函数模型的应用（讲义）学生版-2027届高三数学一轮复习

2.10函数模型的应用

课标要求考情分析

◎考点考法：高考命题常以指数、对数、

I.了解指数函数、对数函数、事函数

累函数及分段函数为载体，考杳利用函

的增长特征；结合实例体会直线上升、

数模型解决实际问题，与指数、对数函

指数爆炸、对数增长等不同函数类型增

数相关的数学文化、社会热点等问题是

长的含义.

高考热点，常以选择题形式出现.

2.了解指数函数、对数函数、塞函数、

◎核心素养：直观想象、数学运算、数

分段函数等函数模型的广泛应用.

学建模.

会底固本主干知识整合'自主落实

I体系构建

函数模型函数解析式

一次雨豺模型八*)="£+加".〃为常数.

六

种二次南沿慨里为常数

常

见,指数函数模型为一数.aX)11<101,6#(>)

的

函

数时教函数模型人"为常数.aX)IL

9

V.游函数怅型f(x)^ax^b(a9b9n为常数

“对勾”函数模型产"-j-(<i为常数.a>0)

类别>=log^(a>l)

在(0.+8)上的单调性增雨数增雨数增雨数

增长速度越—越快「一越一相对平检

图纹的变化随、值懵大.图望Lj迎接近平行随1值增大,图纹与呦接近平行随“值变化而不对

陶嬲阳=

暴函数模型)，=?(〃>())可以描述增长速度的变化，当〃值较小(〃WI)时，增长较慢；当

〃值较大(〃>1)时，增长较快.

B獭自罚=

1.设甲、乙两地的距离为。(。>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙

地休息10分钟后，他乂匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经

过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()

2.在某个试验中，测得变量x和变量），的几组数据如下表所示:

X0.501.092.013.98

y-0.990.010.982.00

则对X,），最适合的拟合函数是（）

A.y=2xB.y=x2—1

C.y=2x~2D.y=log2X

3.下面对函数;（RMlogp与g（x）=G＞在区间（0,+8）上的衰减情况的说法正碓的是

（）

A.人工）的衰减速度越来越慢，虱工）的衰减速度越来越快

BJ&）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越慢

c._/u）的衰减速度越来越慢，必幻的衰减速度越来越慢

D.人x）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越快

4.某超市的某种商品的日利润M单位：元）与该商品的当日售价M单位：元）之间的关

系为），=一条+121—210,那么该商品的日利润最大时，当日售价为元.

5.学校在体育课中组织学生进行排球练习，某同学以初速度研）=12m/s竖直上抛一排

球，该排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留________s（结果保留两位小数）.（注：若不

计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度Mm）与时间/⑸满足关系式〃=加一/凡

其中g=9.8m/s2,^655^25.593）

学枕能2核心考点突破紊能培优

考点一用函数图象刻画变化过程层础考点自练自悟

1.某工厂6年来生产某种产品的情况是前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年

产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间《年）的函数关系图象正确的是

)

036l036/()36t()36t

ABCD

2.如图，一高为”且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中

匀速流出，水流完所用时间为r若鱼缸水深为。时，水流出所用时间为/,则函数〃=«)的

图象大致是()

3.已知正方形A4CD的边长为4,动点夕从3点开始沿折线3CD4向A点运动.设点

P运动的路程为X,/XABP的面积为5,则函数S=/(x)的图象是()

B

D

练后悟

判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)脸证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否

吻合，从中排除不符合实际情况的答案.

考点二已知函数模型求解实际问题重难考点师生共研

例1(1)(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体

的初始温度为仇C,空华温度取℃保持不变，则/分钟后物体的温度级单位：C)满足：0

=6+(仇一时e。。夕.若空气温度为10℃,该物体温度从仇=(90W阴W100)下降到30℃,大

约所需的时间为力，若该物体温度从70℃,50℃下降至|30℃,大约所需的时间分别为小

打，则()

(参考数据：In2合07,ln3F.l)

A./2=2()B.28W"W30

C.力22"D.力一

(2)(多选)新课标I卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定

义声压级%=20义1g占其中常数〃。3)>0)是听觉下限阈值，〃是实际声压.下表为不同声

源的声压级：

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为⑶，0，

P3,则（）

A.P\^P2B.P2>I0/73

C.〃3=1OOpoD.pW100〃2

题后导学

已知函数模型解决实际问题的关键

(I)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.

(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.

r对点训练

1.声音的等级人幻(单位：dB)与声音强度工(单位：W/n?)满足«x)=10Xlg看.喷气

式飞机起飞时，声音的等级约为140dB.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音

强度的1()8倍，则一般说话时声音的等级约为()

A.120dBB.100dB

C.80dBD.60dB

2.冰箱、空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使

臭氧量Q呈指数函数型变化.当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式Q=

。,©。・屹叫其中Q°是臭氧的初始量，e是自然对数的底数，f是时间，以年为单位.若按照

关系式。=。0七《侬5r推算，经过小年臭氧量还保留初始量的四分之一，则历的值约为(In

2-0.693)()

A.584年B.574年

C.564年D.554年

考点三构建函数模型解决实际问题多维探究发散思维

角度1构建二次函数'分段函数、“对勾”函数模型

例2小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小

型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，

在年产量不足8万件时，川(幻=9+/(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)=()x+~

38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

⑴写出年利润万元)关于年产量吊万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收入

—固定成本一流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

导学

建模解决实际问题的三个步骤

⑴建模：抽象出实际问题的数学模型.

