期末专项训练：数列通项及求和（十大考点）解析版-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版高二选择性必修第二册）

数列通项及求和110大考点】

考点归纳

考点01数列周期性的考察

考点02五大方法求通项

考点U3等差数列基本量的求算

考点04等差中项的应用

考点05含绝对值的等差数列求和

考点06和比项比及片段和问题

考点07等差数列奇偶性及最值

考点08等比数列基本量的求算

考点09等比数列片段和及奇偶性求算

考点10数列综合求和

考点专练

考点01数列周期性的考察

1.数列｛q｝满足%川=券高，且则数列｛4｝的前2025项的和S202L()

【答案】C

【分析】根据递推公式可知数列｛%｝是周期为4的数列，进而分析求和.

【详解】因为%=就!,且〃=】，

2x11

2-1_1

则的

4+2-6

4x1+2

6

可知数列｛4｝是周期为4的数歹U，

2.已知数列｛4｝满足q=；,。“+产则qqq……«2026=________

3I一。”

【答案】；2

1/25

【分析】根据递推公式求得周期，进而求解.

|+1

【详解】由题意得：4=产=7=2，%=产=岩=一二

\-a[\-a21-2

-3

1_1

1+。31-311+47.21

a4=---=7—7=-7^5=---=-F=T=«|，

[_/1+32]_。4।।_3

2

所以数列｛肛｝是以4为周期的周期数列，

所以％吗.®%=+2x（_3）x（_；=1,

所以。|,用七3…牝026=（《・2%.《广'6'2=]x；x2=g.

3.（多选）己知不,超为方程/-4x+l=0的两个实根，设%=:（■<+其），下列结论正确的是（）

A.%=26B.存在XwN，,使得，4+2-43=2

C.出。26的个位数字为7D.咳啜为完全平方数

【答案】ACD

【分析】选项A,根据韦达定理推导数列｛4｝的递推关系，并求出《,外,小即可；选项B,将4的表达式代

入，利用韦达定理化简得到通式后判断；选项C,计算前若干项4的个位数字，找到周期，再根据周期取

余得到对应个位数字；选项D,利用的表达式，结合司,马的慕次的变形推导其结构，再代入判断是否为

完全平方数.

【详解】由于再,看是方程/一4；1+1=0的根，则有：$2=4西-1,§=4%2-1

两边同乘X”，可得递推关系：工百二公/一再"，x/2=4芯“一芍

n+,,

则+石+2=4xI-<+4xf-.，即x：+2+甘+2=4（x；+i+石"）_（X；+耳）

等式两侧同除以2,可得g（不+支）=1.4（xr，+xr，）-1（xf+x：）

故数列｛%｝的递推公式：％=4的％.2（心3）,

选项A：%=4%-q=4x7-2=26,A正确.

选项B：化简。吗+2一片+「结合*电=1展开得：

4%2_W.L"+x：）（;：+2+石+2）_（父“；x；+i）2=3,B错误.

选项C：依次计算/可得：q=2,a2=7,a｝=26,

2/25

%=4x26-7=97,%=4x97-26=362,

4=4x362-97=1351,

经过计算,从%往后，可得个位数循环节为:2,7,6,7,2,1,即周期为6,

所以2026+6=337……4,余数为4,对应个位数字为7,C正确.

选项D：由端=（巧反）=再Fa：）'短

代人不马=1得：〃2__2__%”+1

u„——

"22

2026=2x1013,可得驾里=痣|3,是完全平方数，D正确.

4.在数列｛4｝中，。]=0,4"+]=弋$"，则。2026=（）

A.2yliB.73

C.0D.

【答案】C

【分析】求出数列前儿项得出周期，再利用周期可得答案.

【详解】因为％=0,/急，

=也,6十6

1-73x73

1-6x（一码

所以数列｛%｝是以3为周期的周期数列,

所以。2026=4*675+1=4=°・

5.数列｛%｝满足。川二3六3,且％=1,则数列｛4｝的前2027项的和$2027=（）

3531C3531-3533n3533

A・FB--C--»

【答案】A

【分析】根据递推式，求出数列的前4项，从而可得数列｛/｝是周期为4的数列，由此求解即可.

2-1I

【详解】由题意知：6=1，«=--=-,

24+26

3/25

易知数列MJ是周期为4的数列，

52027=506x0+AA9+i+AR-警

考点02五大方法求通项

6.记50为数列｛/｝的前〃项和，已知2sn=(n+l)an,a2=6,则4=.

【答案】12

【详解】当〃=2时，2s2=(2+1)02，所以2%+2a2=3例，又%=6,所以q=3,

当〃之2H寸，由2S”=(〃+l)a“，得2Sn_i=[("-1)+l]%_i=Mn-i，

所以2s“-2S.T=(〃+1",一〃*_],所以+=

Q

n-\〃T

a」4a、432,

7.已知数列｛4｝的前〃项和5,=r+“+2,则数列｛%｝的通项公式q=.

【答案】m

【分析】通过S”与Si作差求出4的通项，并在最后讨论该数列是否分段.

【详解】当〃=1时，4=$=4.

当AN2时，二S〃-S“_]=(〃~+〃+2)-((〃-1)+(〃-1)+2)=2〃.

此时〃=1时2〃=2工4.

所以％=｛；：；、

8.记S“为数列｛〃“｝的前〃项和，己知S.+〃a,=4..

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)记1为数列｛)｝的前〃项和，证明：Tn<5.

【答案】⑴斯二而热

(2)证明过程见解析

【分析】(1)根据的关系式进行求解.，结合累乘法求出通顶公式：

34

-<

2一

a5就P从而裂项相消法求和可得结论

(2)放缩得到〃22时,H1

【详解】(1)Sn+九即=4①，当〃=1时，Si+6=4,即2%=4,所以6=2,

当〃N2时，Sn_i+(n-1)0nt=4②,

4/25

式①-②得斯+nan-(n-l)an-1=即〃—r*1，

Un-\〃十1

业、cif°」的一1°八a3a1n-2n-32-1-「4

M故当〃22时，«n=—2M_2=^7^

4

当〃=1时，％=丁不依然成立，

1x2

故通项公式为“=花・同；

⑵沏=看，蝙=4可/『=

当界=1时，/n+=2近,

当。22时，n(n4-1)=n2+n>n2,故后=已己<当，

、'un〃2(n+l”?/

og44

2=

又荏3>n(n—1)=n(n—l)(n+1)»故正<(n-i)n(,l+i)(n-i)n—n(n+i)，

344

所以a：<(n-l)n一n(n+l)，

「8444444

故"<i72+b^22^3+2^3-3^4,',(/?-1)/?«(/?+1)

l4

=2V2+2一一——<5

n(n+1)

9.已知数列｛叫满足q=1,1=岩4是常数.

⑴当％=2时，求4及用的值；

（2）当2=2时，求数列｛4｝的通项公式.

【答案】（1）4=3,%=竽

⑵%二等

【分析】（1）根据递推公式建立方程，求出九，代入求出。3；

（2）利用累乘法求通项公式.

X

【详解】（1）a2=1—^-=2,所以2=3,=T2=Y

1+12JJ

（2）当4=2时，见”=吟生，即芳二有，

n+1cin+1

所以&L=W4,因为4=1,所以

%z2

经检验q=l符合，所以%=中.

5/25

10.已知首项为1的数列｛%｝满足。川=〃％,则。2027=.

【答案】2026!

【分析】由题意得也=〃，利用累乘法可求得数列的通项公式.〃=2027代入通项公式求解即可.

【详解】由题意得%■=〃T，…,”=1,

anan-\a\

当〃22时.凡=6=lxlx2x3x---x(//-!)=(/?-!)!,

62a吁

由%=0!=1满足上式，故《,=(〃-1)!,所以『27=2026!.

考点03等差数列基本量的求算

11.已知数列｛%｝是等差数列，3%=%+4,则%=()

4

A.-B.2C.3D.4

3

【答案】B

【详解】•••3。6=，+4,.,.3(%-4)=%-3"+4,.・.%=2

12.已知等差数列｛%｝满足%=3,4=6,则第10项即)的值为.

【答案】

15

【分析】先根据等差数列的两项求出公差和首项，再代入通项公式计算第10项即可.

【详解】设等差数列｛%｝的公差为〃，〃wN*,通项公式为a“=%+(〃-lW.

W+d=33

由已知条件列方程：2'.两式作差得2d=3,解得＜/=彳，

4=q+3d=62

3

代入％+d=3得

33

因此Go=4+91=5+9x5=15.

13.设公差不为零的等差数列｛可｝,前〃项和为S“，若SLS”且2%+%=0,则小=()

A.15B.16C.17D.18

【答案】A

【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解.

【详解】因为§4=89,所以S「S,=。，即6+4+。7+。8+。9=()，

即根据等差数列性质得到为+为=2%,4+为=2%,

所以5%=0,即%=0，则q+6d=0,即q=-6d,

因为2%+%=0,所以2(%+24)+%+("?-1)“=0,

6/25

即3q+(m+3)d=0,

将q=-6d代入3al+(,〃+3)d=0得至l]3(-6d)+(〃?+3)d=0,

因为d#0,两边除以d得到—18-(〃z+3)=0,

m=\5,故选项A正确.

14.已知等差数列｛%｝和也｝的前16项均为正整数，且公差均不为0.若勾+&=16,则用+狐的最小值

为()

A.32B.16C.12D.8

【答案】B

【分析】先根据《6+4=16,结合题干条件，判断出等差数列｛%｝的公差4«-1,再根据等差数列通项公

式，将求4十九的最小值转化为求人-4的最小值，再通过赋值的方式求出内的最小值即可求出答案.

【详解】设数列｛q｝的公差为4,设数列｛"｝的公差为4.

因为等差数列｛《,｝和｛4｝的前16项均为正整数，且公差均不为D,

所以首项和公差4,4为整数，即％21,

若数列｛可｝是递增数列，则4之1,这样《6216,又题中所述原+々=16,此时4«0,与题意不符，故数

列｛《,｝是递减数列，即44一1,而46+4=卬+154+々+74=16,

所以％+。6=/+74+4+15出=16-154-74+74+15&=16+8(4-4),

若要求。8+九的最小值，只需求4-4的最小值,

若要求刈-4的最小俏，只需求4最小值减去M最大值，而4最大值为-1,

下面分析4最小值：

当人21时，22,此时％+以的最小值必定大于等于32；

当4=7时，出-4之0,此时％+儿的最小值必定大于等于16,

接下来验证a=T时是否满足题意，

因为《6+&=4+154+4+7〃2=16,在。8+九的最小值为16的情况下，4=4=T,

解得4+4=38,若勾=16力=22或①=22力=16,满足题干所有条件,

若最小值为12时，则16+8(4-4)=12=4-4=45,不可能，因公差必须是整数！

若最小值为8时，则16+8(4—4)=8=4一4二—1，由题设条件可推得《NT，而已知4<T，故

>(-1)-(-1)=0,所以不可能为-1,故最小值不能为8.

综二。8+46的最小值为16.

15.已知｛%｝是等差数列，且牝=",此数列的首项与公差依次为()

A.19,-2B.21,-2C.15,-1D.16,-1

7/25

【答案】A

【详解】设等差数列｛/｝的公差为“，由"5=11，〃U=-1，

q+4d=llq=19

可得解得

a}+\Od=-\d=-2

所以数列｛/｝的苜项与公差依次为19,-2.

考点04等差中项的应用

16.己知数列｛%｝为等差数列，若%十%+i+。*-6〃+3,则心-()

A.15B.17C.19D.21

【答案】C

【详解】因为数列｛《,｝为等差数列，所以勺+。加+q+2=3。e=6〃+3,则〃用=2〃+1,

所以。］0=。9+1=2x9+1=19.

17.己知函数/(X)对任意实数X,1满足/(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),且/⑴=2,则“2026)=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】通过赋值法求出〃0)=〃2)=2,/(x+l)+/(x-l)=2/(x),结合等差数列的性质可判断｛/(〃)｝

是以2为首项，公差为0的等差数列.

