2025-2026学年沪教版（五四学制）七年级数学下册《等腰三角形的性质》同步练习

2026年上海市七下新教材同步培优练习11

—18.1等腰三角形的性质

一、单选题

1.已知下列命题中，正确的是（）

4.有一个锐角相等的两个直为三角形全等

B.在VA4C中，若C。是边A3的中线，且6=3八8,则VA4C是直角三角形

C.在直角VA3C中，ZC=93°,。是斜边AB上一点，且=则。是边AB的中点

D.有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等

2.等腰三角形底边长为6厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长的差为2厘米，则它的腰长

为（）

A.4厘米B.8厘米C.4厘米或8厘米D.不确定

3.用直尺和圆规作已知角的平分线，下列作法中，射线OP是/AOB的平分线的有（）

A.1个8.2个C.3个。.4个

222y

4.若三角形的三条边长分别为"b,c^ab-ac+bc-b=C）f则这个三角形一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

5.如图，将VABC绕点A逆时针旋转，点A旋转至边上的。点，点C旋转至，那么下列结论不一

定正确的是（）

A.ZACB=ZAEDB.ZR4O=NC4E

C.ZADE=ZACED.ZDAC=ZCDE

6.四边形4BCD的边长如图所示，对角线4C的长度随四边形形状的改变而变化，当V4BC为等腰三角形

时，对角线AC的长为（）

C4或6D.6

二、填空题

7.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为

8.已知VA3C是等腰三角形，48=4。，点。在腰AC上，如果30将VA4C分割成两个等腰三角形，那

么NBA。的度数为.

9.已知等腰三角形的三边长分别为13,10-4，%+6,则该等腰三角形的底边长为

10.如图，VABC中，NB4C=90。，ZABC=30°,将VABC统点A旋转到VAOE（点。与点B对应）,

且使直线AO〃8C,直线OE交直线于点G,那么NE4G的度数为.

11.如图，在VA8C中，AB=AC,点。、E在8c的延长线上，点G是AC上一点，且CG=C£＞，点尸

是G。上一点，且DF=DE.若/4=100。，则NE=.

12.如图，已知VABC中，AB=AC,NB4C=40。.绕点。顺时针旋转VA8C,使点6落在AC边上，点8

的对应点记为点。，点A的对应点记为点E,连接AE,那么/AED的度数是.

BC

13.如图，在VA8C中，高线A。和角平分线跳:相交于点R已知V8O厂且zMOC,求/C的度数

14.如图，VABC中，A8=ACAE=£)£/8AE=30o,NCEO=45。，则NZME=

15,等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成了9cm和7cm两部分，则这个等腰三角形的底边长

为cm.

16.在VA8c中，AB=ACt8OJ.AC于点。，£在A8上，CB=CE,CD=5,则BE=.

17.如图所示，线段A8=10cm,AC=6cm,射线AV_LA8于点4,点。是射线上一动点，分别以AC、BC

为直角边作等腰直角三角形，得△ACZ）与△3CE,连接OE交射线AN于点M,则CM的长为.

18.“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角.图2是这个三等分

角仪的示意图，有公共端点P的两条线段尸4PB,可以绕点P转动，点C固定，点D,E在槽中可以滑动，

且CE=DE=CP.若4DEB=87。,则NAP8的度数为。.

图1图2

三、解答题

19.如图，点。，E在VABC的边上，AB=AC,AD=AE,求证：BD=CE.

20.如图，在VA3C中，AB=AC,AO为4c边上的中线，E为AC上一点，且AE=AO,44)=403

求/S石的度数.

21.已知，如图：VABC中A。为△8AC的中线，AE是八以)。的中线.

(1)如果DA=OB=DC,求证NK4C=90°.

(2)如果3£>=OC=AC,求证：AB=2AE.

22.如图，在四边形A8CO中，AQ〃“C,点七为对角线8。上一点，ZA=NBEC,且A£)=8E.

(1)求证：AABDRECB；

⑵求证：ZBDC=ZBCD.

23.如图，在RlZ\ABC中，乙4=90。，AB=AC=6cm,若。是BC的中点，动点M在44上移动，动点N

在AC上移动，且4V=8M.

(1)证明：OM=ON；

(2)四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMO/V的面积.

24.(1)如图1,在VA3C中，已知A3>AC.

如图1,通过定理“在三角形中，^可以证明

如弱1,若。是8C边的中点，连接A。，求证：ZBAD<ZCAD.

(2)如图2,在V48c中，已知AB=AC,且。是VA8C内的一点，^ADB>^ADC.求证：DC>DB.

25.(1)如图1,在VA8C中，已知A3>AC.

①求证：ZC>ZB；

②若。是4C边的中点，连接A。，求证：ZBAD<ZCAD.

