第十二章 定义 命题 证明（复习讲义）-苏科版七年级数学下册【含答案】

第十二章定义命题证明（复习讲义）

工区

单元目标聚焦•明核心

1.了解定义的意义，能说出常见数学概念（如角、平行线）的定义，理解定义需准确、简

洁、揭示本质属性；

2.了解命题、真命题、假命题的概念；会区分命题的条件（题设）与结论，能将命题改写

成“如果…那么…”形式：能判断简单命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题：

3.了解证明的必要性，知道仅凭观察、实验、归纳不足以保证结论正确；理解证明的基本

步骤（画图一已知一求证—证明）与书写格式；明确定义、基本事实（公理）、己证定理可

作为推理依据；能进行简单几何命题的证明，做到每步有据、条理清晰.了解定理的概念,

知道定理是经讦明为直的命题：能识别百逆命题,知道原命题成立,逆命题不一定成立.

知识图造梳理•固基础

定义：对名称/术语的含义作出明确规定

一、定义与命题定义：判断一件事情的语句

结构：条件+结论（若…则…）

命题

只命题：成立的命题

假命题：不成立的命题（举反例即可）

基本事实：公认真命题，不需证明

二、基本事实与定理定理：经推理证实的真命题

公理、基本事实、定理都可作为推理依据

定证明：判断命题为真的推理过程

义审跄意T找条件与结论

、画图形T标字母

命三、证明证明步骤

写已知、求证

题

'写推理过程（步步有据）

证依据来源O----------------定义、基本事实、定理、已知条件

明定义：条件与结论互相交换的两个命题

原命题一逆命题

四、互逆命题

原真，逆命题不一定真

原假，逆命题不一定假

思路：先假设结论不成立

五、反证法（初步认识）

推出矛盾-假设错误-原命题成立

逐辎推理

六、本章思想方法举反例（证假命题）

规范表达：

试卷第1页，共16页

教材要点精析•夯重点

知

识重点归纳常见易错点

点

定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作

这个概念的定义，有时也说“给概念下定

一个概念的定义中要求语言简洁明了，

定义根据概念的定义，就可以准确地判断

语义清晰，不能含有“可能”，“差不多”能

义一个对象是仝遍王这个概念.给概念下定

模棱两可的词语.

义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明

确地区分这个概念所包含的对象.

1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命

题.一个命题要么为真，要么为假，二者必

居其一.2.数学命题的构成：数学命题一

1.命题一定是表示真假的陈述句，反之，

般都由条件和结论两部分组成.

陈述句不一定都是命题，最常考的表示

3.真命题：正确的命题称为真命题：

命作图的句子就不是命题.2.互逆命题是

假命撅：错谡的命题称为假今颍.

题两个命题之间的关系，它们是相互的，A

4.互逆命题：一个命题A的条件是另一

命题是B命题的逆命题，反之，B命题

个命题B的结论,这个命题A的结论是命

也是A命题的逆命题.

题B的条件,这样个两个命题称为互逆施

题，其中一个命题称为原血题，另一个命题

称为这个命题的逆血题.

证明：从命题的条件出发,根据一些旦知的

事实（如概念的定义,基本性质,真命题能作为证明依据的通常是教材中给出的

证

等），用“因为所以…”的形式一步一一些概念、性质、定理、公理、基本事

明

步推出命题的结论，从而确定这个命题为真实等.

命题的过程称为证明.

反反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾，1.反证法通常用于一些不太方便证明的

试卷第2页，共16页

证从而反过来肯定命题结论成立的证明方法命题：2.反证法的使用要按照先假设结

法叫作反证法.用反证法证明一个命题的步论不成立；再由假设退出矛盾（一般与

骤一般为：题目条件或已知的定理、性质、基本事

（1）先假设命题的结论不成立;实）矛盾；最后再得出结论.

（2）从这个峨出发，经过若干步推理，3.举反例说明一个假命题，只需要一个

得出矛盾:简单的反例即可，越简单越好.

（3）由矛盾判定假发不正确,从而肯定原

来命题的结论成立.

在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”

的方法•举反例的关键是找到一个符合命

题条件,但不符合命题结论的例子.

1.定理：一般情况下，数学中把一些基本

的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为

证明后续命题的依据.由一个定理直接推

出的重要结论，一般叫作这个定理的推论.

