《频率的稳定性》教案

第十章概率

10.3.1频率的稳定性

一、教学目标

1.通过实验能让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估

计出某一事件发生的频率.

2.通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价

值.

3.通过对频率的稳定性的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。

二、教学重难点

1.理解频率和概率的区别和联系.

2.大量重更实验得到频率的稳定值的分析.

三、教学过程：

(1)创设情景

阅读课本，完成下列填空：

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_________,即事件A发生

的频率fn(A)会逐渐事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳

定性.因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).

<2)新知探究

问题1：小组合作探究概率与频率的区别与联系

学生回答，教师点拨并提出本节课所学内容

(3)新知建构

概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确定

的值，它反映随机事件发生的可能性的大小

概率与频率的联系：频率是概率的估il值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率

(4)数学运用

例1.给出下列说法：

①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中的频繁程度；

②每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；

③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1：

④频率就是概率.

其中正确的是()

A.①B.①®@C.①②D.③④

【答案】C

【解析】对•于①，根据频数和频率的定义知，频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中

的频繁程度，所以①正确；

对于②，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数，所以②正确；

对于③，每个试验结果出现的频率之和一定等于1,所以③错误；

对于④，频率是一个实验值，是随实验结果变化的，概率是稳定值，是不随实验结果变化的,

所以④错误.

综上知，正确的命题序号是①②.故选：C.

变式训练1：(多选)下列说法正确的有()

A.概率是频率的稳定值.频率是概率的近似值：

B.一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；

C任意事件A发生的概率P(A)总满足O<P(A)<1；

D.若事件A的概率趋近于0,即P(A)~0,则事件A是不可能事件.

【答案】AB

【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律.在大量重复试验时，频率

具有一定的稳定性，总在某个常数附近投动，且随着试验次数的不断增加，这种投动幅度越

来越小，这个常数叫做这个事件的概率.

・••随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.・,・A正确.

•・•基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，，一次试验中，不同的基本事件不可能同

时发生.・・・B正确.

•・•必然事件的概率为1,K可能事件的概率为0,随机事件的概率大于0,小于1,・••任意事

件A发生的概率P(A)满足OWP(A)Wl,・,・C错误.

若事件A的概率趋近于0,则事件A是小概率事件，・・・D错误

・••说法正确的有两个，故选:AB.

变式训练2:(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题有()

A.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上，因此，出现正直朝上的概率是葛

B.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率

9

C.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是一

JVZ

D.随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率

【答案】CD

【解析】对于A,混淆了频率与概率的区别，故A错误；

对于B,混淆了频率与概率的区别，故B错误；

9

对于C,抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是一，符合频率定义，

50

故C正确；

对于D,频率是概率的估计值,故D正确.故选:CD.

例2.有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后,指针指

向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，

若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下

三种方案中选一种：

A.猜“是奇数”或“是偶数”

B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”

C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”

请回答下列问题：

（1）如果你是乙,为了尽可能获胜，你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么？

（2）为了保证游戏的公平性，你认为应制定哪种猜数方案?为什么？

（3）请你设计一种其他的猜数方案,并保证游戏的公平性.

【答案】（1）应选方案B,猜“不是4的整数倍数”；（2）应当选择方案A;

⑶可以设计为:猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”

【解析】（D如题图,方案A中“是奇数”或“是偶数”的概率均为旨0.5;方案B中“不是

4的整数倍数”的概率为合。.8,“是4的整数倍数”的概率为含。.2;方案C中“是大于4

的数”的概率为导0.6,“不是大于4的数”的概率为卷=0.4.乙为了尽可能获胜，应选方案

B,猜”不是4的整数倍数”.

(2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A.因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率

均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.

(3)可以设计为:猜”是大于5的数”或“不是大于5的数”，此方案也可以保证游戏的公平

性.

变式训练:某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超

市购物的10()名顾客的相关数据，如下表所示：己知这100位顾客中一次性购物超过8件的

顾客占55%.

一次性购物数1至5至9至17件及以

13至16件

量4件8件12件上

顾客数(人)X3025y10

结算时间(分/

11.522.53

人)

(1)求x,y的值：

(2)求•位顾客•次购物的结算时间超过2分钟的概率.

【答案】(1)x=15,y=20；(2)0.3.

25+y+10=55,

【解析】(1)由已知得5+30=45,

所以x=15,y=20.

(2)设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，

事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，

事件A2为“一位顾客一次购

物的结算时间为3分钟”，

2010

所以P(A)=P(Al)+P(A2)=100+100=o,3.

例3:2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国

确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得

到如下频数分布表：

年龄（岁）[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数50a32D30080

（I）求@的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点

值作代表）

（II）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.

【答案】（I）。=250,平均数为52.2；（H）0.38.

【解析】（I）由题意知50+4+320+300+80=1000,

••・。=250,

,……10x50+30x250+50x3204-70x300+90x80…

年龄平均数=---------------------------------------------=52.2.

1000

（II）1000人中年龄不小于60岁的人有380人，

所以年龄不小于60岁的频率为二丝=0.38,

1000

用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为0.38.