【详解】由题可知:/(1+0)+/(1-。)=/(1)/(0),又/。)=2,得40)=2,

X/(l+l)+/(l-l)=/(l)./(l),得/⑵=2.

因为十—/⑴/⑺，所以/(K+I)+/(x-i)—2/(“)，

又"1)=2,/(2)=2,

所以数列｛/(〃)｝是以2为首项，公差为0的等差数列，即/(〃)=2.

18.已知等差数列｛〃“｝的公差力0,若为4=28,则公差［等于()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】由等差数列的性质即可求解.

【详解】已知等差数列｛《,｝的公差d>(),若%+%=11,则牝+%=11，

又因为。5。6=28,解得％=4,4=7或%=7,4=4,

由于公差d>0,因此%=4,牝=7,则"=。6-%=7-4=3,故B正确.

19.在等差数列｛《,｝中，4=1,%=7,则%的值为()

A.13B.14C.16D.17

【答案】A

8/25

【详解】在等差数列｛4｝中，2%=%+牝，

则%=2%—q=2x7—1=13.

20.已知数列｛%｝为等差数列，且可+为+的=^，则tan(%+%)=()

A.73B.一无C.-73D.旦

33

【答案】A

【分析】根据等差数列的性质，可得生的值，代入所求，即可得答案.

【详解】因为｛%｝为等差数列，所以q+d+%=3a=W，解得4=9

26

所以tan(a?+)=tan2%=tany=5/3.

考点05含绝对值的等差数列求和

21.(多选)已知数列｛””｝的前〃顶和S.二〃2-3〃，则()

A.%=-2B.数列｛《,｝是等差数列

O

C.S”的最小值为一1D.同+|七|+冈+…+|%<)|=74

【答案】ABD

【分析】由卬='=-2,可判定A正确；根据《与S”的关系式，求得勺=2〃-4,结合等差数列的定义，

可判定B正确：由。”=2〃-4得到q=-2,%=0,当〃>2时，4>0,求得S.的最小值为-2,可判定C错

误；由选项C的分析，结合等差数列的求和公式，可判定D正场.

【详解】对于A,因为数列｛凡｝的前〃项和S.=〃2—3〃，

当〃=1时，可得q=S1=F—3x1=-2,所以A正确；

22

对于B,当〃22时，an=Sn-Sfl.!=(W-3/I)-[(«-1)-3(W-1)]=2«-4,

其中q=-2,适合上式，所以数列｛见｝的通项公式为q=2〃-4,

又因为an+i—an=2(n+1)—4—(2n-4)=2>

所以数列｛q｝是首项为-2,公差为2的等差数列，所以B正确：

对于C,由%=2〃-4,令%C0,即2〃-420,解得“22,

所以数列｛可｝满足：4=-2,%=0,当〃>2且“cN•时，%>0，

所以S”的最小值为S=S2=-2,所以C错误；

对于D,由选项C的分析知：a]=-2,生=0，当〃>2且时，4>。，

a2

可得|%|+,2|+|。3|+—.+|%0|=_《+々2+%+-.+卬0~(\+〃2+%+—,+《0)-2%=S10-2ax=10

-3x10-2x(-2)-74,所以D正确.

9/25

22.（多选）已知数列｛%｝满足q+24+...+2"-&=”2,则（）

A.%=2B.｛%｝的前〃项和为巴要

C.［（T）"%｝的前1（）0项和为50D.｛|%-5|｝的前30项和为357

【答案】ACD

【分析】对于A,〃=1即可求％；对于B,再作差可得结合利用等差数列求和公式即可判断；对于C,

利用并项求和即可：对于D，求出其通项，再分别求出前3项和以及后27项和.

