2026上海高考数学试题+解析

2026年普通高等学校招生全国统一考试(上海)

数学试卷全解析

一、填空题：本大题共12题，满分54分，第卜6题每题4分，第7〜12题每题5分.考生应在答题纸的相

应位置填写结果.

1.已知集合4={2,1+〃},若一leA,则。=.

【答案】-2

【解析】

令1+〃=-1,解得。=-2.

故答案为：-2

2.已知{为}为等比数列，4=2,牝=6,贝iJ%=

【答案】54

【解析】

由等比数列的定义，可得4=*=3,所以%=劣/=54.

故答案为：54

3.已知sina=-，则cos2a-

5

【答案】g

【解析】

23

cos2a=I-2sin2a=——

25

故答案为：II

/J

4.已知事件A,B互斥,P(A)=0.2,4(5)=0.5,则尸(AuB)

【答案】0.7

【解析】

根据互斥事件概率公式，有「(Au8)=P(A)+P(8)=07

故答案为：0.7

5.已知函数/(X)是偶函数，当血0时，"x)=«+a,若〃T)=3,贝=

【答案】1

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由偶函数定义有/(-4)=/(4)=2+a=3,解得o=1.

故答案为：1

6.展开式中，/的系数为

【答案】10

【解析】

卜?+q5的展开式通项为:加=竦(小广/=C“X,

令10-々=7,则k=3,所以含有『项的系数为C：=C；=10.

故答案为：10

7.已知a2+4b2=1,则ab的最大值为.

【答案】-

4

【解析】

由基本不等式得1=『+4后24帅，即故必的最大值为1.

44

故答案为：-

4

8.已知随机变量X的分布列为(14J且矶X)=0.5,贝幼=.

【答案】0.6

【解析】

由期望定义得卜+竺°£1，解得〃=06

-a+h=0.5

故答案为：0.6

9.已知等差数列｛盘｝中,q=0,前〃项和为S“，｛S“｝中至少有两项在区间(0,1)内,则公差d的取值范围

是.

【答案】(04)

【解析】

a-d,0=妁］。4,⑸｝中至少有两项在区间(0,1)内，则岳=0,52e(0,l),S3e(0J),

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S=de(0,1)

所以2=>0<6/<-

S3=3de(0,1)3

故答案为：(0,；)

10.已知向量”，b,c两两不平行，且。+38〃8+c,2a+kc//b+c,WOk=.

【答案】-6

【解析】

a-^-3b//b+c^>a+3h=A(b+c),a=(A—3)b+c>代入2a+Zc,得2(4—3肪+(2%+Z)c,

2a+kc//b+c=>2(2-3)。+(2A+k)c=卜/b+juc»

因为人c不平行，所以系数相等，=3)=〃n2/i—6=2/l+An&=—6.

2A+攵=〃

故答案为：-6

11.已知/(。=Asin(M+°)+8(A>O,BG/?,6?>0,0<^?<2^)，若酎=f(t),当v=0或v=4时其导数为0,

初始速度为0,且速度第一次达到4时，f=0.1s,则〃f)=.

【答案】2sinl(Uz+y^+2

【解析】

三角函数中导数为0的点为极值点，对应最大值及最小值，则/(f)的最大值为4,最小值为0,

由<得A=/?=2；由().1=1=工得”=10乃，代入/(0)=0得2sin°+2=0,贝|e二一三+2M/r,

—A+8=02(02

a/a、

由O«0<2笈得e=』，综上，/(/)=2sin10^+—+2.

2\2>

故答案为：2sinH(U/+yJ+2

12.在ABC中，AB=3,AC=5,BC=g已知点A,B,。是一个椭圆4个顶点和2个焦点中的三

个点，则椭圆的离心率为.

【答案】|

【解析】

不妨设椭圆的焦点在上轴上，由于椭圆的对称性，上下顶点不可能同时出现(否则A8C为等腰三角形)，

两个焦点同埋，即A,B,C二点分别为上卜顶点之一(不妨取上顶点、右顶点、左右焦点之一).

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由32+(J用2v5?知NA6C为钝角,

(i)取右焦点时，结合图象可知8为右焦点，由8c>48知。为上顶点,

BC=a=Aa=V14

此时(A8=a-c=3解得，b=M,显然不满足2=c2,故舍

AC=\la2+b2=5c=V14-3

去;

(ii)取左焦点时，结合图象知8为上顶点，由8C>A8知C为右顶点,

BC=yla2+b2=7144=3

此时，AB=a=3解得"=逐，满足/一〃2=C,2,则离心率

AC=a+c=5c=2

c2

e=—=—.

a3

故答案为；j

二、选择题：本题共4小题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分.每题有且只有一个正确选

项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知awR且4/1,则。•妫=

34

A.a2B.ayC.。3D.

