高考数学一轮复习 第五章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示-含解析

第2节平面向量基本定理及坐标表示

9课标要求1.掌握平面向量基本定理.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量

的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线.

一厂《«««主干梳理基础落实»»»>»---------------(

知识梳理

1.平面向量基本定理

(1)定理:如果51,6是同一平面内的两个卬不乂小向量,那么对于这一平面内的任一向量&国LH-一

对实数九,72,使3=/.\&\+^2&2.

(2)基底:若劭，会国(共线,我们把｛8，会｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向星分解为两个⑷的向星，叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模

设3=(XI»>'!),b=(X2,y'2)，则国.■Vl±r21yi+v?),今房团设1-1二〉),入华团G-V1,Zl'i,|中+元

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

22

②设A(X|,Ji),B(X2,_V2),则希二国(L,V20),\AB\=y/(x2-Xj)4-(y2-yi)-

4.平面向量共线的坐标表示

设3=(孙四)，6(小,”)，其中。WO,则方〃伙=>国.

I常用结论与易错提醒，

1.两个常用结论

(1)设华(汨,)，|),63,)，2),当且仅当必,)，2£0时，0〃力与汉=为等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的

x2尢

对应坐标成比例.

⑵已知AABC的顶点A3,V),8但,”)，C(X3,”)，则^ABC的重心G的坐标为(，节+心,%+：：+%).

2.两个易误点

(I)基底｛&,6｝必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的

向量.

(2)2〃/)的充要条件不能表示为包=△，因为必,心有可能为0.

x2y-i

断自测

I.思考辨析（正确的打“，”，错误的打“X”）

（1）平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.（*）

（2）设（a6｝是平面内的一个基底,若实数/“，儿42满足4m〃后丁尹〃2。,则02,〃尸位.（”）

（3）若华（孙州）,b=（x,%）,则a//b的充要条件可以表示成、=△.（*）

2孙y-i

（4）平面向量无论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（”）

2.（人A必修二P31例7改编）已知向量a=（/n-l,2）,d=（3,-1）,若a//b,则m=5.

解析若a//b,则-（///-1）=2x3,解得m=-5.

3.（人A必修二P30例5改编）在平面直角坐标系xOy中，若M（3,-2）,N（-5,-1）且而=［而，则点P的坐标

为（F）

解析因为M（3,-2）,N（-5,-l）且而=：而,所以加=?-8,1）=（—每），所以点P的坐标为（一对）.

4.（人A必修二P36习题6.3T1改编）如图,在平行四边形A8C。中，设而二aAD=b,P为边BC的中点，则

^P=a+；b.（用8与b表示）

解析AP=AB+BP=AB+lAD=^b.

一二^考点突破能力提升旃砺

考点一平面向量基本定理的应用

【例1】⑴在"BC中,4。为边上的中线,E为4。的中点，则加=（A）

^AB--ACB.-AB--AC

4444

C^-AB+-ACD.-AB-V-AC

4444

解析解法一：根据向量的运算法则可得，在△钻石中，=E/+4反因为E为A。的中点，所以E/

在AABD中，/=丽+丽=而一而.因为。为8c的中点，所以丽=二方.在XABC中，而=而一彳乙

2

逐步代入，可得丽=瓦？+而=［用5+标=^（施-肉）+而=：6而一标）+而=［溯+：而=

2■（而―尼）+1而=2而一工近.故选A.

41244

解法二：由。为BC的中点，得而=；（而+而），由E为A。的中点，得荏=［而=］（而+H?）.在aABE

中，丽=而一旅=荏一工（而+而）金而一1前.故选A.

444

（2）（多选）（2025・河南郑州模拟）如图，在四边形ABC。中,为AC边上

一点,且冠=3前,尸为AE的中点,则（ABD）

\.F=-AB+-AD

33

--AB-^-AD

B.FC=2

F=-AD--AD

CZ63

--AB+-AD

D.FF=33

解析由48〃。。,48=24。=2。。,及向量的加法运算得说=瓦（+而+觉=-AB+AD+^AS=

一工而+而，故B正确；由前=3正及向量加法的三角形法则得冠=荏+而=而+?而=而+

23

（一！屈+2而）=2通+2而,又尸为46的中点，所以而=!通=工而十」而,故人正确；丽=瓦彳+

\33/33233

AF=-AB+-A§+-AD=-2荏+三而，故D正确;#=而+而=前一玩=--AB+-AD-

（-1/5+AD）=一,而一|而，故C错误.故选ABD.

|思维升华〉

1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数

乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形

式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯

一的.