【详解】当〃=1时，卬=2,故A正确；

n2n］

当八22时，％+2a24--F2~an_｝=（/?—1）­2~,

两式相减可得：2"%”=小2”一（〃-1）-2小=（〃+1）-2”7,所以勺二〃+1,

当k=1时，％=2,符合上式，故%=〃+1,

由等差数列求和公式知｛4｝的前〃项和为“（2；"1）=号2,故B错误；

令“=（T）Z=（_I）"6+I）,他｝的前100项和为:

-2+3—4+5+…—100+101=1x50=50,故C正确；

令C"=瓦-5|=|〃-4|,所以M-5|｝的前30项和为:

C,+。2+..・+。3。=3+2+1+0+1+2+…+26=6+^|^=357,故D正确.

23.（多选）已知递增等差数列｛q｝的前〃项和为邑,〃/见=35,56=36,则下列说法正确的是（）

A.an=2/?-1

B.Sn=n-

C.若＞=4-10,则闻+陶+|可+…+瓦|的值为36

D.数列｛（-1）%“｝的前2026项和为2026

【答案】ABD

【分析】首先根据条件求。3和田,再求等差数列｛4｝的通项公式，以及前〃项和，再去绝对值求和，判断

C,利用并项求和法判断D.

［详解】S6=6（q；4）=3（a+%）=36,即%+4=12,又因为/・%=35,

所以％=5,4=7或%=7,%=5,

又因为数列｛%｝单调递增，所以%=5,4=7,

则d="4一％=2,-3）d=5+2（〃-3）=2〃-1,故A正确；

10/25

+—1)“故B正确；

2

Z>„=^-10=2n-ll,设数列｛"｝的前一项和为北=”㈠丁叫=〃(〃-10),

当1W〃45时，。<0,当〃26时，4>0,

所以间+冈+冈+…+瓦I=一伍+^2+...+々)+。+b?+...+&0,

=7。-27；=50,故C错误;

数列｛(T)"%｝的前2026项和为一1+3—5+7+…―4049+4051==2026,故D正确.

24.记S”为数列｛矶｝的前〃项和，已知5“=14〃-,/.

⑴求｛七｝的通项公式；

⑵求数列｛㈤｝的前〃项和

【答案】⑴4=15-2〃

2

⑵f"―|〃142/_z14-〃n,+//9<87,〃28

【分析】(1)由为与S,的关系，根据工=14〃-/,求得数列｛4｝的通项公式；

(2)分析%20和%<0两种情况，即可数列｛|。“|｝的前〃项和I.

【详解】(1)当〃=1时，5,=14-1=13,即q=13,

当〃22时，勺=5”一,7=14〃一"2一[14(〃-1)-(〃-1)[=15-2",

〃=1时，4满足上式,所以%=15-2〃.

(2)Se=14〃-“2.令=15-2〃20,解得且“cN”,

所以当〃47时,则%>0,可得北=同+同+~+同=/+42+~+。”=5,=14〃一〃2；

当〃28时，则见<o,可得，=同+同+…+|。”|=(q+。2+…+%)-3+…+4,)

222

=57-(5„-S7)=2S7-5fl=2(14x7-7)-(14n-/7)=/?-14/7+98；

<7

综上所述：r=<

n〃2-14〃+98,〃之8

25.数列｛%｝的前〃项和为S“，S.=—/+9〃+5；

(1)求数列｛*｝的通项公式：

(2)设〃“=同+同+…+|凡|,求乩.

f13,z/=1

【答案】(1)。“=I；,

11/25

-n2+9〃+5,〃<5

⑵H0=

n2-9//+45,H>6

【分析】（1）分〃=1和”之2两种情况，结合4与5之间的关系运算求解即可；

（2）根据数列应｝的通项公式分析q的符号，分〃W5和a6两种情况，结合S“运算求解即叽

【详解】（1）因为邑=一/+9〃+5,

当&=1时，则％=$=13；

当〃22时，则S“T=一(〃一1『+9(，?-1)+5=—〃2+11〃-5,

22

可得。“=S“-Sn_{=(-/?+9/?+5)-(-/?+1b?-5)=10-2/i；

13,〃=1

综上所述:a=«

0n10-2/?,/?>2

13,〃=1

因为见

10-2〃,〃之2

当“=1时，q=13>0；

当户22时，令q=10—2/720,解得2<〃<5；令凡=10—2〃<0,解得〃26；

综上所述：当〃45时，/之0；当“26时，。”<0.

