2026年中考数学：直角三角形（知识解读+例题讲义）原卷版

第19讲直角三角形

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知识点1:直角三角形的性质与判定

知识点2：勾股定理及逆定理

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知识点1：直角三角形的性质与判定

1.两锐角之和等于90°

2.斜边上的中线等于斜边的一半

3.30°角所对的直角边等于斜边的一半

1,若有•条直角边等于斜边的•半，则这条直角边所对的锐角等于30°

性质（应用时需先证明）

2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则

直a+b=c

角

1.有一个角为90°的三角形时直角三角形

2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形

1,一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形

判定2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足

角

a'b'c，,那么这个三角形为直角三角形。

形

'其中'是底边常,hs是底边上的高

22

K

面积公式

6

知识点2：勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的

两直角边长分别为。，b,斜边长为c,那么

直角边

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,C,满足那么这个

三角形是直角三角形.

（3）勾股数：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股

数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

题型精讲—*

【题型1：直角三角形的性质与判定】

【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，点4、8分别在x轴和y轴上，点。为AS的中

k

点，反比例函数y的图象经过点C.若点夕的坐标为（。，6）,0C=5,则攵=

【变式1】如图，在口4BCD中，对角线4C、BD交于点O,4CJL力B,点E、尸分别为BC、CD

的中点，连接AE、OF,若AE=4,则。F=

【变式2】如图，菱形48。。的对角线力&BD相交于点OHE1BC,垂足为E,连接0£若8。=6,

0E=后，贝I」菱的面积是

【变式3】南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计图的一

部分，£是斜梁AC的中点，立柱力垂直于横梁8C.若AC=4.8m,ZC=30°,则EP的长

为m.

【题型2：勾股定理及逆定理】

【典例2］如图，在平面直角坐标系中，正方形A8CD的边48在x轴上，点8的坐标为

（1,0）.点E在边上.将△ADE沿AE折叠，点。落在点尸处.若点尸的坐标为

（。，3）.则点E的坐标为.

【变式1】如图，矩形。力8C的顶点0,4C的坐标分别是（0,0）,（3,0）,（0,2）fLJ0ADE

与矩形。相。周长相等，口。/。£*的面积是矩形O/WC面积的一半，则点。的坐标为（）

A.（3+，3,1）B.（3+V2,V2）C.（5,1）D.（3+，3,，3）

【变式2】如图，在△/WC中，tanC=。是边BC上一点，将△4C0沿力。翻折得到△

使线段AE、8C相交于点/，若CF=5,EF=2,则AC=

A

【题型3：勾股定理与弦图、拼图】

【典例3】如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图〃，得到大正方形48。。和小王方

形"GH,连接B。交C"于点P.若BP=BC,则tan“8G的值是（）

2瓜

A.V2-1B.2-V2D.-

【变式1】如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵

爽弦图此图案的示意图如图2,其中四边形A8CD和四边形EFG”都是正方形,

△凡△BCG,ACDH,△是四个全等的直角三角形.若EF=1,OE=4,则48

的长为

【变式2】如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为"赵爽弦

图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形.设图中HF=a，

ha

DF=b,连接/E,BE,若与△BE”的面积相等，则L3的值为

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1.下列各组数中，不能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.6,8,10C.5,12,13D.7,9,13

2.如图，以点。为圆心，OA长为半径画弧，交数轴于点8,则点8表示的数为（）

3.如图，在△48C中，AABC=90°,。为力C中点，若BD=2,贝伊0的长是（）

4.清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形的方法

证明了勾股定理.如图，四边形为正方形，若RtZk/WC的斜边48=10,BC=6,

则图中线段CE的长为（）

AB

A.6B.V40C.8D.V68

5.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将△A8C如图那样折叠，使点4与点8重

合，折痕为则tan乙CBE1的值是()

24V771

A.-B.-C.正D.3

6.如图：一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm,高为12cm,吸管放进杯里,

杯口外面至少要露出4.6cm,吸管长()cm

7.在ABC中，斜边6c上的中线长度为5,直角边力8的长度为6,则直角边AC的长度为

8.如图，为安全起见，幻儿园打算加长滑梯，将其倾舜角由45。降至30。.已知滑梯力B的长

为3m,点B,C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯4。的长是m.

9.如图，在中，乙4=90。，718=6,BC=10,BC的垂直平分线分别交AC,BC于

点、D,E,则的长为.

10.如图，在△ABC中，力。是8c边上的中线，8E是4c边上的高，EF1AD,垂足为凡且

AF=DF.

⑴求证：AE=CD；

(2)若AE=5,CE=6,求△/8C的面积.

11.如图，在RtZ\4BC,28=90。.

⑴使用直尺和圆规，作4C边上的中线BO(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)若48=6,4力=30°,求8。的长.

12.三角铁(如图1)是一种金属乐器，用三角铁棒击打三角铁，可