【跟踪训练1]（I）（多选）下列命题中正确的是（AC）

j

A.若p=xaryb{xiR）,则夕与a6共面

B.若p与a,b共面,则存在实数x,v使得p=xa^yb

C.若而=xMA+yMB,则P,M,A,13共面

D.若匕M,A,H共面，则存在实数x,.V使得罚=xMA+yMB

解析由平面向量基本定理知A、C正确.对于B,若日涉共线,p与a*不共线，则不存在实数使得

p=xa-yb,故B错误；对于D,若M,A,B共线，P在直线AB外，则不存在实数、），使得丽=xMA+y砒,故

D错误.故选AC.

⑵（2025•山西吕梁模拟）已知等边△A8C的边长为1,点七分别为AB,BC的中点，若加=3EF,则

荏=（B）

2624

玛而+前D,^AB^AC

解析如图，在△ABC中，取｛前，而｝为基底，因为点分别为A8,8C的中点，而=3前,所以加=

海二加，所以存=荏+前甘须+近)+部=途+河.故选B.

考点二平面向量的坐标运算

【例2】⑴已知点A(0,1),8(2,3),向量阮=(-3,1),则向量而等于(D)

A.(l,-2)B.(-l,2)

C.(l,-3)D.(-l,3)

解析因为A(0J),8(2,3),所以荏=(2,2),所以彳？=AB+BC=(2,2)+(-3,1)=(-1,3).

(2)(2025•全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称

为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对

应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.

已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度

大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(A)

A.轻风

解析由题意得，视风风速对应的向量为/?=(0.2)-(3,3)=(-3,-1),

设真风风速对应的向量为/7|,船行风风速对应的向量为；・n=6\s.

船行风风速/%=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3),

，/7i=/7-^=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),

|/7I|=V'(-2)2+22=2/=2.828,

，由题中信息得，该时刻的真风

|思维升华，

向量坐标运算问题的一般思路

1.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化,

将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算.

2.巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、臧法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端

点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.

【跟踪训练2]⑴在平行四边形ABCD中,AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则而的坐

标为(C)

A(V，5)B.&5)

C(-?-5)呜-5)

解析因为在平行四边形A8CQ中，而=(3,7),布=(-2,3),对角线AC与8。交于点。,所以而=-A0=

_酒+而)=(一”5).

(2)(2026•山西晋城质检)如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,AD±DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点，若

CA=ACE+liDBQ,R),则A+/z的值为(B)

解析建立如图所示的平面直角坐标系，则。(0,0).不妨设48=1,则OC=AD=2,所以

C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以2{=(-2,2),胃=(-2,1),丽二(1,2),因为刀=/1灌+〃砺，所以(-

2,2)=2(-2,1)i//(l,2)

考点三向量共线的坐标表示

角度1利用向量共线求向量或点的坐标

[例3](1)已知梯形ABCD,其中AB//CD,且DC=2AB,若A"2),8(2,1),C(4,2),则点D的坐标为

(2,4).

解析由题意得，万？=2通.设点。的坐标为(x,y),则尻=(4*2-)，)，版=(1,-1),所以(4*2-)，)=(2,-2),即

厂工乙解得匕=:故点D的坐标为(2.4).

⑵已知。为坐标原点，点A(4.0),8(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为[3,3).

解析解法一：由。,P,8三点共线,可设而=入赤=(4九42),则而=OP-O4=(4A-4,4A).JC=OC-

OA=(-2,6),由而与前共线，得(4A-4)x6-4zx(-2)=0,解得2=3所以而=?OB=(3,3),所以点P的坐标为

44

(3,3).

解法二：设点P(x,y),则而二(1)，),因为丽=(4,4),且而与通共线，所以.==即％=)，.又而二(»4,v),AC=(-

2,6),且而与尼共线，所以(x-4)x6-yx(-2)=0,解得4产3,所以点P的坐标为(3,3).

角度2利用向量共线求参数

[例4](1)向量a=(l,3),b=(3x-1,x+1),片(5,7),若(a+b)/i(a+d),且c=ma^nbt则m+n的值为(C)

A.2B.1

C.3D.-

2

解析由题意，得a+/>=(3x,x+4),a+c=(6,10),因为(*b)//(*c),所以30x=6x+24,解得x=l,所以A(2,2).

则c^ma^nb=(m+2n,3m+2n)=(5,7),即岁甘：一\解得(m一:故〃?+〃=3.故选C.