【答案】B

【解析】

\4

因为4妫=〃xa3=。3,故B正确.

故选择：B

14.己知事件A、8、C,事件A与事件8互斥.若事件C为“事件A和事件8至少一个发生”，则已表示

A.AcBB.AuBC.AnBD.AuB

【答案】C

【解析】

根据对立事件的定义可知，C=AnB.

故选择：C

15.对于复数z、卬，满足“z—wwR或z—JwR"，则称z和H，伴随.若z和卬伴随，则w—i和z+i伴随

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的充要条件是

A.Rez+Rew=0B.Roz-Rew=0C.Imz+Imw=0D.Imz-Imvv=0

【答案】C

【解析】

设z=a+〃i=0,w=c+di,其中a,〃,c,deR.因为z和卬伴随，所以5=d或/?+d=0.

若w-i和z+i伴随，则〃一l=d+l,或〃一l=-d-l,化简得0-d=2,b+d=O,

所以w-i和z+i伴随的充要条件是Imz+Imw=0.

故选择：C

16.已知空间直角坐标系中有一正方体A4c。-A4CQ,其三纽棱分别与.r轴、)，轴、z轴重合，顶点A与

坐标原点重合，将正方体绕直线AG旋转一周，试问点C的运动轨迹会经过()个空间卦眼.

A.1B.3C.4D.7

【答案】A

【解析】

过。作4G的垂面。，则。唯一，。法向量即AG=。」』)，。的轨迹完全落在。上.

又C(IJO),故a方程K+)，+Z=2.

设旋转后C'a，)，,z),CA=42^x2+y+z2=2,于是轨迹圆一：，

厂+y-+z'=2

由柯西不等式：(x2+r)(l2+l2)>(x+j)2»即2(2-Z2)42-Z)2,解得OKZK；

44

同理0<y<-,故都在第一卦限.

故选择：A

三、解答题：本题共5小题，满分78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

17.(14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空间中某颗粒物与二氧化硫密度进行监测.数据如下：

某颗粒物密度101.0287.0257.4621.8511.768.865.034.633.86

二氧化硫密度119.4751.8453.209.166.604.403.313.353.86

(1)为进一步研究，从这九年中随机抽取一年，颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？

(2)为研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，该工厂应选择扇形图，还是茎叶图，还是散点图？并

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直接写出相关系数在(-1,0),(0,1),(1,2)哪个区间?

(3)2023年前9年份(x)的平均数是2018,y(颗粒密度)与x的回归方程拟采用①y=106.544e446i«20i%

或②),=〃"—2014)+83.743.已知2023年实际密度为3.88,哪个回归方程对于2023年预测值与实际值之

差的绝对值更小？.

【解析】

(1)9年中，颗粒物密度比二氧化硫密度高的有7年，故从九年中任意抽取一年，颗粒物密度比二氧化硫

密度高的概率为：.

(2)研究颗粒物密度和二氧化硫的相关系数，用散点图，因为是正相关，所以「©(O/).

9

(3)x=2()18,>'=-^-=33.499,彳弋入y=-2014)+83.743,««-12.561,

即,y=-12.56(x-2014)+83.743.

用回归方程②，2023年预测值为—12.561+83.743=—29.306.

与实际值之差的绝对值为3.88+29.306=33.186.

用回归方程①，2023年预测值为：06.544/°处以9“681.

与实际值之差的绝对值为388-1.681=2.199<33.186.

所以选y=106.544”46gol4).

18.(14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

己知四棱锥尸-A8CO,底面48C。为矩形，PH_L底面A8CD,垂足”在C。边上，且A”=l,"0=4,

AB=2.

(1)求证：HCLPB；

(2)若四棱锥夕—"CO的体积为,求二面角。一心一夕的大小.

3

【解析】

(1)连接“C和，由相似容易得

又有PH_L底面48CQ,进而可得?“JL”C,

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故HCJ.平面进而有"CJ.P8.

(2)若VPTSCO四边形718CD.尸"="喜，容易得PH=布,

再由题第一问得“CJ•平面过点H作HMJ.PB,

进而有NCM”为所求二面角的平面角.

