0BC,

得到AG=PG,求得NM=：AG=5G,根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论.

【详解】解：过N作NH0DE于H,过A作AP0BC于P交DE于G,

0NM0AG,

团DE是13ABe的中位线,

0DE0BC,

0AG=PG,

E1M是DE的中点，

0DM~ME--DE,

2

0NMHAG,AN=DN,

胖="=二

^AGAD2'

团DM=ME,

_；DMNH_^DMNH

团SAOMN：S四边形MFCE=^^=加而

故选:B.

【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理.本题关键是找准比例关系求解.

【题型7平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】

【例7】如图，G是△力8C的重心，延长8G交力C于点D,延长CG交AB于点£P,Q分别是△BCE和△BCD的

重心，8C长为12,则PQ的长为()

A.2B.2.5C.3D.4

【答案】A

【分析】连接EP、DQ,并延长，分别交BC于一点F,连接EO、PQ,由题意易得E0IBC,ED=；BC,PQWED,

PQ=^ED,进而可求解.

«5

【详解】解：连接EP、DQ,并延长，分别交BC于一点F,连接ED、PQ,如图所示:

团4E=BE,AD=DC»

团EDIIBC,ED=：BC,

又®P,Q分别是△BCD的重心，

喉唠=2

(3PQIIE0,PQ=^ED,

(3PQ=gx：BC=*BC,

•••BC=12

PQ=2

故选:A.

【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成

比例是解题的关键.

【变式7-1］如图，点G为△48C的重心，4c=90。，48=30。，连接CG并延长交48于点。，作。E1CB于

点、E,过点G作GFII4D交4。于点尸，则空的值为()

CEB

A.1B.-C.-D.—

323

【答案】B

【分析】首先根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出设DE=a,则BD=2a.再根据重心

的定义与性质以及直角三角形的性质得出CD=AD=BD=2a,黑=j然后利用平行线分线段成比例定理

得出GF="u=f,进而求出需=].本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的重心是三角形三边

33DE3

中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1,也考杳了直角三角形的性质，平行

线分线段成比例定理，难度适中.

【详解】解：WEA.CB,乙8=30。，

WE=-BD.

2

设DE=a,则BD=2a.

团点G为△ABC的重心,ZC=90°,

连接CG并延长交A8于点D,

0CD=AD=BD=2a,—=

CD3

回GFII40,

解=丝一，

ADCD3

^GF=-AD=—,

33

故选:B.

【变式7-2]如图，在中，AE是8C边上的中线，点G是△48C的重心，过点G作GrIMB交8C于点F,

那么M=（）

G

BFE

【答案】A

【分析】由题意易得8E=EC,累然后根据平行线所截线段成比例可进行求解.

AG2

【详解】解：是8c边上的中线，

(3BE=EC,

团点G是A/IBC的重心，

造一，

AG2

^GF||AB,

有二空一,

BFAG2

故选A.

【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心是解题的关键.

【变式7-3］如图，在矩形4BCD中，AB=6,尸是AD边上一点，将△PCD沿CP折叠，若点。的对应点E恰

好是△48C的重心，则P。的长为.

【答案】3V2

【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长CE交48于

F,在EF的延长线上取一点从使FH=FE,连接力H,BH,PF,连接AE并延长交BC于点。连接BE,由

折叠的性质得PPO=0E，CE=CO=6,根据点E是AZIBC的重心，得4T是8c边上的中线，C尸是AB边上

的中线，贝必/=BF=\AB=3,CT=BT,先证四边形力EB〃是平行四边形得B”IIAE,进而得^丁是^CBH

的中位线，则EH=CE=6,进而得FH=FE=3,在&△8CF中，由勾股定理得8C=\/CF2-BF2=6VL

再判定RtZkP/lF三Rt^PEF(HL),得PA=PE,进而得PO=PA=三4。=3&，据此可得出答案.

2

【详解】解：延长CE交4?于凡在EF的延长线上取一点“，使FH=rE,连接力H,BH,PF,连接4E并延

长交BC于点方连接BE,如下图所示;

团四边形4BCC为矩形，AB=6,

^Z.BAD=ZD=90°,CD=AB=6,AD=BC,

由折叠的性质得：PD=PE,CE=CD=6,Z.PEC=zD=90°,

国点七是△/18C的重心，

团AT是8c边上的中线，CF是小8边上的中线，

即HF=BF=-AB=3,CT=BT,

2

又"〃=FE,

团四边形力EB"是平行四边形，

WHIIAE,

即8"IIET,

血_CE

BT-EH*

0CT=BT,

BCE=EH,

团£7是仆CBH的中位线，

团E"=CE=6,

国FH=FE=3,

0CF=CF+FF=6+3=9,

在RtABC?中，由勾股定理得：BC=yJCF2-BF2=672,

团4。=BC=6&，

0FF=3,AF=3,

^AF=FE,

团4PEC=90°,^BAD=90°,

回，BAD=乙PEF=90°,

在和RtiEF中，

AF=FE

PF=PF

团RtaPAFmRt2\PEF(HL),

团PA=PE,

0PP=PA=^AD=3V2,

故答案为：3V2.

【题型8多次利用平行线分线段成比例求解】

【例8】(2025九年级上•全国•专题练习)如图，已知△48C,△DCE,△尸EG是三个全等的等腰三角形，底

边BC,CE,EG在同一条直线上，且A3=3,BC=V3,8"分别交力C,DC,DE于点、M,N,H.解答下列

问题：

ADF

/\/\

BCEG

⑴引勺值为__________；

⑵求证：卷=内=今

(3)求:BM:MN:NF的值.

【答案】⑴4

«5

(2)证明见解析

⑶8M:MN:NF=2:1:3

【分析】(1)由题意可得＜8=力。=。。=。9=/£=/7；=3,BC=CE=EG=V3,从而可得BG=38C=

3百，即可得解；

(2)由题意可得8C=CE=EG=遮，GF=EF=DE=DC=AC=AB=3,即可得证；

(3)由题意可得4=乙DCE=^FEG,Z-ACB=乙DEC=乙FGE,从而可得48||CD||EF,AC||DE||FG,

再由平行线分线段成比例定理可得登=噂=1,BM-.MH-.HF=V3:V3：V3=1:1:1,求出=2MN,NF=

NFv3

3MN,即可得解.

【详解】(1)解：^ABC,△DCE,aFEG是三个全等的等腰三角形，AB=3,BC=瓜

0/42?=AC=DC=DE=FE=FG=3,BC=CE=EG=6,

鲂G=3BC=3V3

格=2=旦

BG3V33

故答案为：y;

(2)解：1DCE,△rEG是三个全等的等腰三角形，

(3BC=CE=EG=GGF=EF=DE=DC=AC=AB=3,

爬=丝=遗，

BGFG3

(3)解：・••△48C,ADCE,△/EG是三个全等的等腰三角形，

^ABC=Z.DCE=乙FEG,Z.ACB=乙DEC=乙FGE,

团48||CD||EF,AC||DE||FG,

心=叱BM:MH:HF=BUCE.EG,

NFCE

I3BC=CE=EG=V5,

嗜=得=1,BM'.MH'.HF=\/3：V3：V3=1:1:1,

•••BN=NF,BM=MH=HF,

WN-BM=NF-HF,即MN=NH=1M，，

回BN=2MN,NF=3MN,

®BM:MN:NF=2:1:3.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角

形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键.

【变式8-1】如图，在△力8c和A/ICG中，。、£、尸分另I］在线段AB、AC.力G」二，连接DE、EF,DE||BC,EF||

CG,翌=；,4尸=3,求4G的长.

【分析】由DEIIBC.EFIICG可得吟=M啜=笫从而可得*=再由9=力尸=3可得结果.

AbACAUACAbACAB3

【详解】解:〈DEIIBC.EF||IG,

.ADAF

..一=—,

ABAG

：.AG=9

【点睛】本题考杳了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.

【变式8-2】如图，点。是边BC上一点，连接力。,过4D上点E作EF||8。，交48于点F,过点尸作FGIIAC

交BC于点G,已知煞=5,BG=4.

CU4

(1)求。6的长；

(2)若CO=2,在上述条件和结论下,求EF的长.

【答案】(1)6

⑵弓

【分析】（1）由EFII3D,推出喘=普="由FG〃"，推出？=啜=可得结论.

FBED2Cl/Ar3

（2）由EFII8D,推出黑=啜,可得结论.

tiUAn

【详解】（1）9：EFIIBD,

,AFAE3

••,-,-~~一9

FBED2

,:FG||AC,

.BGBF2

..—=—=

CGAF3

■:BG=4,

，CG=三BG=±x4=6.

22

(2)*：CD=2,CG=6,

：,DG=CG-CD=4,

*：BG=4,

・・・BD=8G+DG=8,

.■./,IF-—-—39

BF2

•••A—F=3一,

AB5

VEFIIBD,

.EFAF

BDAB

.EF3

••一=->

85

AEF=y.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键.

【变式8-31（24-25八年级下•吉林长春•期中）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在A/BC

中，点。是BC的中点，点E是AC中点.连结4。，8E交于点G,求空的值.

（1）小明发现，过点。作0HII8E交AC于"，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案.下面是小明的

部分解题过程：

解：如图1,过点。作DmiBE交HC于H,

图1

•••。是BC的中点,

BD=CD,

CDCHy

—=—=1,

BDEH

请你补全余下的解题过程.