(3m+2n=7,In=2,

⑵已知向量而二(7,6),BC=(-3,m)，而二(・1,2机)，若A,C,£>三点共线，则m=-1.

解析因为尼=而+册=(4,〃?+6),又AC。三点共线，所以配=4而且/IWR,则解得

(2mA=m+6,

叱

im="r

।思维升华〉

i.利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路

(1)求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为NaawR),然后结合其他条件列出关于2的方程

(组)，求出入的值，然后代入2a中即可得到所求的向量.

(2)求两直线交点坐标时，可充分利用两直线相交产生的两个“三点共线”的关系，结合共线向量定理求解.

2.利用向量共线的坐标表示求参数的步骤

第一步：根据已知条件求出相关向量的坐标；

第二步：利用向量共线的坐标表示列出有关向量的方程或方程组；

第三步：根据方程或方程组求解得到参数的值.

【跟踪训练3](1)(2026,河南开封质量检测)已知向量3=(2,1),avb=(1,/n),若a//b,则m=(D)

A.-3B.3

C.-；D.1

22

解析由#=(2,1),,㈤可得，/>=(*/>)-华(-1,由a!/b可得，-1=2(6-1),解得"?=|.故选D.

⑵在RSA8C中,AB=2,AC=4,AB_LAC,E,F分别为A8,8c中点，则A/与CE的交点坐标为

解析建立如图所示的平面直角坐标系，则8(2,0),C(0,4),E(l,0)/(l,2),设A户与CE的交点、为D(xty),

则而二(x,y),AF=(1,2),且而〃而，即2”=00,又而=(x,y-4),CE=(1,-4),且而〃力，即y-4+4v=0@,由

①②得A外W故交点。(工)

课时作业

［基础巩固］

一、单项选择题

I.已知会(5,・2),b=(-4,-3),若分2/3/0,则c等于(D)

A.(胃

陪3

角圣析•・・4263G0,・・・。=上(才26).

V^-2d=(5,-2)-(-8,-6)=(13,4),

(a2b)=(一拳一。

2.已知向量企(1,2),6(2,・2),0(1,力.若。〃(2史知，则2等于(C)

A.-B.-

33

UC'2-D-4

解析因为分=(1,2),6(2,-2),所以2>6(4,2).又/(1(2*6),所以41=2,解得故选C.

3.平面内任一向量777都可以表示成6九〃WR)的形式,下列关于向量25的说法中正确的是(D)

A.向量a,Z?的方向相同

B.向量a,b中至少有一个是零向量

C.向曼曰,b的方向相反

D.当且仅当z=/f=O时,2*4AO

解析因为任一向量(九〃£R),

所以根据平面向量基本定理得，向量a力不共线，故A、B、C不正确;

因为a,匕不共线，所以当且仅当归片0时,2升"60,故D正确.

4.在4=90。的等腰直角三角形ABC中，七为A8的中点，〃为8c的中点,BC=AAF+〃屋,则2等于(A)

C.--D.-1

3

解析如图，以4为原点建立平面直角坐标系，设AB=2,则8(2,0),C(0,2),F(l,1),七(1,0),就=(・

2,2),/.AF+(1,1)+//(1,-2)=(z+/z,A-2/y),所以=一(所以2==.故选A.

1/I—乙林=3

5.在矩形ABCD中，E是8C的中点,户是AE上靠近E的三等分点，则向量。”等于(B)

A.为+士尼B.^AB-^AC

3333

C.-AB+-ACD.-AB--AC

3333

解析如图，根据平面向量的运算法则，可得方=万？+而=55+：版=希-近+|x/通+

AC)=AB-AC^AB^AC河-河.故选B.

6.⑵)25•江西新余模拟)如图,AB是。。的直径，点C,。是半圆弧脑上的两个三等分点，通二3亚二。则前

等于(C)

A.*

C=9bD.-a^-b

22

解析连接OCOO和C。,如图所示，由于6;。是半圆弧疝上的两个三等分点，所以440。2。0。2。08

是等边三角形，所以OA=08=OGOO=4C=CO=BO,所以四边形04CO和四边形O8OC是菱形，所以丽=

OC=AC-A=AC--AB=-2*匕.故选C.