而在PBH中,由等积法得%竺=翳=日’

进而tanNCMH==隹=2亚,进而ZCMH=arctan（2四）,

HM晒I）

即二面角的平面角大小为arctan(272).

19.(14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.

已知函数+OV+3,g(x)=4x+g.

(1)已知/⑴=4,求〃x)+-V>g(x)解集；

AT

(2)已知〃工0,直线1为/(*)在(0,3)处的切线,为是过点(。，3)且与4垂直的直线，若/「，2与g(x)在第

一象限内无交点，求实数。的取值范围.

【解析一】

(1)解不等式：”到+《>身(”.

x

若*1)=4,则『+a.]+3=4=>l+a+3=4na=0,

将。=0代入/"),不等式变为：12+3)+3>41+3，%工0,

XX

化简得：A-2-4.r+3>0,(.r-l)(x-3)>0,解得xvl或x、3,

结合XHO,解集为:(-OO,0)5()J2(3,H<O).

(2)点(0,3)在函数/(4)=?+@+3上,因为"0)=3.

求导得f(x)=2x+af则/(x)在点(0,3)处的切线斜率为勺=r(0)=。，故直线)：+3.

由于心且过(0,3)：

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若&w(),则/,的斜率为-二，直线/,:)，=—2x+3.

a~a

若。=0,则/]:y=3J2:x=0(即y轴).

直线y=ttLX+3与g(x)=4x+二在第一象限(x>0,y>0)无交点.

X-

I1I7

即方程"tr+3=4x+r在x>0时无解.整理得：(〃I-4)X+3=F=>〃，-4=F—.

XrrX

设力(力=4一3,求导得〃(x)=-3+3=3('J)令〃(x)=0得/=].

XXXXX

当0<xvl时，/(X)<0/(x)减；当x>1时，>0,〃(x)增.

所以h(x)在x=1处取得最小值A(l)=l-3=-2.

当工->0+时，/?(x)f+8：当xf+oc时，〃(x)-0.因此/?(*的值域为卜2,y).

要使方程尢解，m—4必须小于最小值，即〃?一4<—2=〃?<2.

对44分别应用此条件：

对于4，其斜率为。，需满足。<2.

对干公

若，7=04斜率为0<2出为x=0,在第一象限内显然与g(x)无交点.故。=0符合.

若。，0,斜率为-,，需满足一!■〈Z.

aa

当”>0时，一,<。<2恒成立.结合OV2,得到0<a<2.

a

当"0时,--<2=>-1>2«,得"

a2

综上，实数〃的取值范围是：]吗-£|u[0,2).

【解析二】(南京武老师)

(1)带入函数可得：J+办+3+二>41+1,移向整理可得：x2+(a-4)x+3>0(x*0),

xx

当”=0时，考虑二次函数〃(x)=12一4x+3>0,可得""；)"I)>°fA:{x|x<1或x>3,且工工0}.

(2)Stepl：求解4方程

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不妨令切点为4",产+at+3),求导可得八1)=2_¥+4|旧'A=f'(/)=2/+a,

此时对应/i：)，-Q2+w+3)=(2，+a)(xT),代入定点(0,3),可得1=0,因此=ar+3.

Step2：求解4方程

令〃=一，可得，/>>:y=--x+3.

aa

，cg(x)=0

Step3：求解

&cg(x)=0

y=ax+3

“13433(x+DU-1)

考虑：，1-^a=—r--4-4(x>0),即不妨令Q(x)=f--+4,=—

y=4x+—x'xrxxxX

x

xe(0,l),^(A)单调递增，xw(l,+8),以X)单调递减，°(.r)min=奴1)=2=>4<2.

y=——x+3

考虑：，,同理，令一一<2即可，解得——或〃>0,

“Ia2

y=4x+r

JC

综上，两解集取交集可得：fle(^0,-1)U(0,2).

2

20.(18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知双曲线「：/—),2=],点尸在「上，耳，尸?分别为双曲线的左、右焦点.

(1)求点(2,0)到双曲线渐近线的距离;

⑵若PF1-PF2=I»求S^F岛；

(3)记C为双曲线「满足[r>>_()]和Ir的<()部分，过尸2的直线/与。交于夕，。两点(分别在第一、第

四象限)，过心的直线，〃与。交于M,N两点(分别在第三、第四象限).问：是否存在正数4,使得对任

意直线/,都存在唯一对应的直线〃？，便满足川〃9=|加明？若存在，求出4的范围；若不存在，请说明埋

由.

