直线与平面平行（第2课时）教案

第八章立体几何初步

8.5.2直线与平面平行（直线与平面平行的性质）

一、教学目标

1.掌握直线与平面平行的性质定理；

2..能运用直线和平面平行的性质定理进行简单应用；

3.通过对直线与平面平行的性质定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数

学素养.

二、教学重难点

1.直线与平面平行的性质定理的探索过程；

2.直线与平面平行的性质定理的应用.

三、教学过程：

（1）创设情景

如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？

（2）新知探究

问题1：请同学们思考一下，满足什么条件，平面。内的直线与直线a平行呢？

学生回答，教师点拨,提出本节课所学内容（直线和平面平行的性质定理）

问题2:若直线。//平面仪,则在平面。内与〃平行的更线有多少条？

学生回答，教师点拨

（3）新知建构

直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交

线平行.

已知.lu0,aB.

求证：/〃团.

注意:

①定理中三个条件缺一不可；

②简记：线面平行，则线线平行；

③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据；

④定理的关键：寻找平面与平面的交线；

（4）数学运用

例1・如图，四棱锥P-ABCO中，底面45co为梯形，AB//CD,AB=4,8=2,点

PM

M在棱PO上，若PB〃平面MAC,求——的值.

MD

【答案】证明见解析

【解析】连接BO交AC于0,连接。M,

因为PB/1平面MAC.EPBcz平面PBD，平面PBDC平面MAC=M0,

PMOR

所以尸8//MO，..ADOMADBP,：.—=——，

MDOD

•/CD//AB,易得△CO0-AAO3,则竺="=2,

PM

因此，一=2.

MD

变式训练1:如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC,PC上的点，且MN//平

面PAD，则（）

A.MN//PDB.MN//PAC.MNHADD.以上均有可能

【答案】B

【解析】四棱锥尸一ABCOH」，用，N分别为AC，PC卜.的点，且族V//平面，4。，

MZVu平面尸AC,平面PACn平面

由直线与平面平行的性质定理可得：MN//PA.故选：B.

例2.如图，E是棱长为1正方体48。力一4圈G。「的棱GA上的一点，且8R〃平面

B(E,则求线段CE的长度.

连接BG，交3c与。，连接EO,则。为8G的中点，因为平面4CE,BRU平

面R8C,平面。8Cc平面8CE=0E,所以OE〃瓦心故£为〃G的中点，所以

田j

在肋△EC。中，CE=y)CC；+EC；=^71=号

故答案为：好

2

变式训练:如图所示，四边形ABC力是梯形，A8//CD,且A3//平面。，AD,8C与平面

a分别交于点M,N,且点M是4。的中点，AB=4,8=6,则MN=

【答案】5

【解析】因为〃平面平面4BC。，平面ABC。1平面。=MN、所以

ABHMN.又点M是A。的中点,所以MN是梯形ABCD的'F位线，故MV=5.

故答案为:5

例3:如图，在三棱柱ABC-A^G中，点E1分别是棱CG，3片上的点，点历是线段AC

上的动点，EC=2FB=2.若MB//平面AEF,试判断点M的位置.

【答案】证明见解析

【解析】由题意知MB//平面4成，过F,B,M作平面FBMN交AE于N,连接

MN,NF.

因为//平面A4|C)C,BFu平面FBMN,平面FBMNc平面MG。=MN,

所以区「MN.

因为MB//平面AEF,MBu平面FBMN,

平面FBMNc平面AEF=FN,

所以MB//FN，

所以四边形3FNM是平行四边形，

所以MN=»歹=1.

而EC//FB,EC=2FB=2,

所以MN//EC,MN=>EC=1,

2

故MN是二ACE的中位线.

所以M是AC的中点时，加8〃平面AE/L

变式训练:如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，AC交BD于点、0,E为AO

中点，厂在Q4上，AP=AAF,PC〃平面区所，则％的值为

【答案】3

【解析】如下图所示，设A0交BE于点G，连接产G,

・.・E为A力的中点，则A£=,AO=L8C.由于四边形A8CO是平行四边形，ADHBC，

22

4(7AE1AG1

/.MEG:kCBG，Q——=——=-，/.——=-,因为PC〃平面BEF，PCu平面

GCBD2AC3

APAC

PAC,平面4E/〃平面P4C=Gb，所以Gr〃PC，・•・/1=—=—=3.

AFAG

故答案为：3

四、小结：

直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

个平面相交，那么这条直线就和交线平行.

用符号可■表示为：/〃//uAa夕=〃?=/〃机；图示为:

A级必备知识基础练

L［探究点一］有以下四个说法，其中正确的说法是（)

①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行;

②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平

行；

③若直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行；

④若平面外的直线与平面内的一条直线平行,则直线与平面

不相交.

A.①②B.①②③

C.①③④D.①②④

2」探究点二］已知直线/〃平面火点平面区那么过点P且

平行于直线/的直线（）

A.有无数条，仅有一条在平面。内

B.只有一条，且不在平面a内

C.有无数条，均不在平面a内

D.只有一条，且在平面。内

3.［探究点一［如果两直线且〃〃④则b与a的位置关系

是（）

A.相交B.b//a

C.buaD力〃Q或

4.（多选题）［探究点一］如图，在正方体ABCD-AxB\C\Dx

中",N,P分别是CxDx.BCAxDx的中点，下列四个结论正确的

有（）

A.A尸与CM是异面直线

BAPMDDi相交于一点

C.MN〃BD\

D.MN〃平面BBiDiD

5」探究点一］如图，在五面体FE-ABCD中,四边形CDEF为矩

形,M,N分别是BF,BC的中点，则MN与CF的位置关系

是,MN与平面ADE的位置关系是.

6」探究点一］如图，在正方体ABCD-AxBxCxDx中£尸分别是棱

BC,CiDi的中点，则政与平面BDD\B\的位置关系

是1

7」探究点三］如图,A3是圆0的直径，点C是圆。上异于A,3

的点,P为平面ABC外一点，邑F分别是PA,PC的中点.记平面

BEF与平面ABC的交线为/,试判断直线I与平面PAC的位置

关系,并加以证明.

8.［探究点三］如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯

形,48〃。。48=4,。。=2,点M在棱PD上.

（1）求证:CD〃平面PAB;

P.M

⑵若P8〃平面M4C,求蒜的值.

c级学科素养创新练

9.（多选题）如图，在下列四个正方体中工乃为正方体的两个顶

点、,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中，直线AB与

平面MNQ平行的是（）

10.（多选题）如图，在四棱锥P-ABCD中,MN分别为4cpe上

的点，且MN〃平面见。,则（）

A.MN//PD

B.MN〃平面PAB

C.MN//AD

0MN//PN

11.如图，在底面边长为8cm,高为6cm的止三棱柱

ABC-A\BxCx中，若。为棱AS的中点，则过5。和力的截面面

积等于cm2.

12.如图，在三棱柱45C-AIC1中，点&F分别是棱CCi,BBi上

的点，点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.若M3〃平面4石£

试判断点M在何位置.

c级学科素养创新练

13.如图，已知三棱柱ABC-AiBiCi中,E是BC上的动点,。是

AD

AAi上的动点，且嬴〃平面DBC

(1)若石是BC的中点，则m的值为;

⑵若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为

14.如图所示,四边形ABCD为梯形,A6〃CZ),CD=2A8,M为线

段PC上一点.在棱PC上是否存在点M使得以1〃平面MBD?

若存在，请确定点M的位置;若不存在,请说明理由.

参考答案

1.D③中若直线在平面内，虽与平面内的尢数条直线不相交，但直线与平面不平行，故③

不正确,©©④正确.

2.D过直线/与点P的平面有且只有一个，记该平面为人

因为平面a与£相交于点P,所以平面a与夕有唯——条交线，设为出义/〃火所以/Ha.

因为过点P平行于直线/的直线只有一条,所以选D.

3.D由all/?,且a//a,知b与a平行或bua.

4.