(2)解模：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解.

⑶回归：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问

题中，得到实际问题的解.即:

角度2构建指数函数、对数函数模型

例3(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如

果按此速度，设2024年的冬季冰雪覆盖面积为〃?，从2024年起，经过x年后，北冰洋冬季

冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()

XX

A.y=0.95^mB.y=(l—O.OS50)-///

C.y=0.9550-"】D.^=(I-().()550A)./M

（2）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。（＜m/s）和燃料的质量M（kg）、火蓊（除

燃料外）的质量〃?（kg）的函数关系是u=2000ln（1+知.按照这个规律，当1000^=8///时，

火箭的最大速度为vi:当1000A/=4〃?时，火箭的最大速度为°2.则S—62（参考数据：怔^7

Q0.004)()

A.8.0km/sB.8.4km/s

C.8.8km/sD.9.0km/s

题后导学

指数（对数）函数模型的应用技巧

（I）与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，

在两类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、

银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型；对数函数模型（底数大于1）是增长速

度越来越慢的一类函数模型.

（2）在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析

式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.

F对点训练

1.运货卡车以xkm/h的速度匀速行驶300km,按交通法规限制50WxW100（单位:km/h）,

假设汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油（4+益L,司机的工资是每小时46元.则这次

行车的总费用的最低值是元.

2.为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100

mL,小于80mg/100mL的驾驶行为为酒后驾车，80mg/100mL及以上认定为醉酒驾车.假

设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100mg/100mL.如果停止喝酒

后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过个小时才能

驾驶汽车.（参考数据：怆5弋。7,lg7%0.85）

课时作业知能达标训练'吼困梃升

A级基础过关

1.下列函数，随着x的增大，），也增大，且增长速度最快的是（）

A.>'=0.00le'B.y=10（）01nx

C.j=x,00°D.y=1000X2,

2.某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出

售，每件还获利（）

A.25元B.20.5元

C.15元D.12.5元

3.据统计，第x年其湿地公园越冬的白鹭数量M只）近似满足y=0og3（x+l），观测发

现第2年有越冬白鹭100（〕只，估计第5年有越冬白鹭。112弋0.7,ln3F.I）（）

A.1530只B.1636只

C.1830只D.1930只

4.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型

来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x（单位；mg）与给药时间《单位：h）近似满足函

数关系式In（履）=lnk（）+ln（1一晨,，其中ko,k分别称为给药速率和药物消除速率（单位：

mg/h）.经测试发现，对于其种药物，给药时间12h后，人体内的药物含量为云，则该药物

的消除速率2的值约为（）

（参考数据：In2-0.693）

A.0.1055B.0.1065

C.0.1165D.0.1155

5.（多选）放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质

数量随时间/的衰变公式Na）=Me：,M表示物质的初始数量，z是一个具有时间量纲的数,

研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半

所需的时间,已知In2=0.7,下表给出了铀的三种同位素。的取值.若铀234、铀235和铀

238的半衰期分别为力，T2,二，贝lj（）

物质r的量纲单位。的值

铀234万年35.58

铀235亿年10.2

铀238亿年64.75

A.T=rln0.5B.T与i•成正比例关系

C.TI>T2D.73>10OtXJTj

6.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残

留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量），（单位；mg）与时间7（单位；年）近似

满足关系式）=人（1-3%），iWO,其中2为抗生素的残留系数，当，=8时，，），=/，则2=

7.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量入钢毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满

5r2,0WW1,

足表达式火x）={3仕、《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员

式可,X>1,

血液中酒精含量不得超过0.02亳克/亳升，此驾驶员至少要过_______小时后才能开车.（精

确到1小时）

8.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60。（如图），考虑

防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为％有n?,且高度不低于而m.

记防洪堤横断面的腰长为xm,外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为ym.要使防洪

堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长x-

9.甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，A区域用来打造

休闲区域，6区域用来种植辣椒，C区域用来种植青菜，。区域用来种植大蒜.己知B,D

两区域是边长为x米的全等正方形，打造休闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每

平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费

25元.

A

B\C\D

（1）用y（单位：平方米）表示C区域的面积，求），关于x的函数解析式；

（2）当x为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？

B级能力提升

10.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%,最

初有No只，则能达到最初的1200倍大约经过（）

（参考数据：In1.06=0.0583,In1200^7.0901）

A.122天B.124天

C.130天D.136天

11."百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，希望能在短时间内最

大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得

令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某

班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造J'一个

经过时间“30W/W100）（单位：天），增加总分数少）（单位：分）的函数模型：&）=［+］；kp/+］）,

k为增分转化系数,P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且五60）=卷P.现有某学生在

高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总

分约为（保留到个位）（lg61^1.79）.

12.杲共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240力元.根据行业规定，每个城市

至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益户与投入”（单位: