第二章 相交线与平行线 同步测试卷-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第二章相交线与平行线

1两条直线的位置关系

第1课时对顶角、余角和补角

宴出题

知识点1相交线与帝亍线

1.在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）

A相交B.平行

C.平行或相交D.平行且相交

知识点2对顶角

2.下列图形中，/I和N2是7寸顶角的是（）

4.如图，直线AB,CD相交十点0.若/1=80。/2=30。,则NAOE的度数为（）

A.30°B.50°C.60°D.80°

5.如图.直线AB,CD相交于点O.已知NBOC=75o,ON将NAOD分成两个角，且NAON:NNOD=2:3,求NAON的

度数.

A

c

QN

D

8

知识点3余角和补角

6.如图直线AB,CD相交于点O,NAOD=14()。厕NAOC的度数是()

A.400

B.50°

C.60°

D.70°

7.若NA=55。,则NA余角的度数为补角的度数为.

8.若NA+NB=18()O,NB+NC=180OJI!!JNANC,理由是

9.已知一个角的补角是这个角余角的4倍，则这个角的度数为一.

10如图,NAOB=120°,OF平分/AOB,N2=2ZI.

⑴N1与N2互余吗?i式说明理由.

(2)/2与NAOB互补吗？试说明理由.

易错点未给出图形，没有分类讨论而致错

11两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2L10)和(110r)二则h

B中档题

12如图，三条直线a,b,c相交于一点则Nl+N2+N3=()

A.36O。

B.1800

b

2

C.120°

D.90°

13如图，将一副三角板按不同的位置摆放，则使/a与互余的摆放方式是()

15如图，要测量两堵墙所形成的/AOB的度数，但人不能进入围墙，该如何测量呢?请你写出两种不同的测

量方法，并说明几何道理.

16如图1,NAOC和NBOD都是直角.

(1话NDOC=32。,则NAOB的度数为—。若NDOC越来越小厕NAOB如何变化?

(2戏出图1中相等的角，并说明理由.

(3底图2中利用能够画直角的工具画一个与NFOE相等的角.

D

图2

综合题

17观察如图所示的各角，寻找对顶角(不含平角).

图1

⑴图1中有一对对顶角，图2中有二寸对顶角，图3中有一对对顶角.

(2)若有n条直线相交于一点，则共有一对对顶角(用含n的代数式表示).

(3)若有2025条直线相交于一点，则共有_____对对顶角.

第2课时垂直

A基础题

知识点1垂直的定义

1.如图直线AB与CD相交于点0.

（l）SZA0C=，则AB1CD.

（2港AB_LCD4!JZAOC的度数B.

2.如图,A0_LC0,且NBOC=30。,则/AOB的度数是（）

A.45°B.60°C.55°D.50°

3.如图，直线AB和CD相交于点0,0E_L0C.若/AOC=58。,则NEOR的度数为（）

A.29。

B.32。

C.45°

D.58°

4.如图,BO_LA0于点OQB平分/COD,NAOC=70。.求/DOA的度数.

A

知识点2画垂线

5.过直线1外一点P画1的垂线CD,下列各图中，利用三角板操作正确的是（）

6.如图,P是NAOB的边0B上的一点，用无刻度的直尺画图.

（1试点P画0A的垂线，垂足为H.

（2试点P画0B的垂线，交0A于点C.

知识点3垂线的性质和点到直线的距离

7.如图,A是直线I外一点，点B,C,D在直线I上，连接AB,AC,AD.若ACJJ,则点A到直线I的距离是（）

A.线段AB的长B.线段AC的长

D.线段BD的长

8.如图，要将水渠1中的水引到点P处，在什么地方开挖，才能使沟最短，理由是（）

A.点A处，两点之间，线段最短

B.点B处，垂线段最短

C.点D处，垂线段最短

D.点C处，两点确定一条直线

9.如图,OM_LNP,ON_LNP,所以直爱ON与0M重合，理由是

1()如图，在三角形ABC中,AC_LBC,CDJ_AB,则点A到直线BC的距离是线段—的长度.

11在直线AB上任取一点0,过点O作射线OC,OD,使OC_LOD.当NAOC=45。时,NBOD的度数是.

B中档题

12如图点O在直线AB上,OC_LOD于点O.若NB()D=3NBOC、则NAOD的度数为()

A.112.50

B.1150

C.117.50

D.I25。

13.如图，这是光的反射示意图，CO是入射光线,OD是反射光线，0E是法线,EO_LAB,NEOD是反射角,NC

OE=NEOD.若NAOC=2NE0D,则入射角NCOE的度数为)

A.30。C.45。D.6O0

第13题图

14如图，在三角形ABC中,NACB=90o,AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段PC的最小值

是()

A.3B.2.5C.2.4D.2

15如图，直线AB,CD相交于点0,0E平分NAOD,OF_LAB.