BD选项A中，如图，连接PMACAG,因为点M,P分别是GSAOi的中点，多面体

ABCD-A\BXC\D\是正方体，所以MP〃4CI/C〃AIG,即MP//AC.

因为所以AP与CM是同一平面内的相交直线，选项A错误；

选项B中,由选项A知A尸与CM相交，设交点为“，则平面AIADOI,“《平面

又平面AiADDi与平面GCDDi相交于。。心所以点方在。。上,

所以4P,CM,OQi相交于一点，选项B正确；

选项C中，如图，连接AC与BD交于点O,连接CW0。,由正方体性质易知是4。的中

八占、、,

因为N是8c的中点，所以ON//CD,ON=2CD.

1

因为O|M〃QC,O[M=27)C,所以ON〃D\M、ON=D\M、

故四边形ONMD\是平行四边形.MN〃/%0,易知选项C错误：

选项D中，因为MN〃DiO,MNQ平面平面所以MN〃平面BBQ。,

选项D正确.

故选BD.

5.平行平行因为MN分别是8F,8C的中点，

所以MN〃CE又四边形CDEF为矩形，所以CF〃DE,所以MN//DE.

又MNQ平面ADgOEu平面ADE,所以MN〃平面ADE.

6.平行

2

取DiBi的中点M,连接尸M,M8,则FM]B{C\.

1

又RE^^CxS-FMnBE.

・•・四边形尸MBE是平行四边形.・・・E/〃BM.TBMu平面BDD/i,ERl平面BDDiBi,：.EF

〃平面BDDB.

7.解直线/〃平面以C证明如下：

因为E,F分别是%,PC的中点，所以E/〃AC又ERZ平面A8C,且ACu平面48C,所以EF

〃平面ABC.而EFu平面8EE且平面BEFQ平面A8C=/,所以EF///.因为总平面R\C.EFa

平面%C所以/〃平面PAC.

8.(1)证明因为CO〃A8,C。。平面布平面附8,所以C。〃平面PAB.

⑵解连接BD交4c于点。，连接0M因为P8〃平面MAC,且PHu平面P8D,平面PBDC

平面MAC=MO,

所以PB//MO.

P.W01

所以△OOMsADBP,所以乂Dol

OBAB

1■

因为CO〃A8,易得△CODS/XAOB,则°。CD=2.

PM

故f.

9.BCD对

于A,如图,0为底面对角圾的交点，可得A8〃OQ,又00n平面MNQ=Q、所以直线48与平

面MNQ不平行;对于B,由于结合线面平行的判定定理可知A8与平面MNQ平

行;对于C,由于A8〃例。.结合线面平行的判定定理可知A8与平面MNQ平行;对于D,由

于A8〃NQ,结合线面平行的判定定理可知48与平而"NQ平行.故选BCD.

10.BD・.・MN〃平面南D,MNu平面以C,平面附Cn4面PAD=PAy：.MN//PA.

•・•布u平面阴B,MNQ平面PAB,

・・・MN〃平面以A故选BD.

11.24^3过

点。作。石〃EG,交4G于点瓦连接CE,则四边形BCED即为过BC和点D的截面,

因为力为棱48］的中点.DE〃忌G,所以E为AC中点，

所以DE是AAiBiCi的中位线，

所以DE=^BiC}=4cm,

又因为8iG〃"C,所以DE//BC,

所以四边形BCED是梯形；

过点D作DFLBC于点F,

k+4工(？)2

=46(cm),所以截面BCED的面积为

则DF=N

S=2X(4I8)x4b=24、G(cm2).

12.

解在平面ACGAi中，过点M作MN〃/LAi.交AE于点M连接NF.又A4/88,所以MN//

8冗即M,B,F,N四点共面.因为M8〃平面AEfMBu平面MBFN,平面MBFNCi平面

AEF=FN,所以M8〃内V,所以四边形MBFN是平行四边形.因为/8=1,所以MN=1,又

EC=2,MN//EC,所以MN是△AEC的中位线,所以点M是AC的中点.

13.(1)1(2)2

⑴如图，取BiC的中点G连接EGQG,则EG=?BBi,EG〃BB、.

•.•AD〃88],