2.教材中出现的几个常用定理或推论：

（1）三角形内角和定理：三角形三个内角

的和等于180°.定理即是经过证明的真命题，也就是说

定

（2）三角形内角和定理推论：三角形的外定理一定是命题，但命题不一定都是定

理

角等于与它不相邻的两个内角的和.理.

（3）多边形内角和定理:〃边形的内角和等

于（n-2）180°

（4）多边形外角和定理：多边形的外角和

等于360。.

（5）平行线的性质定理：平行于同一条直

线的两条直线血.

又a

考点题型突破•拓思维

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题型一鲤由的给识别

【例1】

1.下列语句中不是命题的是（）

A.两点之间，线段最短.

B.鸟是动物.

C.连接48两点.

D.无论〃为怎样的自然数，式子〃2一〃+1]的值都是质数.

【变式1-11

2.下列语句中，不是命题的是（）

A.延长线段4。B.两点之间，线段最短

C.同位角相等D.如果x?=l,那么x=l

【变式1-2]

3.下列语句是命题的有1）个.

①你喜欢数学吗？②熊猫没有娉膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段

⑤无论〃是怎样的自然数，式子〃2_〃+]1的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线

平行，那么这两条直线也互相平行.

A.3B.4C.5D.6

睡三电题收构成

【例2】

4.命题“度数之和为90。的两个角互为余角”的条件是（）

A.90°B.两个角C.度数之和为90°D.度数之和为90。的

两个角

【变式2-1】

5.“同位角相等，两直线平行''的题设为,结论为.

【变式2-2]

6.命题“绝对值相等的两个数互为相反数”的条件是,结论是.

题型三命题的真假判断

【例3】

7.下列命题中，是真命题的是（）

试卷第4页，共16页

A.如果两个角相等，那么它们是对顶角

B.在同一平面内，如果a_L6,b1c,那么a_Lc

C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

D.如果a〃b、c〃b、那么Q〃C

【变式3-1]

8.下列命题是真命题的是（）

A.若Nl=/2,/2=/3,则Nl=/3

B.同位角相等

C.如果/=/,那么

D.如果直线b//c,那么a〃c

【变式3-2】

9.卜列命题中的假命题是（〉

A.同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行

B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

C.对顶角相等

D.同旁内角相等，两直线平行

题型四举例说明假命题的错误

【例4】

10.下列选项中，能够说明“若。是非零有理数，则百二T”是假命题的是（）

A.a=-\B.a=IC.D.a=冗

【变式4-1]

11.下列选项中，可以用来验证命题“若/>/,则是假命题的反例是（）

A.a=3,b=2B.a=2,b=3

C.a=-3,b=-2D.a=-2,b=-3

【变式4-2】

12.对于命题“若Nl+N2>90。，则/I、N2都大于45。“，能说明它是假命题的反例是（）

A.Z1=Z2=45°B.Zl=50°,Z2=50°

C.Z1=46°,Z2=40°D.Zl=40°,Z2=60°

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题里五写出一个命题的逆命题

【例5】

13.写出命题“如果岫=（）,那么。=0或8=0.”的逆命题：.

【变式5-1]

14.命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是

（填“真”或“假”）命题.

【变式5-2]

15.命题“垂线段最短”的逆命题是.

醒六证明一个命题是真鲤一

【例6】

16.命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线.互相平行，那么这两条

直线也互相平行如下绐出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程.

⑴已知：如图，E/7分别交直线48,CO于GH,GI平分NAGH,HJ平分4DHE,

.求证：.

（2）证明：

（3）通过（2）的推理证明，此命题是命题（填“真”或"假"）.

【变式6-1】

17.如图，点。在48上，直线OG交力E于点E.请从①QG〃1C,②4尸平分/ZMC,

③=NO4中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证.

己知：,求证：.（只须填写序号）

证明：

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【变式6-2]

18.把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设

和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题.

题时补充证明过程中的岁典里依据

【例7】

19.如图，AD//BC,/a1。的平分线交8于点尸，交6C的延长线于点石，

ZCFE=NE.

请将下面的证明过程补充完整：

证明：vAD||BC,

.,._=Z£（理由：_）.

•••4E平分NB4D,

：._=/BAE.

NBAE=Z.E.

•••ZCFE=ZE,

/.NCFE=NBAE,

•••_〃_（理由:_）.