(1)若NC0F=5()。,求NCOE的度数.

(2)若NBOD:NEOD=1:2,求NCOF的度数.

综合题

16如图，O为直线AB上一点，0C为一射线，OE平分NAOCQF平分NBOC.

⑴若/BOC=50。试探究OE与OF之间的位置关系.

(2)若N8OC=a((T<a<180),则⑴中OE,OF的位置关系是否仍成立?请说明理由.

2探索直线平行的条件

第1课时利用同位角判定两直线平行及平行公理

A基础题

知识点1认识同位角

1.如图，N1的同位角是()

A.Z2

C.Z4

第2题图

A.Z1和N2B.N1和N3

C./I和N4D.N2和N3

知识点2同位角相等，两直线平行

3如图，直线a,b被直线c所截.当N1—N2时,a〃b（填＜或

4.过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图所示，其依据是

5.如图，若Nl=/2,则—//—;若/2=/3,则—//—.

第5题图第6题图

6.根据要求完成卜面的填空:

如图、直线AB,CD被EF所截，已知/1=/2试说明:AB〃CD.

解根据得N2=N3.

VZ1=Z2,

AZ1=Z_.

；・AB//().

7.如图点B在DC上.BE平分/ABD,NABE=NC.试说明:BE〃AC.

知识点3平行公理

8.如图，已知OM〃a,ON〃a,所以O,M,N三点共线，理由是______________

・■,•-------

0MN

-----------------a

9.如图，P,Q分别是直线EF外两点.

(1过点P画直线AB//EF,过点Q画直线CD//EF.

(2)AB与CD有怎样的位置关系.为什么？

Q

■

P

.

E-----------------------F

io在平面内，过一点作已知直线的平行线，可作平行线()

A.0条B.1条

C.0条或1条D.无数条

B中档题

11风筝是中国古代劳动人民发明于舂秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间升始用纸做风筝，称为

''纸莺;如图所示的纸骨架中，与N1构成同位角的是()

B.Z3D.Z5

12如图，已知/1=90。，为保证两条铁轨平行，添加下列条件，其中正确的是（）

A.Z2=90°B.Z3=90°

C.Z4=90°D.Z5=90°

第12题图第13题图

13如图，将木条a,b与木条c钉在一起，/1=85。,/2=45。.要使木条a与b平行厕木条a按箭头方向旋转的

度数至少

14看图填空，并在括号内注明说理依据.

如图，已知AC_LAE,BD_LBF,/l=35o,/2=35。,则AC与BD平行吗？AE与BF平行吗?

AZ1=Z2.

:.〃().

又・・・AC_LAE(已知)，

:.ZEAC=90°().

:.ZEAB=ZEAC+Z1=°.

同理可得,ZFBG=ZFBD+Z2=_°.

/.ZEAB=ZFBG().

・•・一〃一(同位角相等，两直线平行).

15如图，直线EF分别与直线AB,CD相交于点P,Q,PG平分NAPQ,QH平分NCQF,并且N1=/2,说出图中哪

些直线平行，并说明理由.

E

综合题

16探索与发现：

(1应同一平面内，若直线。4。2处，。3,则直线心与输的位置关系是一,请说明理由.

(2芯同一平面内，若直线(71_La2〃2_La3，a3_La%a4_La5,则直线a与as的位置关系是_________.

(3)在同一平面内，现在有2025条直线21初商,...声2025,且有用_L牝,。2，。3招3_1_24抱4_1_25,...,依次招^,则直线ai与a2

出的位置关系是___________

第2课时利用内错角或同旁内角判定两直线平行

A基础题

知识点1认识内错角、同旁内角

1.如图，与NI是内错角的是()

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

第1题图第2题图

2.如图，下列各角是/I的同旁内角的是（）

A.Z4B.Z2

C.Z3D.以上都不是

知识点2内错角相等，两直线平行

3如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD,并由此判定AB〃CD,这是根

据两直线平行”.

第3题图第4题图

4.如图，若N1=N2,则—〃一;若/3=/4,则—//—.

5.如图.已知CD1DA,DA_LAB,N1=N2.试说明：DF〃AE.请完成下列填空，并在括号内把依据补充完整.

解•・•一,i

:.ZCDA=90°,ZDAB=90°().

工/1+/3=90。,/2+Z4=90°.

又・・・N1=N2,

:.DF〃AE().