四、小结：

1.频率的稳定性

2.概率与频率的区别：频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的；概率是一个确

定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小

概率与频率的联系：频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率

A级必备知识基础练

L［探究点一］下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法

正确的是（）

A.频率就是概率

B.频率是随机的，与试验次数无关

C.概率是稳定的，与试验次数无关

D.概率是随机的，与试验次数有关

2.［探究点—・2023湖南岳阳湘阴期末］某网站举行购物抽奖活

动，规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会，中奖的概率

为10%.那么以下理解正确的是（）

A.某人抽奖100次，一定能中奖10次

B.某人消费1。00元，至少能中奖1次

C.某人抽奖1次,一定不能中奖

D.某人抽奖10次，可能1次也没中奖

3」探究点一］关于天气预报中的喋地降水概率为10%”,下列

解释正确的是（）

A.有10%的区域降水

B.10%太小，不可能降水

C.降水的可能性为10%

D.是否降水不确定』0%没有意义

4.（多选题）［探究点一］某篮球运动员在最近几次参加的比赛

中的投篮情况如下表：

投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数

10()5518

记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事件4投中三

分球为事件我没投中为事件C,用频率估计概率的方法，得到

的下述结论中，正确的是（）

A.P（A）=Q55B.P（B）=0.18

C.P（0=O.27D.P（8+O=0.55

5」探究点一］一袋中有红球3只，白球5只，还有黄球若干只,

某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋

中的黄球约有只,每次摸球，摸到白球的概率

为.

6」探究点二］一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概

率，公司收集了20000部汽车的相关信息，时间是从某年的5

月1日至IJ卜一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃

破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似

是.

7.［探究点二］李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等

数学》，下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分

布：

成绩人数

90分以上43

80-89分182

70-79分260

60-69分90

50-59分62

50分以下8

经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等

数学》，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到

小数点后三位).

(1)90分以上;(2)60〜69分;(3)60分以上.

B级关键能力提升练

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机

模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先

由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定123,4表

示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表

三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15

9.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解

消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购

物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结

果如下表：

满意情况不满意比较满意满意非常满意

人数200H21001000

根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物

“比较满意”或“满意”的概率是（）

21113

A.isB.sC.isD.is

10.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮，有

人送来米2020石，验得米内夹谷,抽样取米一把，数得270粒

内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）

A.222石B.224石C.230石D.232石

11.（多选题）下列说法中不正确的有（）

A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面,所

以出现正面的频率是；

B.盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球，每种颜

色的球被摸到的可能性相同

C.从4321。,12中任取一个数，取得的数小于0和不小于

0的可能性相同

D.分别从2名男生,3名女生中各选1名作为代表，那么每名学

生被选中的可能性相同

12.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本

的频率分布直方图计算样本数据落在［6,10）内的频数

为，估计数据落在［2/0）内的概率约为.

13.一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下:在

［10,20）内的有2个;在［20,30）内的有3个;在［30,40）内的有x个;

在［40,50）内的有5个;在［50,60）内的有4个;在［60,70］内的有2

个，并且样本数据在［30,40）内的频率为0.2,则;

根据样本的频率分布估计，总体中数据落在［10,50）内的概率

约为.

14.深夜，某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出

租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中红色出租

车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车

的15%和85%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色

的，并对现场目击证人的辨别能力做了测试，测得他辨认的正

确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.警察

这一认定是的.(填"公平”或"不公平”)

15.某5G手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的

甲、乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲、乙两车间各抽

检了100件配件淇检测结果：

等级一等品二等品次品

甲车间配件频数553312

乙车间配件频数6527S

其中一、二等品为正品.

(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率；

⑵该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的2

倍.已知每件配件的生产成本为5元,根据环保要求，每件次品

需要处理费用为3元，厂家要求生产的每件配件的平均利润

不低于21.7元，求二等品每件的出厂的最低价.

c级学科素养创新练

16.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:

先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天

鹅做上记号,不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间,

让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一

定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只,

试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.

参考答案

i.c频率.指的是:在相同条件下重复试脸，

事件A出现的次数除以总数，是变化的.

概率指的是:在大量重复进行同一个试验时，事件4发生的频率总接近于某个常数,这个常

数就是事件A的概率，是不变的.故选C

2.D中奖的概率为10%是说明在一次抽奖时，他中奖的可能性有10%,但也可能抽奖10

次，一次也没中奖,D正确.故选D.

3.C根据概率的含义判定.

SS18

4.ABC依题意,P(4)18,

显然事件A.B互斥,P(C)=1-P(A+8)=1-P(A)-P(8)=0.27,

事件B,C互斥，则P(B+0=P(8)+P(C)=0.45,

故选项A,B,C都正确，选项D不正确.

故选ABC.

13_30

5.25设x为袋中黄球的只数,则由际?一荻,解得x=2.每次摸球，摸到白球的概率为

5_1

3*5*2=2

600

6.0.03P=2Q°°°=0.03.

7.解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等教学》

的人的考试成绩在各个段上的频率依次

431822M90628

为：320.067,64%0.282尸").403,&4k0.140冲卫0.096尸。.012.

用已有的信息，可以估计由王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如Y：

⑴将“90分以上”记为事件A,则P(A户0.067.

(2)将“60~69分”记为事件8,则P(B)-0.140.

(3)将“60分以上”记为事件C,则P(0-0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.

8.B易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以

6

p=20=0.25.

9.C由题意得,〃=4500-200-2100-1000=1200,所以随机调查的网上购物消费者中对网

3300_11

上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200+2100=33（）0,频率为45815.由此估计在

11

网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意''或"满意''的概率为'

301

।―

10.B由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒,即夹谷占有的概率为1所以2

1

020石米中夹谷约为2020x^224（石）.

ll.BCDB中，摸到白球的概率要小于摸到红球或黑、球的概率;C中,取得的数小于。的概

11

率大于不小于0的概率;D中,男生被选中的概率为司而女生被选中的概率为凡故BCD均

不正确.

12.640.4数据落在［6,10）内的频数为200x（）.08x4=64,落在［2,10）内的频率为

（0.02+0.08）x4=0.4,由频率估计概率知，所求概率约为04.

13.40.7由切=0.2,得产4,样本数据落在［10,50）内的频率为20吗所以估计总

体中数据落在［10,50）内的概率约为0.7.

14.不公平设该市的出租车有10（）0辆,那么依题意可得如下信息：

证人眼中的颜色（正确率80%）

类别真实颜色