ZB+ZBCD=\SO°（理由：_）.

【变式7-1]

20.如图，点尸为//O8内部一点，点。，点。分别在射线。8上.。尸与CE相交于

点、P,且CE〃。力，NEPF=NAOB.求证：DF//OB.

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证明：-CE//OA(已知)，

:ZOB=()；

v4EPF=NAOB,

：./EPF=()；

DF//OB().

【变式7-2]

21.如图，点尸在力8上，EF交BD于G,交CD于E,Zl=Z2,Z3=ZABE,

ZJDC+ZC=180°.完成下面的证明，括号内填根据.

证明：•.•N1=N2（已知）,

/.AABE=_.（等式性质1）,

又•：N3=/ABE（已知），

N3=（）,

-.EF\\BC（）,

vZJDC+ZC=180°（已知），

___________________（）,

/.AD//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

题里八关于定理的说法判断

【例8】

22.下列说法正确的是（）

A.任何定理都有逆定理

B.只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理

C.只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题

D.定理的逆命题都是真命题

【变式8-1]

23.下列々关逆命题与逆定埋的说法错误的是（）

试卷第8页，共16页

A.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题

B.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题

C.“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”

D.”等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理

【变式8-2]

24.下面关于公理和定理的说法正确的是（）

A.公理是真命题，但定理不是B.公理就是定理，定理也是公理

C.公理可作为证明其他定理的依据D.公理和定理都应经过证明后才能使用

【例9】

25.代数证明题是数学中常见的•种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学

命题的止确性.

例如：证明命题“如果c<d,那么a+c</>+△”是真命题.

证明：•••avb,（已知）

,在不等式两边都加上。，得a+cvb+c.（不等式的基本性质）

vc<d,（已知）

「•在不等式两边都加上6,得力+c</）+d.（不等式的基本性质）

*.*a+c<b+c,b+c<b+d,（已证）

.■・a+c<6+d.（不等式的传递性）

（1）已知有理数X、歹满足x>y>0,证明：/>/（补全下列推理过程）；

证明：•.•x>y且x,N均为正数，（已知）

・•.不等式的两边都乘以同一个正数x,得,（不等式的基本性质）

不等式的两边都乘以同一个正数V,得中,.（不等式的基本性质）

Ax2>y2.（不等式的传递性）

（2）请你尝试证明：若”八，则等〈人

（3）命题”三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为

假命题，请举一个反例说明.

【变式9-1]

试卷第9页，共16页

26.试证明10晨5口-257能被3整除.

【变式9-2]

27.已知：x“=3,x"=6，f=12,/=18,求证：

(l)a+b=d；

(2)a+c=2b；

题型十用反证法证明四题

【例10]

28.用反证法证明：如果三个数之和为1,那么这三个数中至少有一个大于等于g.

【变式10-1]

29.用反证法证明：若。＜|可，则a必为负数.

【变式10-21

30.求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

(I)你会选择哪一种证明方法？

(2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

一、选择题(本题共10小题)

31.下列语句中，属于定义的是()

A.对顶角相等B.三角形的内角和等于180。

C.数与字母的乘积叫作虺项式D.两直线平行，内错角相等

32.下列句子中，是真命题的是()

A.你的作业做完了吗？B.负数都小于0

C.过直线/外一点作/的平行线D.相等的角是对顶角

33.下列命题，是真命题的是()

A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.相等的角是对顶角

C.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行

试卷第10页，共16页

D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

34.对于命题“若a>6,财力小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反

例可以是（）

A.a=-1*=0B.a=2,b=-1C.a=2,b=lD.a=-i,h=-2

35.下列各命题的逆命题是真命题的是（）

A.对顶角相等B.内错角相等

C.若/=〃，则a=bD.若“>△,贝I」一2〃>一2/）

36.命题“度数之和为90。的两个角互为余角”的条件是（）

A.90°B.两个角C.度数之和为90°D.度数之和为90。的

两个角

37.下列命题中，判断错误的是（）

A.所有定理都有逆命题

B.对顶角相等的逆命题是真命题

C.假命题的逆命题不一定是假命题

D.两条平行线被第三条宜线所截，内错角的平分线互相平行

38.下列说法中，错误的是（）

A.基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实

B.定义是命题，并旦是具命题

C.”两点之间，线段最短”是基本事实

D.“两点之间，线段最短”是定理

39.已知四个正数的和等于1,下列说法正确的是（）

A.这四个数都等于JB.至少有一个数大于;

44

C.至少有一个数不大于;D.这四个数中恰有两个数大于两个数小

于；

40.用反证法证明命题“在同一平面内，若直线a_Lc,/>_Le,则时，应假设（）

A.a/lcB.a与b不平行C.b//cD.alb

二、填空题（本题共6小题）

41.命题”等角的补角相等”的条件是.

试卷第11页，共16页

42.命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是.

43.要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、

定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做.

要说明一个命题是假命题，通常可以通过的方法，命题的反例是具备命题的条

件，但不具备命题的的实例.

44.有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑤度

量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果.其中可以作为推理依据的有

（填序号）.

45.“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神,

默默滋养着一届又一届学生.鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背

后似乎藏着她对教育的独特情怀.现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的

手机密码：.

①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；

②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；

③9、5、8、3四个数字都不正确；

④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确.

46.8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的

书，并口每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书一本.

三、解答题（本题共4小题）

47.如图，点石、尸分别在线段48、CO上（不含端点）.连接EC、BF,EC、即分别交4。

于点G、H.有四个信息：①乙4=/。，@Z5=ZC,（3）AB//CD,④EC"BF.从中

选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题.

（I）你选择的条件是，结论是;（填序号）

（2）证明你构造的命题是真命题.

48.小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：”有

两个数。和力.若a>b.则一定有两人提出了如下问题：

试卷第12页，共16页

(1)小启说：“这个命题•看就是假命题请你帮他们举•个反例说明.

(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如:有两个数。和儿若〃>6>0,则一

定有/.”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊.”请你用所学的知识

帮助他们证明这个命题.

49.补全下列推理过程：

如图，EF1BC,AD1BC,Zl=Z2,试说明OG〃说.

解■:・：EFJ.BC,AD1BC,（已知），

：.NBFE=NBDA=90。（垂直的定义），

：.EF\{AD（）.

：,/2=/3（）.

vZl=Z2（已知），

二（等量代换）.

DG//AB（）.

50.已知实数〃满足s=〃/+=〃?〃,〃?=〃+1,且〃是正整数，p=s+t2.

(I)请判断P是奇数，还是偶数？并说明理由；

(2)求证：P是完全平方数.

能力提升进阶练

一、选择题(本题共10小题)

51.下列句子中属于命题均是(

A.美丽的天空B.你的作业完成了吗？

C.过直线/外一点作/的垂线D.两直线平行，同位角相等

52.下列语句中，是定义的是(

A.两点确定一条直线B.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平

行线

试卷第13页，共16页

C.对顶角相等D.同角的余角相等

53.下列命题中，是真命题的是（）

A,过一点有且只有一条直线与己知直线平行

B.相等的角是对顶角

C.两点之间，线段最短

D.若/=〃，则a=b

54.“如果那么。〈於，是假命题，那么。、匕的值可能为（）

ab

A.=1＞b=2B.a=2b=3

C.a=-2yb=~\D.a=l、b=—2

55.命题“如果|M=M，那么/=）々的逆命题是（）

A.如果网，M，那么,8缈B.如果卜|=%，那么,抄2

C.如果，=/，那么凶=例D.如果*今"，那么可¥用

56.命题“如果/=〃，那么。=力或。+8=0”的结论是（）

A.a2=〃或。=b

B.a2=b2

C.a=b或a+/＞=0

D.。2=//或。+力=0

37.以下四个例子中，小第说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（）

A.设这个角是30。，它的余角是60。，但30。＜60°

B.设这个角是45。,它的余角是45。，但45。=45°

C.设这个角是60。，它的余角是30。,但30。＜60。

D.设这个角是50。，它的余角是40。，但40。＜50。

58.命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基

本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实：④真命题一定是定理.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

59.下列说法中，错误的是（）

A.基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实

B.定义是命题，并且是真命题

C.“两点之间，线段最短”是基本事实

试卷第14页，共16页

D.“两点之间，线段最短”是定理

60.老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下而是小云给出的证明过程:

证明：如图，-bla,

Zl=90°.

丁c_La,

22=90°,

Z1=Z2,

/.b//c.