(2)如图2,在VABC中，已知AB=4C,且。是VABC内的一点，NADB>NADC,求证：DC>DB.

26.如图，已知在VA8c中，AB=AC,点D、E在边BC上,且AO=A£.请说明BO=C£的理由.

解：因为A3=AC.

所以.（等边对等角）

因为.

所以44£D=NAO£.

在“UJE与△AC。中，

（-）

•/AED=NADE,

AB=AC

所以△ABE%4co.（）

所以.（全等三角形对应边相等）

所以BO=CE.（等式性质）

参考答案

1.解：A、一个锐角相等的两个直角三角形，角度对应相等，但边不一定相等，故不一定全等，原选项

错误，不符合题意;

B、如图，

••・C力是的中线,

•*-AD=BD，

又,.•C7)=1A8,

2

:.AD=BD=CD,

..ZA=ZACDtZB=/BCD,

vZA+ZACD+NB+NBCD=180。，

:.ZACD+NBCD=%)°

・•.NAC4=90。，即VABC是直角三角形，原选项正确，符合题意;

C、在直角VA8C中，ZC=9O°,。是斜边A8上一点，且但。不一定是A8的中点，例如,

如图,

当C到AB的距离小于时，A8上存在两个点使8=3月4,原选项错误，不符合题意;

D、有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形，边角位置不确定，不一定全等，原选项错误，不符

合题意：

故选：B

2.解：设等腰三角形的腰长为x厘米，腰上的中线长为。厘米，则中线所分成的两个三角形中，其中一个

三角形的周长为：［+如。）厘米，另一个三角形的周长为：（?+。+6）厘米，

由题意得2

第1页

即x-6|=2

，/-6=2或1-6=-2

解得工=8或x=4,

当x=8时，该三角形的三边长分别为8厘米，8厘米，6厘米,

v8+6>8,

此时能构成三角形；

当x=4时，该三角形的三边长分别为4厘米，4厘米，6厘米,

•••4+4>6,

此时能构成三角形；

综上所述，等腰三角形的腰长为4厘米或8厘米，

故选：C

3.解：第一个图：连接CP.OP,

由作图可得，OC=OD,CP=DP,

在和△。射中，

OC=OD

<OP=OP,

CP=DP

.,.△OCP^ODP(SSS),

：2COP=/DOP,

・•・射线OP是NAOB的平分线；

第二个图：连接CEE。，

A/

X//

ODB

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同(第一个图)埋可得，石(SS5),

:.NCOP=/DOP,

••・射线OP是NAOB的平分线；

第三个图：通过作图无法证明NCOP=NDOP,

••・射线0P不是ZAOB的平分线：

第四个图：由作图可得，OG=CE=OH=CF,EF=GH,CP=OC,

在△(?万和DG”中，

OG=CE

<OH=CF,

EF=GH

.•.△CEFg△OGH(SSS),

：.ZECF=4GOH,

..CP//OD,

?CPO?POD,

-CP=OC,

:.NC0P=4CP0,

:,NCOP=/POD,

••・射线OP是NAOB的平分线，

综上所述，射线OP是的平分线的有3个,

故选：C

22232222

4.解：,/ab-ac+bc-b=a[b-c)-b(b-c)=(b-c)(^a-b^=(^b-c)(a-b)(a+b)=Ot

「.b-c=()或。一〃=()或a+Z?=O(舍去)，

：.b=c^a=b,

・••这个三角形一定是等腰三角形.

故选：A

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5.解：•••V4BC绕点A顺时针旋转得到V4OE

根据旋转的性质可知：ZACB=ZAEDt旋转角NBAD=NCAE,

故A,B不符合题意；

由旋转可知，ZACB=ZAED,

,ZAOE=ZDOC,

:.NEAC=NEDC,

•：ZADE+/EDC=ZABD+/BAD,N£4C=N8AO,

:.ZABC=ZADE,

由旋转可得：AB=AD.AC=AE,贝ijNAB。=NADB,4CE=ZAEC,

而ZBAD=NC4£,

：.ZABD=ZADB=ZACE=ZAEC,

：.ZADE=ZACE

故。不符合题意；

•:£CDE=CCAE,ZBAD=ZCAE,

当ND4C=NCO£时，

/.ADAC=ZCAE=ABAD,与题干信息不符，

故。符合题意.

故选：D

6.解：在△AC。中，40=8=3,

/.3-3<AC<3+3,即0vACv6,

当AC=A8=4时，VA3C为等腰三角形，△AC。可以构成三角形；

若AC=AC=6时，VABC为等腰三角形，△AC。不可以组成三角形,

故选：A

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7.解；当腰长为3时，三边分别为3、3、6,由于3+3=6,不能构成三角形;

当腰长为6时，三边分别为6、6、3,由于6+3>6,满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为

6+6+3=15.

故答案为：15

8.解：当AD=BD,=时,

•「△加。和△4CO是等腰三角形，

:.AD=BD,BD=BC,

:.^A=ZABDtNC=/BDC,

：./BDC=ZA+ZABD=2ZA,即NC=ZABC=NBDC=2ZA,

vZA+ZABC+ZC=180°,

.\ZA+2ZA+2ZA=I80o,

ABAC=36°；

当AD=BD,8C=DC时，

设Z4=x。，WOZABD=ZA=x°,ZDBC=ZBZX?=y>+x°=2x>,NC=ZA8C=3x°,

在△8OC中，2x+2x+3x=180,

解得：x=

ZBAC=

(1Of)\

故答案为：36。或(一厂J。

9.解：分以下三种情况：

①当10-x=x+6,

解得x=2,

10-x=8,x+6=8,

三角形的三边分别为8、8、13,8+8>13,

第5页

.•.此时能组成三角形；

•••底边长为13；

@x+6=13,

解得x=7,

10-x=3,

三角形的三边分别为13、13、3,3+13>13,

此时能组成三角形，底边为3；

@10-x=13,

解得户-3,

综上所述，该三角形的底边等于3或13.

故答案为：3或13

10.解：当点。与点4的左侧时，如图，

由旋转的性质得ND4E=N8AC=90。，ZD=ZABC=30°,A/)=AB,

-AD//BC,

••.NZM8=NA8C=30。，ZD=ZWGB=30°,

..ADAM=ZD=ZABC=ZMGB=30°,

:.MD=MA,MB=MG,

.\AD=AB=DG,

vZD=30°,

.../DAG=l(|«00-//))=75°,

.•.ZE4G=90o-75°=15°；

当点。与点4的右侧时，如图，延长84交EG于点例，

BG

C

第6页

由旋转的性质得NDA£=NN4C=90。，ZADE=ZABC=30°,AD-A/3,

-AD//BC,

：.^DAM=ZABC=30°,ZMDA=^MGB=30°,

:.ADAM=/MDA=ZABC=4MGB=30°,

:.MD=MA,MB=MG,

.-.AD=AB=DG,

•：zy\DE=3(T,

.-.ZDAG=-ZAD£=15°,

2

oo

.♦.ZE4G=90+15=105°;

综上，NE4G的度数为15。或105°.

故答案为：15。或105。

11.解：•:DF=DE,CG=CD,

:.ZE=NDFE,NCDG=NCGD,

：NGDC=/E+NDFE,ZACB=/CDG+4CGD,

:.NGDC=2/E,ZACB=2^CDG,

：.ZACB=4NE,

•••VABC中，AB=AC,ZA=100。，

...Z4CB=l(180°-NA)=40°,

.•.ZE=-Z4CT=IO°.

4

故答案为：10。

12.解：由旋转性质可知，AC=CE,AB=ED,ZACB=ZACE,N84C=NC£O=40。,

-AB=ACtN8AC=40。，

:.AABC=ZACB=180°-4()。=伸,

2

1800-70°

Z.CAE=ZCEA=55°,

2

ZAED=ACEA-4CED=55°-4O°=15°,

故答案为：15。

第7页

13.解；//\nDFZ^ADC,

;.AD=BD,NC=NBFD,

•.•A。是VA8C的高，

ZADB=90°,

.•△AB力是等腰直角三角形，

/.ZABD=45°,

•.•的是V"C的角平分线，

^FBD=-ZABD=22.5°,

2

1./BFD=90°-NFBD=67.5°,

ZC=67.5°

故答案为：67.5°

14.解：•.•AA=AC,AE=/)E,

：NB=NC,ZDAE=ZEDA,

设NZME=/En4=x,

则/B=4C=ZEDA-ZCED=x-45。，

ZAEC=180°-ZC-ZE4D=180o-x+45°-x=225°-2x,

又；ZAEC=ZB+ZE4B=x-45°+3()°=x-15°,

.­.225°-2x=x-15°,

解得：x=80°,

即ND4£=80°,

故答案为：80。

15.解：•・•等腰三角形一腰上的中线，将这个等腰三角形的周长分成9cm和7cm两部分.

又・・9-7=2,

•••等腰三角形的腰与底边相差2cm,

下面分两类讨论：

①腰比底边大，

设腰长为xcm,则底边长为(x-2)cm.

由题意得2戈+工一2=9+7,解得x=6,

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当x=6时，等腰二角形腰长6cm，底边长为6-2=4（cm）,二角形二边分别为6cm、6cm、4cm,满足二角

形三边关系，可以构成三角形.

②底边比腰大,

若腰长为x，则底边长为Q+2）.

14

由迦意得2x+x+2=9+7,解得x=

141414901414

当X=?时，等腰三角形腰长不m,底边长为：+2=m（cm）,三角形三边分别为+m、*m、言cm,

满足三角形三边关系，能构成三角形.

综上所述，这个等腰三角形的底边长为4cm或120cm.

20

故答案为：4cm或"ycm

16.解：过点C作CF_L/W,交A8于点F,

-BDLAC,CF±AB,

：.NBDC=NCFB=90。,

•.A4=AC,

..ZABC=ZACB,

又：BC=CB,

.-.△BDC^ACFB(AAS),

:.BF=CD=5,

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•；CB=CE,

••.BF=EF=5,则8片=8/+防=10,

故答案为：10

17.解：过点£作切_LAN于点〃，

:"ECH+NCEH=骄,

QV3CK是等腰直角三角形，

:.BC=CE,NBCE=9O0,

；.NECH+ZBCA=XF,

：.ZBCA=ZCEH,

-ANLAB.

.•.Nft4C=/CHE=9O。，

:4BAC^.CHE(AAS),

:.AC=HE,

•.•△ACO是等腰直角三角形，

AC=CD,

:.CD=HE,

Z.DCM=/EHM=90°,ZCMD=/HME,

“CMD^HMEdS),

CM=-CH=5cm.

2

故答案为：5

18.解：设=

：CE=CP,

:"CEP=ZAPB=x,

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/ECD=ZAPB+/CEP=x+x=2x,

•:CE=DE,

:"EDC=/ECD=2x,

:•NDEB=ZAPB+ZDEC=x+2x=3x,

vZDE/?=87°,

.-.3x=87°,

•••/=29°,

,♦，ZA™=29O,

故答案为：29

19.解：如图，过点A作于点M,

vAM±BC,

••.ZAMC=90。，

又.AB=AC,

:.BM=CM,

同理得：DM=EM,

：.BM—DM=CM—EM,

：.BD=CE

20.解：：AB=AC,A。为BC力上的中线，

;./B=NC,BD=CD.

在△ABO和△AC。中，AB=AC,ZB=NC,BD=CD,

：.LABD^^ACD（SAS）,

•••ZADB=ZADC,ZCAD=ABAD,

ZADB+ZADC=180°,ZR4D=40。，

.-.ZA£）C=90o,ZC4D=ZZMD=40°,

AE=AD,

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=竺吐处=7。。,

2

NCDE=ZADC-ZADE=90°—70。=20°

21.解：(I)证明：•.•D4=OB,

：./B=ABADx

QDA=DC,

/.ZC=ZC4D；

QZB+Za4£>+ZC+ZC4Z)=180p,

.•.2(ZfiAD+ZC4D)=18O°,

即2NBAC=180。，

:./BAC=9(.r.

(2)证明：延长AE1至尸，使"'二AE,连接。尸.

•.•AE是△/UX?的中线,

DE=CE:

在VAOE和中，

AE=FE

<NAED=ZFEC,

DE=CE

；AADE%FCE(SAS),

:.AD=FC,ZADE=ZFCE；

由。。=AC,得；ZADE=ZDAC,

:.ZDAC=4FCE,

VZADB=ZDAC+ZACD,ZFCA=ZFCE+ZACD,

:.ZADB=ZFCA；

BD=AC

在△ABO和△CEA中，*^ADB=Z.FCA,

AD=CF

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/.△A^D^AEAC(SAS),

..AB=AF=2AE.

22.解：(I)证明：•••AO〃8C,

:.ZADB=/CBE,

在△A8O和△£C3中，

NA=NBEC

,AD=BE,

NADB=ZCBE

.­.△ABZ)^AECB(ASA)；

(2)证明：•••△A8Z运△£口?,

BD=BC,

：.NBDC=NBCD.

23.解：（1）连接OA,

C

vZA=90°,A8=AC=6cm,。是BC的中点，

:.ZOAN=ZOAB=NB=45°,

OA=OB,

又；AN=BM,

.•.△A次且力。用(SAS),

••.OM=ON；

(2)四边形4V7CW面积不会发生变化，理由如下:

•:.AONABOM,

5△八ON=SdBOM»

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,,,即边形AWON=SJOB=—S^ABC==9cm",

••・网边形AMON面积不会发生变化，面积为9cm2.

24.解：（I）证明：如图1,通过定理“在三角形中，大边对大狗”可以证明NC>N8,定理证明如下:

如组，作N84C的角平分线，交8c于点。，在AB上取一点E,使得AE=AC,连接DE,

图1

.-.ZDAE=^DAC,

在V/tD行和△人QC中.

AE=AC

/DAE=NDAC,

AD=AD

.-.△AZ>E^AA£)C(SAS),

••.ZAED=NC,

•••ZAED=NB1NBDE>NB,

•••NC>N8.

由题意,画出图形如下:

延长4。至点E,使得£0=4),连接CE,

/✓

E

••,0是3c边的中点,