【解析】

(1)考虑双曲线f一)？=],对应〃=1,5=1,则对应渐近线方程为)，=±x,

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考虑（2,0）到渐近线x±y=O的距离为：d=jJI'二"

（2）考虑焦点片（夜,0）,/s（-^2,0）,不妨令夕（其），），因为尸在双曲线上，可得/一）,2=1,

向量咫=卜&7,-力"=（及"一力助."=/一2+），2=1,

丁=2-1国=0

两式联外可得：x-\V=IT

?,2=]T[|y|=l

/+），2=3

则又小号忻F2»|=；X2&X1=VL

（3）Stepl：设直线方程并联立双曲线

不妨令I:x=my+®,m:x=ny+>/2.

Step2：设/的参数范围和弦长卜。

考虑/与C相交于P,Q两点、,联立可得：卜（产-1）丁+2万、，+1=0,

X2-=1'7

-2"

22=77r

考虑韦达定理J,因为升，乃异号»可知yv。―厂―1<0—>z~<1>

1

)'1%=—7

/-1

考虑弦长公式，可知:

2

I尸。=V1+Z1yi-y2\=Jl+产+%)2-48)，2="+产；;=:,re[0.1),

1一门i-t

因此，令/⑺=3!/_4^=-2+々，当一401)'172«0/)，进而上«4,笆)，俨042,”).

1—/1—/I-t"

Step3：设/〃的参数范围和弦长|MN|

同理，把〃代替/可知.(/r-l)/+2X/2/2>'+1=0,

-2必

%+为=—()>y>-1

考虑韦达定理'厂一1，因为）3，以同号，且.3

为<一1

W4=^—

n—1

<0L

考虑二次函数〃（），）=（〃?-1））*+2拉〃y+i,要求.〃2_[,可知〃e(l,2j2」，

/z(l)<0

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221)

=2+-^,ne(l,2V2]->/r-lG(0,7],\MN\18)

同理，|MN|=g(〃)=e7,+00J,

1-/?

注意到，/⑺在定义域上单调递增，g(〃)单调递减，因此，/,g分别是/,s定义域上的双射.

Step4：分析2的取值条件

不妨令s=|PQe[2,y),首先因为双射关系，满足Vs72,a),=

1Q\1Q8

即Vsw[2,*o),2se-,-HX),因此只需满足：V,v>2,而2上恒成立即可,

77

189

772-7

对应哨L

21.(18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知函数工(x),万⑺，力(x)的定义域为/,(0,外是123的一个排列，对任意xw为都有工㈤4工(力,

£。)+/(力4工。)+力(%)成立,则称是关于工(力，)(力，力(力的一个/排列，/排列个数记为

2

(I)已知/=[3,时，](x)=x,&(x)=0,f3(x)=x+\t判断(3,1,2)是否为/排列;

2

(2)对/=[0,+co),/j(x)=x-l.f2(x)=x+mf(A)=x,若N/=6,求的取值范围;

已知尸(处是定义在[0,也)的函数，且对任意xe[O,”)，都有Ov*x)vl,若a>0,/=,,”)，

f](x)=尸(x),人(x)=+。)+-叫，力(x)=1-1，证明：若尸(x)严格减,则存在〃〉0,使必N4；

若尸(x)严格增，则存在ac(O,l),使N-2.

【解析一

考虑排列(iJZ)是/排列的充要条件：对任意.re/.

条件1：力(x)Wf(x)

条件2：由工+上K/+/)即力+/2W(/+人+力)一人得五.(“二人(刈

于是，共6种排列，翻译过来需要满足的就是:

(1,2,3)：恒成立

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(1,3,2):7(x)4/(x)

(2,1,3):/(A-)<./2(X)

(2,3,1)"(x)W人(x)且力(A)<人(x)

(3,1,2):工(x)W人(力且人(x)K£(x)

(3,2,1):"(小/(%)

(1)考虑工4力nxwW+inf—x+i之o(判别式△<(),恒成立)

考虑/=>0«12+](恒成立)故是/排列.

(2)N,=6表示6种排列均成立，故其充要条件是，K/2KA恒成立.

/<f2=>x-1<x+///=>///>-1,

22

f2<f3^>x+m<x=>m<x-x,8(彳)=.d在[。，十”)最小，直是g(g)=_；,故〃？«一；.

综上〃?e—1,—.