【尝试应用】

（2）如图2,在团ABCD中，E、尸分别是48、的中点，连接AC分别交DE、BF于M、M则誓=

图2

【拓展提高】

（3）如图3,点E是4C边的中点，DC=2BD,AD、BE交于凡4。=10,BE=6,AD上BE,直接写出四边

形CDFE的面积.

图3

【答案】（1）见解析；⑵/⑶18.75

【分析】此题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例等知识，理解题意，熟练掌握平行线分线段成

比例是解题关键.

（1）根据平行线分线段成比例定理和中点的定义进行解答即可：

⑵连接8D交AC于点。，则点。为BD的中点，点。为何的中点.艰据（1）问可得黑=2.同理可得会=2,由

MONO

点。为AC的中点得到力。=OC,即可证明结论成立；

（3）过点E作EGII4O交BC于G,4（1）同理得出答=黑二称=：,确定CG=DG=BD,同理确定器=^=

CDADACL（JC,LJ（J

案=aAF=7.5,FD=2.5,BF=3,EF=3,结合图形利用S四边形的斤=SM九一即可求解.

【详解】（1）解：如图1,过点C作。H||B£交AC于H,

A

图1

••・D是8C的中点,

BD=CD,

CDCHt

A—=—=1,

BDEH

••・E是4C的中点

:.AE=EC

AE3

A——=2.

EH

又•.DHWGE

AGAE

，——=—=2

GDEH

(2；证明：连接BD交AC于点。，则点。为BD的中点，点。为力C的中点.

图2

・••E为48的中点，根据（1）问可得

一=2.

M0

同理可得会=2

NO

•・•点。为4c的中点

:.AO=0C

/.AM=MN=NC,

MN1

:.—=

AC3

（3）过点E作EGIIAD交8C于G,

A

E

回CG=DG,

0DC=280,

团CG=DG=BD,

畦=4,AD=10

喘=3,

AF=7.5,FD=2.5,

同理得：整=2,BE=6,

BF

0FF=3,EF=3,

:.S&ABE=：BE•AF=1x6x7.5=22.5,

SDBEC=S^ABE~22.5=-S&ABC»

SAA8c=45,

WC=2BD,

S^AEF=\AF-FF-Ix7.5x3-11.25.

V,四边形CDFE=S—DC—S“EF

=30-11.25

=18.75.

【题型9作垂线构造平行线分线段成比例】

【例9】（24-25九年级下•山东烟台・期末）如图，在矩形ABC。中，AB=3,AD=4,A&BD相交于点。，E

为84延长线上一点，连接0E交4D于点F,若4E=1,则0E的长度为（）

同°而「岳八

AA.——B.——C.——D.-5

2222

【答案】A

【分析】此题主要考查了矩形的性质，平行线线段成比例定理，三角形中位线定理，理解矩形的性质，熟练

学握三角形中位线定理，勾股定理是解决问题的关键.

过点。作。H1A8于点H,由平行线线段成比例定理证明。”是A48。的中位线得。H=\AD=2,AH=

==泉进而得EH=4E+AH=q,然后在Rt^OEH中，由勾股定理即可求出OE的长.

【详解】解：过点0作OH1AB于点H,如图所示：

E4H四边形力8。。是矩形，48=3,40=4,

:.OB=OD,LDAB=90°,

•••OHLAB,

•••40HB=^OHE=LDAB=90°.

•••OHIIAD,

胜-也

OBBH

又••・OB=0D,

嗡=1，

WA=HB,

:，OH是△48。的中位线，

：•OH=-AD=2,AH=BH=-AB=

•.•点£为84延长线上一点，且4E=1,

AEH=AE+AH=1+-=-,

22

在RtaOE”中，由勾股定理得：0E=70H2+EH2=卜+郎=手.

故选:A.

【变式9-1］（2025•浙江宁波•三模）如图，在AABC中，CD是ZM8C的中线，延长C8至点E,使BE=38C,

连接4E,若4£48=Z.BDC=45c,AB=6&，贝加。的长为（）

A.2eB.3C.浮D.V13

【答案】D

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线等分线段定理等，延长CD交AE于点G,过点8作

8F14E于点八可得N4GD=90。，AG=DG,AF=BF,即得8/IICG,然后求得4凡AG,再由平行线等

分线段定理和BE=38c可得EF=9,最后利用勾股定理求得BE,即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

团NEAB=乙BDC=45°,

^Z.ADG=Z-BDC=45°=匕EAB,Z.ABF=90°-/-EAB=45°,

^Z-AGD=90°,AG=DG,AF=BF