2025-2026学年广东省广州市部分学校高二（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年广东省广州市部分学校高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.若集合4={x||x|<3},B={A|X=2/;+1,nEZ},则4rl8=()

A.(-1,1)B.(-3,3)C.{-1,1}D.{-3,-1,1,3}

2.若z=/2。则z•三=()

A.-2B.-y/2C.gD.2

3.已知=ao+a\i4-aji24-4-air14-»则。2=()

A.-10B.-40C.10

4.函数月（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（

八.3是/（工）的极小值

B./（x）的极值点有3个

C./（x）在区间（-8,3）上单证递减

D.曲线月Xx）在x=l处的切线斜率小于零

5.已知数列{〃”}满足“',«।-«,-,则〃“=(

)

1+n

A.-LB.2,C.11

2it〃+1n4*1

6.已知P|；l・l人为，过点P作恻C：(x-4)2+(y-a-\)2=1("为参数,且旄H）的两条切线分别切圆C

于点4、B,则sin41P8的最大值为()

I,*

A.IB.C.—D.

22

7.设函数/(x)=min{x2-l,x+1,-x+1},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者.若/(a+2)>f(a),

则实数。的取值范围为（）

A.(-1,0)B.[-2,0]

C.(―,.2)u(-1,0)D.[-2,十a

)

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.已知函数〃川一一♦，则（）

■5

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A.2R为g）的一个周期B.y=fCx）的图象关于直线上=三对称

CJG+7T）的一个零点为:D./（X）在区间（］，外上单调递减

«>£

1（）.下列命题中正确的是（）

A.若回归方程为y=-0.45x+0.6,则变量y与x成负相关

B.数据9,10,10,11,12,14,16,17,19,21的上四分位数为17

C.某校高三年级男生的身高X（单位：cm）近似服从N（170,52）,随机选择一名该校高三年级的男生,

则P（175<%<180）=0.2718（若X〜N（巾a2）,则P（rpWXW心）比0.6827,P（…☆这（+2。）

合0.9545）

D.已知数据XI、X2、…、XIO的平均数r3»方差为设H=2XL1"=1，2,…，10）,数据V、）,2、…、

yio的方差为.、；，数据Xi、》2、…、xio、y、/、…、yio的方差为F，贝伊；

11.如图，尸是棱长为1的止方体力的表面上一个动点，E为梭人&

的中点，。为侧面力。。小的中心.下列结论正确的是（）

A.OE_L平面48cl

B.AB与平面48G所成角的余弦值为斗

C.若点P在各棱上，且到平面4BG的距离为出，则满足条件的点P有9个

（»

D.若点夕在侧面ACC外内运动，且满足俨目=1,则存在0点，使得小夕与4G所成角为6（）。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若双曲线土'厂-1的一个焦点坐标为（2,0）,则双曲线离心率为—.

m3m

13.某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同

选法有一种.

14.已知圆。的半径为1,直线以与圆。相切于点力，直线P8与圆。交于8,C两点，。为8c的中点.

若PO=v?，则PA,k75的最大值为一•

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

在△"C中，4、B、。所对的边分别为〃、仄瓯I,4的角平分线交8C于点力，且彳。=1.

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（1）求力的大小；

（2）若a-2\5，求△力8c的面积.

16.（本小题15分）

已知函数,/（x）=e'—a（x+2）.

（1）当。=1时，讨论"）的单调性;

（2）若/（x）有两个零点，求。的取值范围.

17.（本小题15分）

如图所示，已知四棱锥P-48C。中，Z.ABC=Z-ADC=90°,BC=CD=PA=PB=PC=PD=2.

（I）求证：8DL平面产力C；

（2）当四棱锥尸"8CO的体积最大时，求二面角28c-4的大小.

18.（本小题17分）

已知抛物线。：y=2px经过点彳（1,2）,B（xo,yo）是抛物线C上异于点力的动点，且x＜）Wl.

（1）求直线力4的斜率依8（用次表示）：

（2）设不经过点力的直线/与。交于M,N两点，且直线4，必，/N的斜率之和为1.

①求证：直线/恒过定点。：

②若向量V。一且,'I.1，求的面积S的取值范围.

19.（本小题17分）

甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式，当球在甲手中时，

若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留，当球在乙手中时，若骰子点数大于

4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙，当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球

传给甲，若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙•初始时，球在甲手中.设投掷〃次后,球在乙手中

的概率为Pn.

（1）求尸2和尸3；

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（2）求数列｛P〃｝的通项；

⑶设七■二吗二数列协”｝的前〃项和为s”若证明：/,,<

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1.【答案】C

2.【答案】。

3.【答案】。

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AC

10.【答案】ABD

11.【答案】AC

12.【答案】2

13.【答案】14

14.【答案】.