22

7.在&4BC中，点M是8c的中点，点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,若AM=5.5,则AP的长

是(D)

A.3.8B.4C.4.2D.4.4

解析解法一：设丽?二&,丽=金，

则丽=前+而=-3会-劭,

BN=BC+CN=2ei+32,

因为点A,P,M和点8,P,N分别共线,

所以存在实数九小使而=AAM=-/.ei-3z^,FP=〃丽=2〃e+〃会,

所以丽=前一而=(A+2/z)8+(32+〃)氏,

又B4=BC+CA=2ei+3ei,

A=-

即以0+2〃=2,

所以|34+〃=3,解得

所以而=g隔，所以AP=^AM=4A.

解法二：设而=2前,2£R,

因为“是5c的中点,AN=2NC,

所以宿=工（通+1?）/而丽,

2'24

AP=AAM=-AAB+-XAN,

24

又81,"三点共线,所以/+21,

解得上士,所以AP=-AM=4A.

o

8.如图,在“8C中，ZABC=90,AB=BC=\f以AC为直径的半圆上有一点MBM=ABC+y^XBA,则实数2

等于(A)

AV3+1

A.-----Be

42

C受D.V3

2

解析以8为原点，8C,所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角

%

Cx

则A(0,1),C(1,0),4cs

则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点

22

则以AC为直径的圆的方程为(x—鼻)+(y一号)=2,

设M(,r,y),则两二(x,y),及三(1,0),瓦?二(0,1)=ABC+V3ABA=Q,V3X),

所以｛；~机由点用在圆(%-J+(y-1)2=江

22

可得+(百4-3)=也即4上(1+百)2=0,

解得上空或2=0(舍去).

二、多项选择题

9.若左不•依氏0,则女尸依0,那么下列对a,b的判断错误的是(ACD)

A.a与Z?一定共线

B.a与匕一定不共线

C.a与Z?一定垂直

D.a与匕中至少有一个为0

解析由平面向量基本定理知，当&/7不共线时，若为尹攵260,则攵产心二0,当a与力共线时，而乂2=0只是其

中一组解，此时解不唯一，所以A判断错误,B判断正确；而当a匕不共线时，不一定有a与匕垂直，所以C判

断错误；当a与/?中至少有一个为。时，后中至少有一个可以不为零，所以D判断错误.故选ACD.

10.已知等边三角形ABC内接于OO,D为线段Q4的中点,E为BC中点，则丽=(AC)

A^BA+-BCB.-BA--BC

3636

CJA+-AED.-R4

333

解析前二/+而：荏=/+：(而+前)二函—g就+同=|前+*近.故选AC.

11.(2026•吉林长春月考)如图所示，点4,B,C是圆。上的三点，线段OC与线段4A交于圆内一点P,若

AP=AAB,OC=nOA+3〃瓯贝I](AC)

A.P为线段OC的中点时,

B.P为线段。。的中点时,

«5

C.无论〃取何值，恒有力弓

D.存在〃eR,7.=1

解析而=65+而=m+AAfi=0A+2,(0B-OA)=(\-»OA+入赤.因为而与泥共线，所以3=4解

〃3〃

得久乏,故C正确,D错误；当P为线段0C的中点时，沛=§沅=101+｝乂34赤,则’:一2%解得

(入=5x3〃，

/z=1,故A正确，B错误.故选AC

三、填空题

12.已知向量65=(3,4),话=(6,・3),沅=(5-m,3加，若点A,B,C能构成三角形,则实数一应满足的条件是

解析因为而=而一科=(3,-7),m=觉一函=(2-〃?,・7如)，又点AK能构成三角形，所以点4,8,C

不共线，即而与彳？不共线，所以3(7加-(-7)(2-㈤W0,解得心卷

13.如缸在正方形ABCD中，P,Q分别是边BC,CD的中点,AP=xAC+yBQt则x=f.

解析分别以AB,A。所在直线为工,)，轴建立平面直角坐标系，不妨设正方形A8CD的边长为2,则

4(0,0),8(2,0)/(2,1),。(1,2),。(2,2),则而:(2,1),前二(2,2),而=(・1,2),又而=谟？+/所,则有

2=2x-y且\=2x+2y,解得％=三.

-6

14.如组①所示，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图

②中的正六边形A8COEF,其中。为正六边形A8COE/的中心，设施二&而=。若丽=MC,EF=3函,则

M'N=-9。+2力（用&8表示）.

66

解析连接/C,BE,因为两=MC,_EF=3前，由边形的性质可知而=而=无,而二方=丽，所

以两=；(而+UT),丽=U7+7N+；同=赤+；(瓦-赤)=；瓦+；次,所以丽=~MU+

~0N=--(OB+0C)+-0E4--OF=