4

(3)(i)若尸(x)严格减，则存在a>0,使N/N4,

分析：工(力严格减，力(x)作为两个减函数之和的平均，也是严格减函数，

力(x)=l-是严格增函数，值域(0,1),

构造差值函数:设耳(力=人(刈-力(力，氏("=力(x)-人(同，

由于人增、力和人减，可知,,也均是严格增函数.

由零点存在性定理：当X1+8时.力(丫)11,而力/趋干某个极限L<1.

因此存在足够大的“，使得在/=[4田)上，H](a)NO且42(句2。・

由单调性知，Vxe/,有力(x)N/(x)且人(工)之人(工).

于是只需满足工4力和至4力,以下排列均成立：(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1).

故N/N4,证毕.

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(ii)若U(x)严格增,则存在rN/胃2.

先证明:在/上工(力4口灯)不能恒成立,即必存在xe/使得力(力>.(力.

反证：假设人(x).

即F(x)«g［产(x+a)+尸(十一白)］：等价于Rx+aj-Rx)2尸(工)一厂(工一〃)，

设4)=/(x)-尸(%—々)>0,则产(工+〃。)一产(x+(〃-1)〃)24),

累加得厂(工+〃。)之尸(力+〃4),当〃一>8时，尸(_¥+〃〃)—+8,这与/(x)vl矛盾.

于是必存在XC/使得力(刈>人3,排除了排列(2,1,3)和(2,3,1).

下面分类讨论N,的取值：

情况A：若取较小的a,使得在/上力(力始终足够大(即人2工>人)，则满足力工人和人4,一

此时满足条件的排列为(1,2,3),(1,3,2),(3,1,2),(3,2,1),则M=4.

情况B：若取〃-0,则/3(。)=1-1"70.而工(〃)=/(〃)>尸(0)>0.

于是在区间起点处力>人且人>人.此时所有要求力W人或人的排列(除(123)外)都可能在某些点失

效.若此时仅(1,2,3)成立,则M=L

情况C：若人与工，A大小关系在/内不固定(有交叉)，则对应拄列均不成立，$=().

所以在P(x)严格增的情况下，N；可能为0,1,4.

【解析二】(南京武老师)

1.验证序条件工46.工w力=%«/+1=。一；)2+］>0此时，满足题干要求，

验证和条件工(幻+人⑴4/,(A-)+/3(A-)<^0<A-2+1,此时aj6=(3』,2)满足题干要求，因此(3』,2)是/排

列.

2.Stepl由序条件先确保

因此三个函数比如满足一个固定的全局大小关系工(x)<f2(x)<f3(x)yx>0,

考虑工(x)<f2(x),可得工一1«x+mnm>-1.

Stcp2由和条件/+『4£+力

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力+-M/-

考虑二元组{1,2},{1,3},{2,3}分别列不等式可得：工+力工工+人=人,力工人

工+人4人+人

I3

考虑工一1=』一x+]=(x--)2+^20恒成立，

22

考虑％+/〃工式2zz>/n<X-X,Vx>0»考虑f-x=(x-^)--,可知/〃4(42-x)min=--,

综上可得相.

_4_

考虑命题1F。)严格单调递减，则存在〃>0,使得〃/24,

核心大小关系推导，

因为尸严格单调递减可知，x>a^>x-a<x<x+a,故：F(x^a)<F(x)<F(x-a).

作差：f2-fi=^[F'(x+a)+F(x-a)-2F(A)]=1[(F(X+«)-F(a))-(F(x)-F(x-«))]>0,

因此，可得力(x)(人(x),Dx2a.

构造a满足两个关键不等式

考虑条件A：/,(x)<f3(x),B:f2(x)<f3(x),

条件A：

/心•)=△")一工(%)单调递增(6=1—"X严格递增，且极限值为1;力(X)严格单调递减)，此时，工(X)单调

有界，其存在极限值limAx)=L20.

因此1im〃Q)=l-L>l-尸(0)>0,由极限保号性可得，必然存在某个q〉0,当xNq时，A(.r)>0

条件B：

a

g(a)=l-e--UF(0)+F'(2a)]

g(0)=-尸(0)<0，

1ifF(0)+Al1+1

limg(a)=1-0--[rF(0)+L]=\-~~>1--—=0

因此：由界值定理可知，眄〉0,当“Ng时，g(a)20，综上，取"maxS[,%)，则对于所有，条

件A,B同时满足.

(3)统计符合条件的排列

那么以下四个排列将全部成为/排列：

(1,2,3)由题意恒成立，

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(1,3