已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（）

A.在同一平面内，若bla,且cJLa,则人〃cB.在同一平面内，若〃〃。，且b_La,

则C_L4

C.两直线平行，同位角不相等D.两直线平行，同位角相等

二、填空题（本题共6小题）

61.把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么….”的形式为.

62.命题“同位角相等”的条件是.

63.定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于的逆定理是：.

64.请举出一个关于角相等的定理：.

65.若要说明命题“若则且＞2”是假命题，c的值可以是.

cc

66.甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数

最高为10）,且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为

三、解答题（本题共4小题）

67.判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假:

（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；

（2）如果。＞8,那么标＞从；

试卷第15页，共16页

（3）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；

（4）如果"<0,那么。>0,b<0.

68.证明：此=写写25是平方数.

”-I个1。个2

69.如图，AD〃BC,/比1。的平分线交CO于点厂，交3C的延长线于点E,

NCFE=NE.

求证：+Z5C£>=180°.

请将下方的讦明过程补充完整：

证明：VAD||BC,

（理由：

•.•力七平分/84Q,

：._=4BAE.

/BAE=Z£.

ZCFE=NE,

:"CFE=ZBAE,

（理由:_）.

.•.NA+N4CQ=180。（理由：_）.

70.已知：机是正整数，且疝是偶数.求证：〃，是偶数.（注：利用反证法证明）

试卷第16页，共16页

1.c

【分析】本题考查了命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题.非陈述句或无法判断真

假的语句不是命题，直接利用定义对各选项进行判断即可.

【详解】解：A.两点之间，线段最短是陈述句，且符合几何公理，可判断为真，是命题.

B.鸟是动物是陈述句，杈据生物学分类可判断为真，是命题.

C.连接4A两点是祈使句，表示动作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题.

D.无论〃为怎样的自然数，式子〃2-〃+11的值都是质数是陈述句，可判断真假，属于命题.

故选：C.

2.A

【分析】本题考查了命题的定义，根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题.分析

各选项是否为陈述句且可判断真假即可.

【详解】解：A"延长线段力。”是作法,而非陈述事实，无法判断真假，不是命题：

B“两点之间，线段最短''是陈述句，符合几何公理，为其命题；

C.“同位角相等”是陈述句，在特定条件下可判断真假（如平行线中为真，否则为假），属于

命题；

D.“如果、2=1,那么x=l”是条件陈述句，结论虽假（x可为±1）,但仍可判断真假，属于

命题，

故选：A.

3.B

【详解。本题考查命题，判断事件的语句叫命题.掌握对事件是否作出了判断是解题的关键。

根据命题的定义逐一分析是否对事件作出了判断，即可得出答案.

【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；

②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题：

③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；

④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；

⑤对事件作出了判断（式子〃2一〃+U的值都是质数），是命题；

⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题.

综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个，

故选B.

4.D

答案第1页，共27页

【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事

项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成，,如果…那么…''形式，题设写在如果

的后面，把结论写在那么的后面.

命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么

的后面是题设.

【详解】解:命题“度数之和为90。的两个角互为余角”写成:如果两个角的度数之和等于90。，

那么这两个角互为余角，

••・命题”度数之和为90。的两个角互为余角”的条件是度数之和为90。的两个角.

故选：D.

5.同位角相等两直线平行

【分析】本题考查了命题，熟练掌握命题的结构特点是解题的关键.

由命题的题设和结论的定义进行解答.

【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”

所以“同位角相等“是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分；

故答案为：同位角相等；两直线平行.

6.两个数的绝对值相等这两个数互为相反数

【分析】本题考查命题的改写，将命题改写成如果…，那么…的性质，如果后面是条件，

那么后面是结论，作答即可.

【详解】解：原命题可写为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数，

二命题的条件是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数，

故答案为：两个数的绝对值相等，这两个数互为相反数.

7.D

【分析】根据对顶角定义，同一平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐

一判断选项.

【详解】解：A选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等包不

是对顶角，因此A是假命题；

B选项：♦.♦在同一平面内，1_!_石，blc,.-.a//c,因此B是假命题；

C选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行,

因此C是假命题；

答案第2页，共27页

D选项：根据平行公理的推论，平行于同•条直线的两条直线互相平行，♦••a||6,clM,

:.aIIc,因此D是真命题.

8.A

【分析】根据等量代换，平行线的性质，平方的性质，逐一判断各命题真假，即可得出结论.