2

15.【答案】解：(I)因为M小.4,

由正弦定理可得、”1.I、/”/，1,

Be(0,花)，

则sin8>0,所以AU.I-故，““jl-\3.

AE(0,it),

则.1与

•>

(2)由题意可知Sy8/)+S&/CD=SiC，

力的角平分线交8c于点。，

则,J1〃.I!1:，化简可得b+c=hc,

JJ

在△45C中，由余弦定理得w.l.：6-rr-2/M-<rI

2br2bc2

从而".I解得丘5或尻7(舍)

2br2

所以、A,r,,rju.

j」_*

16.【答案】解：由题意，/(x)的定义域为(・8,+8),且/(x)=e5

(1)当。=1时，f(x)=ex-\,令/‘(x)=0,解得x=0,

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.••当・尤(-8,o)时，/Cv)<0,/(%)单调递减，

当:任(0,+8)时，r(x)>0,/(x)单调递增，

：.f(X)在(-8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；

(2)①当时，/(x)=四心0恒成立，

f(x)在(-8,+8)上单调递增，不合题意；

②当时，令f(x)=0»解得x=lna,

当工£(-8,ma)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

当尤(Ina,+8)时，/(x)>0,/(x)单调递增，

：.f(X)的极小值也是最小值为/(Ina)=a-a(lna+2)=-a(1+ln(7)»

又当x--8时，/(x)->4-oo,当T—+8时，f(x)f+8,

.••要使/(x)有两个零点，只要/(Ina)V()即可，

则l+lna>0,可得a>»

e

综上，若/(x)有两个零点，则a的取值范围是(L+8).

C

17.【答案】(1)证明：因为BC=CD,乙18C=乙4QC=90°,AC=AC,

所以RtAABgRtAADC,所以AB=AD,

设,4。。4。=0，连接P。，则

点。为的中点，又尸8=尸。，所以PQ工BD,

乂&DQC=^BQC,且4。。。+28。。=180°,

所以4cl8。，又力CnPQ=。，AC,PQu平面4C,

所以8。1平面P4C；

(2)解：由(1)可知，4DL平面21C,4Qu平面力8。0,

所以平面”CDL平面PAC,

取，4C的中点为O，连接P。，则POL4C,

又平面48co0平面力。=力C,POu平面4C,

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所以尸CLL平面片8C。,

过点。作0"，8C,垂足为“，连接PH,

则P/AL4C,所以乙为二面角P-BC-A的平面角,

因为四棱锥P-ABCD的体积为:

/*AUCD"r,xS,u/c。*-x\AD\x\BC\x\PO\

当且仅当7「3即|.IO/i时体积最大,

乎.=/可一呼尸=乎，

此时OH

在Rf△尸OH中，，皿.（川］，所以"“0=45°,

所以二面角P-BC-A的大小为45°.

18.［答案］卜..①证明：设直线A/N的方程为M（xi,y\）,N（X2>j>2）（Ji，及-2），

加+-

因为"，N两点均在抛物线上，

所以U；Hi./1/.,

联立｛『_；,消去x并整理得尸4〃少4=0,

此时△=(4«)2-4(-4。=I6/»2+16r>0,

由韦达定理得yi+g=4m，w=-4八

_,4I

所以人Q"人U-7)一»一，

2加+2

即4(户+2)+4(yi+2)=("+2)(yi+2),

所以2(yi+/),必+12=0,

此时2〃i+/+3=0,

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所以直线MN的方程为x=niy-2m-3，

即x+3=m(y-2),

则直线MV过定点，该点坐标为0(-3,2)；②(0,12]

19.【答案】解.：(1)根据题目定义：当球在甲手中时，若骰子点数大于3,

则甲将球传给乙，若点数不大于3,

则甲将球保留，当球在乙手中时，

若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，

若点数不大于4,则乙将球传给诙，

当球在丙手中时，若骰子点数大于3,

则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3,

则丙将球传给乙.

当投掷2次骰子后，球在乙手中，共有1种情况：甲•甲”乙，其概率为：x：-故:，

当投掷3次骰子后，球在乙手中，共有3种情况：

①：甲一乙一甲一乙，其概率为:x1x*=1

1211

②：甲一乙一丙一乙，其概率为

/JO

③：甲一甲一甲一乙，其概率为：X：X；・

LLL

所以投掷3次后，球在乙手中的概率为出'1•'

12bMo

(2)根据题目定义：当球在甲手中时，若骰子点数大于3,

则甲将球传给乙，若点数不大于3,

则甲将球保留