当时，则=q+?+…+见=S“=-/?2+9n+5-

+，,，+a_a+，,，+a_-5

当A26时，则Hn=(a)+a25)(6»)=^5(^ns)

22

=255-S„=2X25-(-M+9,J+5)=//-9/7+45:

-n2+9/z+5,n<5

综上所述：H=\

nn2-9n+45,n>6

考点06和比项比及片段和问题

26.已知S”是等差数列｛4｝的前八项和，若q=-2026,黑-黑=6,则Szg等于（）

A.-4052B.2026C.-2026D.4052

【答案】C

【分析】根据S“是等差数列｛q｝的前〃项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解.

【详解】因为S.是等差数列｛q｝的前〃项和，

所以数列｛｝｝是等差数列.

又％=-2026,^019_^013=6

20192013

12/25

则数列的公差d=$=l，首项为言=?=-2026,

nJ611

所以上以=-2026+1x2025=-1,S2026=-2026.

2026

27.设数列｛%｝满足2%=。向+“1（〃之2且〃cN）,S,是前〃项和，且Sj=6,生=3,则蔻=（）

A.1013B.芋C.1012D.1011

【答案】A

【详解】由题意,2an+l=«B+2+a„,n€N,,:.an+i-an=a„+2-an+i9n

则数列｛为｝为等差数列，设公差为d,S3=3%=6,%=3,

即%=3,%=2,则4=1,则4“=。3+"（〃-3）=〃，

贝IJS=〃“+也二所以&=4+=[,辿£=3（常数），则也为等差数列.

则数列[却的公差为:，所以2=2（…l）x1=l+?^=T，所以黑=誓口=1013.

28.已知等差数列｛%｝,也｝的前〃项和分别为加小且2n,则7长+冷r的值为（）

1>2-3一5

A.-B.-C.-D.一

2344

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前〃项和的性质求解.

【详解】务+岳=崇+舞=用含=禁喈，

4+&々+42b（、2b°2b°2b°%

1

因为*=詈二，则S“=4〃（"+l）,Tn=kn（2n-\）,女工0

a-j=S7-S6=56k—42k=14%,Z?6=7^—7^=66k-45A=21%,

“a\4k22

所以7的值为;.

3〃+2

29.设等差数列｛/｝,｛"｝的前〃项和分别为S,,。,

2«+5

CQ

【答案】石

【分析】利用等差数列前〃项和性质可得s2M=（2〃-1”“、耳_尸（2〃-1）%利用等差中项性质可得

%+%=2%,即可得当”二孕，代入〃=9计算即可得解.

13/25

【详解】S"芳""=（2〃_1）q，同理可得1i=（2〃-l也，

。，+%2%r9/,S„c3x9+2.2958

mi2~=­5.=2•—^=2-=2-------=2x——=——

」bsb59bs又2x9+52323,

30.已知等差数列｛*｝的前〃项和为S”，且曾=4,则供L=（

)

\4dl2

【答案】C

【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解.

【详解】因为S.是等差数列｛为｝的前〃项和，则邑，Sf,几-因成等差数列,

S,1

乂三""：，得到$8=484,所以§8—S4=3S4,S12—$8=5$4，所以S]2=9S4,

%4

考点07等差数列奇偶性及最值

31.（多选）已知｛可｝为等差数列，记｛为｝的前〃项和为S”，前2〃项中所有偶数项的和为。，且

邑=1=15,则下列说法正确的是（）

A.a2=1

2

B.Ttl=2n-2n+3

C.S2n=-1

D.若4=-~~,则A+"--+b”<1

TS

n-n

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的性质求出数列m｝的通项公式，然后依次判断即可.

【详解】已知｛可｝为等差数列，设等差数列｛/｝的首项为6,公差为d,前〃项和为S”,

由「4=15,根据等差数列前〃项和公式，有5%+m4=15,化简得％+23=3,

乂因为前2〃项中所有偶数项的和为。，且（=15,即生+/+/=15,得q+d+6+3d+q+W=15,化简

得q+3d=5,

联立解得匕=：1,所以数列｛为｝的通项公式为a.=%+(〃-l”=T+(〃-l)x2=2〃-3,

%+34=3[4=2

对于A,。2=2x2—3=1,故A正确；

对于B,前2〃项中所有偶数项的和为方,即1=%+%+…+生”，其中出吗，…吗”构成首项为。2=1，公差

14/25

为2d=4的等差数列,

因此北=na2+"；l)(2d)=n+2n(n-\)=2；r-n»故B错误；

对于C,由于。2“=2x2〃-3二4〃-3,%+]=2x(〃+l)-3=2〃-1,

所以S?"="2”)=〃.(_]+4〃-3)=4〃2-4〃,匕]一1=(2〃-1)2-1=4〃2-4〃，即S?”=T,故C正

确；

r_L十〜一I,TC2八人〃(-1+2〃-3),

对于D,已大口。=2〃~—n,S=--------=-----------=n"-2n,

"22

则北—邑=(2〃2-〃)一(〃2-2〃)=〃2+〃=〃(〃+]),所以2=7^=就刀=：一匕,

(\1A<1h(11、1

则4+4+…+"=---+---+…+-------=1-----<1,故DiE确.

(12)5)\nn+\J〃+1

32.在等差数列｛%｝中，公差"=1,旦〃2+，+4+…+4OO=55,则/+%+%+…+%9=()

A.5B.50C.60D.105

【答案】A

【分析】根据题意得(q+d)+(%+d)+(%+4)+…+(%9+d)=55,进而得

q+%+4+…+%9=55-50d=5.

【详解】解:因为等差数列｛4｝中，生+，+4+…+。@=55,"=】，

所以+。/)+(。3+1)+(。5+4)+…+(。99+'/)=55,

H|J4+4+%+,,•+4缈+50d=55,

所以q+%+%+…+旬9=55—50d=55-50=5

33.已知项数为奇数的等差数列｛"｝共有〃项，且奇数项的和为72,偶数项的和为60,则项数〃为()

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【分析】等差数列的公差为d,结合题意得$奇-S惘=”叱=12,S奇+S偶=〃％,=132,进而求得〃=ii.

22

【详解】设等差数列的公差为d,

由题知S奇=6+%+…+牝；S伙=。2+(+…+/-I,

所以s奇一S偶=4+(%一。2)+(%一4)+~+(为-%7)=4+—4=%+]=12,

2—

因为S奇+S播=1~~°==132,

2T

15/25

132132,

所以〃=；-二77,即项数”为11.

Z1+I

34.已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200,所有偶数项之和为380,则数

列｛勺｝的项数为（）

A.20B.40C.60D.80

【答案】B

【分析】设等差数列几｝共2〃项，由偶数项之和与奇数项之和的差为9〃可得答案.

【详解】设等差数列｛4｝共2〃项，则奇数项有〃项，偶数项有〃项，且各成等差数列，

所有偶数项之和为。2+4+—+%=380,所有奇数项之和为q+4+…+*=200,

则380-200=180=9〃，所以〃=20,则2〃=40.

35.（多选）设S“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知％=4,$3=24,则（）

A.数列｛%｝的公差为2B.an=-2n+\2

C.Sn=-/r+U«D.当S”取得最大值时，〃=6或7

【答案】BC

【分析】先通过等差数列的基本量的运算求出外和公差△，确定数列的通项％和前〃项和S”，再求得邑取

得最大值时〃的值.

,、d+3d=4,

【详解】设数列｛q｝的公差为小则;j»解得q=10,〃=-2,故A错误；

%=1O+（Z7-1）（-2）=-2??+12,故D正确；

S,=」=——-------%=-〃2+1山，故C正确：

”2

当5“取得最大值时，〃=5或〃=6,故D错误.

考点08等比数列基本量的求算

36.已知数列｛%｝是各项为正数的等比数列.若牝-%=6,%-出=1，则公比夕=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

（1、

【详解】设公比为4>0,则%年—1）=6,41—=1,则"1,

\q）

故化简后得夕2-1=61一5）,有夕2-1=岂1~~-,

所以4=2或1=一3（舍）或q=1（舍）.

37.（多选）已知等比数列｛%｝的各项均为正数，公比前〃项积为下列说法中正确的有（）

16/25

A.若q=1，则q=i

q

B.若%=2,7；=1,则q=：

o

c.若%=1（〃?N2）,则以二1

D.若qz%,则％21

【答案】ABD

【分析】根据等比数列的性质及通项公式判断ABD,举反例判断C.

【详解】因为q=,，所以t=a】qq=L"/=i,故A正确；

qq

因为％。4=。2%，所以4=《qyq=（。2aBp=4。；=1，解得生=5，

（1-=-=421

所以,a,1，所以《=*=:，故B正确；

'-4-8

取用=2,4=1,则q=L耳=qa2a3〃4=>/勺夕2=相>1,故C错误;

qq

由等比数列性质知。1%3=。2%2=…二七%=。；，所以G=（姆）6,%=碎，

若加2%,则432%,即碎21,由勺>0,所以〃*1,故D正确.

38.已知数列上｝为等差数列，检｝为等比数列，%=4=2,则（）

A.b2b&Wa2a4B.h2b4>a2a4

C.ci2+a4<b2+b4D.a2+a4^b2+bz

【答案】B

【分析】根据等差数列及等比数列下标和性质结合基本不等式计算求解判断.

【详解】•..数列｛q｝为等差数列，

•••处+。4=2。3=4.

•••数列｛0｝为等比数列,

二历•%=阿=4.乂电，（=（4-%）44~：+%-4,

••・七254工a2a4・当且仅当的=4=2时取等号，二.A错误，B正确.

当匕2，匕4<0时,a2+%>b?+b«；

当心，%>。时，"+“22/西=4=。2+。4，当且仅当电=%=2时取等号,

.•.。2+。4与仇+”的大小不确定，所以c,D,错误；

17/25

39.(多选)在等差数列｛%｝中，公差为d,且q,生，%是公比为g的等比数列，4=〃?，则()

A.？=?B.〃?=8

«4

C.4=50D.数列1」一|的前1000项和大于上

48

【答案】BC

【分析】根据等差数列及等比数列的性质求出加，d,求出明,,即可判断ABC；求出｛为｝的通项公式，进

而得到‘•=4丁二-丁二]，结合裂项相消法求出数列[」一]的前1000项和，利用放缩法与上比

I213〃+13n+4)48

较，即可判断D.

【详解】由题意知，6=加，%=6+2"=加+2d,am=a]+(ni-])d=m+.

因为4,%,a”,是公比为1的等比数列，所以％=〃?，()，a3=|a1,

BPin+2d=1•/〃,m+(m-\)d=—(w+2d),

解得〃?=8,d=6,故B正确.

今=?=\=4,故A错误.

4463

x

%=〃?=8,a3=^-x8=20,a,n=720=50,故C正确.

22

因为｛为｝为等差数列,所以a“=q+(〃-l”=8+6(〃-l)=2(3〃+l).

_______1_______=_1_3=\_(_1______1_A

所以一2(3〃+l)x2(3〃+4)~12(3〃+1)(3〃+4)~n[3//+1-3〃+4)

则数列—■—1的前〃项和q=」一+—!—+…+一

[a”g+Ja/2a必见

1f1111111_1C1月

工匕一亍+了-历+…+3/7+I-3〃+4卜石匕-3〃+4厂16(3〃+4)，

11()0()100()/100()1,…।

]W>)~16(3x1000+4)-48x1000+64<48x1000-48,故0错误，

40.已知/(〃24)个正数排成〃行〃歹U，册表示第，行第/列的数，其中每一行的数依次构成等差数列，每

一列的数依次构成等比数列，并且公比都为g.已知%4=1，4：=)，43=^・

816

(1)求公比q；

(2)记第〃行的数所构