【详解】解：A、若N1=N2,/2=/3,贝l」Nl=N3,原命题是真命题，符合题意；

B、只有两直线平行时，同位角才相等，原命题是假命题，不符合题意；

C、如果/=/,则a=b或。=T）,原命题是假命题，不符合题意；

D、如果直线［,九b//c,那么原命题是假命题，不符合题意：

9.D

【分析】根据平行线的判定、平行公理、对顶角的性质逐一即可判断.

【详解】解：A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，符合几何定理，是真

命题，该选项不符合题意；

B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是平行公理内容，是真命题，该选项

不符合题意；

C、对顶角相等，是对顶角的基本性质，是真命题，该选项不符合题意；

D、平行线的判定定理为同旁内角互补，两直线平行，同旁内角相等不能推出两直线平行,

原命题是假命题，该选项符合题意.

10.B

【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，要说明原命题是假命题，需找到满足题

设（。是非零有理数）但不满足结论信=-1］的反例，根据绝对值的性质，正有理数的绝

对值是其本身，此时向川工一1,因此我正有理数即可.

【详解】解：••・当。=1时，。是有理数，

又...同=W=i,

即存在有理数。=1，使得百工一1，故原命题是假命题；

对于A选项，。=-1时，*=?=T,符合结论，不能说明原命题为假命题;

答案第3页，共27页

对于C选项，时，向=一尚=一1，符合结论，不能说明原命题为假命题；

2

对于D选项，。=乃是无理数，不满足题设“。是有理数”，不能作为反例说明原命题为假命

题.

故选：B.

11.C

【分析】本题考查命题与定理.反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出

正确的选项.

【详解】解：能说明命题“若则a>/），，是假命题的只有。=一3,/>=-2,此时

但avb,

故选：C.

12.D

【分析】本题主要考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键.

反例需满足/1+/2>90。且至少有一个角不大于45。.

【详解】解：A、Nl+N2=90。，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意：

B、Zl+Z2>90°,且/I、N2都大于45。，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；

C、N1+N2<90。，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意；

D、/1+/2>90。，且/1<45。，可以说明它是假命题，故选项符合题意.

故选：D.

13.如果。=0或6=0,那么ab=0

【分析】本题主要考杳了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位

置.，即可得到原命题的逆命题.

【详解】解：“如果帅=0,那么。=0或力=0.”的逆命题是：如果。=0或"0,那么

ab=0.

故答案为：如果a=0或力=0,那么帅=0.

14.假

【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定是解

题关键；

逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的，即“如果两条直线垂直于同一条直线，那

答案第4页，共27页

么这两条直线平行在同一平面内，该命题才成立，据此判断即可.

【详解】解：原命题的条件是“两条直线平行”，结论是“这两条直线垂直于同一条直线”.逆

命题为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行在同一平面内，根据垂直

的性质定理，垂宜于同一直线的两条直线互相平行，在同一平面内成立.，在空间中，垂直于

同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，因此该逆命题是假命题.

故答案为：假.

15.最短的线段是垂线段

【分析】本题考查了逆命题的概念，弄清原命题的条件和结论部分，再互换位置则可得逆命

题.

【详解】解：原命题“垂线段最短”可表述为“如果一条线段是垂线段，那么它是最短的”.根

据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到逆命题“如果一条线段是最短的，那么它

是垂线段”,即“最短的线段是垂线段故答案为：最短的线段是垂线段.

16.（［）IG//JH,AB//CD

（2）见解析

⑶真

【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可：

（2）根据平行线的性质和判定证明即可；

（3）根据题意，直接写出结论.

【详解】（1）解：己知：如图，EF分别交4B,CO于G,H,GI平分/AGH,用平分

/DHE,IG//JH.求证：AB//CD.

（2）证明：•••G/平分4G”

ZAGH=2Z.IGH

47平分ZD//E,

/.4DHE=24HG

「1G〃JH,

：.AIGH=NJHG,

NAGH=NDHE

/.AB//CD-

（3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题.

17.①②，③，证明见解析.（答案不唯一）

答案第5页，共27页

【分析】根据平行线的性质可得NDEA=^EAC,再由角平分线的性质可得/DAE=/EAC,

再利用等量代换可得ZDAE=NDEA•

【详解】解：已知①②，求证:③，

证明:•••QG〃4C,

；./DEA=/EAC,

•••力/平分/84C,

：.NDAE=/EAC,

AZDAE=/DEA.

故答案为:①②：③.

【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，

内错角相等.

18.见解析

【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直.

题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；

结论：它们互相垂直.是其命题；

如图，/AOB,NBOC是邻补角，0M,ON分别平分/力。8,/BOC.

19.NDAE；两直线平行，内错角相等：/DAE；AB；8；同位角相等，两直线平行;

两宜线平行，同旁内先互补.

【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定和性质补充证明过程即可.

【详解】证明：vAD//BC,

ND4E=NE（理由：两直线平行，内错角相等）.

•；AE平分/BAD,

NDAE=NBAE.

/./.BAE=Z.E.

Z.CFE=NE,

ZCM1=4BAE.

答案第6页，共27页

AB//CD（理由：同位角相等，两直线平行）.

.•.N8+4CQ=180。（理由：两直线平行，同旁内角互补）.

20./ECB；两直线平行，同位角相等；/ECB；等量代换；同位角相等，两直线平行

【详解】证明：-CE//OA（已知），

："AOB=/ECB（两直线平行，同位角相等）；

•:/EPF=NAOB,

："EPF=/ECB（等量代换）；

：.DF//OB（同位角相等,两直线平行）.

21.证明过程见解析

【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可.

【详解】证明：♦.•/1=N2（已知）.

:"ABE=/DBC（等式性质1）.

乂♦：N3=NABE（已知），

:.N3=NDBC（等量代换），

EFIIBC（内错角相等，两直线平行），

•/ZJDC+ZC=180°（已知），

：.AD〃BC（同旁内角互补，两直线平行），

AD//EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.

22.B

【分析】本题考查定理与逆定理的概念.定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真

时，才能称为逆定理.选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原

命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真.

【详解】解：•••定理的逆命题不一定是真命题，

只有当逆命题为真时，才有逆定理，

•••选项B正确.

•.•选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命

题，故无逆定理，

•••A错误.

・••选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假

命题（如“对顶角相等”），

答案第7页，共27页

••.c错误.

•.•选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题，

••.D错误.

故选B.

23.B

【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再

判定结果是否是真命题即可.

【详解】解：A.“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”,

是真命题，故该选项正确，不符合题意；

B.”全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等"，是假命题，故该选

项不正确，符合题意；

C.”两百线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两自线平行”,故该选项F确,不

符合题意；

D.“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故

该选项正确，不符合题意；

故选：B.

24.C

【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别(是否需要

证明)及相互关系.

根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性.

【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据•：定理是经过公理或

已有定理证明的真命题.

A：公理和定理都是真命题，此说法错误；

B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误；

C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确；

D：公理无需证明即可使用，此说法错误.

故选：C.

25.⑴孙，/

(2)见解析

(3)见解析

答案第8页，共27页

【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质.

(1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问

题；

(2)不等式的两边同时加上同一个数人得。+/，<6+方=26,不等式的两边同时除以同一个

正数2,由此即可证明问题；

(3)设这三个自然数分别是k-1,k,Z+1,其中将这三个自然数求和即可得出结

论.

【详解】(1)解：证明：且x,1'均为正数，(己知)

・•.不等式的两边都乘以同一个正数x,得一>号，(不等式的基本性质)

不等式的两边都乘以同一个正数歹，得(不等式的基本性质)

x2>/.(不等式的传递性)；

故答案为：“，?;

(2)证明：a<b,

・•.不等式两边同加上b,na+b<2bt

・•・不等式两边同时除以2,得等〈人；

(3)解：真命题，

证明：设这三个自然数分别是k,〃+1,其中421,

:.(k-l)+k+(k+\)=3k,

V3k能被3整除，

.••这三个自然数的和能被3整除.

26.见解析

【分析】先将原式各项变形为同底数塞的形式，再通过提取公因式化简原式，若化简结果含

有因数3,即可证明原式能被3整除.

【详解】V102X5,2-257

=(2X5)2X5,2-(52)7

=22X52X5,2-514

=4X5,4-1X5U

=(4-l)x514

答案第9页，共27页

=3x514

又•••力是正整数

•••3x5”含有因数3

•••1()2x512—25,能被3整除.

27.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查同底数塞的乘法和寝的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题

的关键.

(