知识点3同旁内角互补，两直线平行

6.如图，若/1=100。,/4=80。,则—〃理由是

若N3=70”,则当N2=时,可推出AB/7CD.

第6题图第7题图

7.如图，已知四边形ABCD,要判定人13〃©口,需添加的一条件是

8.如图，/B=50°,CG平分ZDCF,/DCG=65。.试说明:AB//EF.

知识点4用尺规作已知直线的平行线

9.如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法依据是()

A.平行公理

B同位角相等，两直线平行

C.同旁内角互补，两直线平行

D.内错角相等，两直线平行

10如图，有一块三角形纸板ABC,D是AB上一点，现要求过点D剪出一块小的三角形纸板ADE,使NAD

E=ZABC.

⑴用尺规作出NADE(要求：不写作法，保留作图痕迹).

⑵判断BC与DE的位置关系，为什么？

c

1I如图,下列条件:①/1=N4;②N2=N3;③NB=ND；④NB=NDCE;⑤ND+NDCB780。.其中能判定AB/7DC

的是()

A.①②③

B.②④

C.①③⑤

D.①②④

中档题

12数学课上，老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示（两根大拇指代表被截直线，食指代表截

A.同旁内角、同位角、内错角

B.同位角、内错角、对顶角

C.对顶角、同位角、同旁内角

D.同位角、内错角、同旁内角

13如图，下列说法错误的是

A若a〃b,b〃孰则a〃c

B若N1=N2,则a〃c

C若N3=N2厕b〃c

D.若N3+N5=180。,则a〃c

14随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实.图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠

翼垂尾是这款战斗机的亮点之一.图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①NC=60。；②ND

=135。;③/ABC=120。.垂尾模型要求的位置标准之一是AB//CD,如选择数据可判断模型位置是否达标(填

序号).

图1图2

15如图，已知/DAC,以B为顶点，射线BC为一边，利用尺规作/EBC,使得NEBC=NA.

⑴用尺规作出NEBC(不写作法，保留作图痕迹).

(2)EB与AD一定平行吗?简要说明理由.

ABC

综合题

16如图，台球运动中母球P击中桌边的点A,经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B,再次反弹后经过点

C(提示ZPAD=ZBAE,ZABE=ZCBF).

⑴若NPAD=32。,求/PAB的度数

⑵已知NBAE+NABE=90。,母球P经过的路线BC与PA一定平行吗?请说明理由.

3平行线的性质

第1课时平行线的性质

基轴题

知识点匚两直线平行，同位角相等

1.如图，直线a〃b,Nl=40*ljN2=()

A.30。

B.400

C.50°

D.60°

2.如图丹〃b,Nl=60。厕N2的度数为(

A.900B.1000

第2题图

3如图，一束平行光线照射平面镜后反射,N1=N2,N3=N4.若入射光线与平面镜的夹角Z1=50。，则反射光线

与平面院的夹角N4的度数为

A.400B.5O°C.60°D.70°

4.如图，已知a,b,c,d四条直线闰〃b,c〃d,N1=110。,求N2的度数

5.如图，乙地在甲地的北偏东5()方向上，则N1的度数为()

A.60B.5()C.40°D.3()

6将三角板ABC按如图所示的位置摆放，顶点A落在直线1.±,顶点B落在直线L上.若h1=25。,则N2

的度数是（）

A.45°B,35°C.30°D.25°

7.如图,AD是ZEAC的平分线,AD//BC若ZBAC=100。,求NC的度数.

BC

知识点3两直线平行，同旁内角互补

8.如图，一条公路的两侧铺设了AB,CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通.若/1=120。刘N2的度数是

A.50°B.60°C.70°D.80°

(fd

VDAE

第8题图第9题图

9.如图,ABNCD/B工4E,NC4E=42°厕/ACD=_

10如图，已知AB//CD,AD〃BCJIJZB与/D相等吗?请说明理由.

DC

B

11已知N1与N2是同旁内角,N1=6O。,则N2的度数是()

A.60°B.120°

C.60c或120°D.不能确定

中档题

12如图,AB〃DC,BC//DE,ZB=145。,则ZD的度数为

A.25°

B.35。

C.45°

D.55°

13河南"小豫米''应邀到哈尔滨观赏冰雕，其中一个“小豫米''从某个角度发现一座冰雕（图1）中隐藏着数学问

题，建立模型如图2所示，直线AB〃CD.点G在直线AB上点E在直线CD上,EF平分NGEC,交AB于点F.若NEF

G=62。,则NEGF的度数为

图1图2

A.56°B.58°C.60°D.62°

14如图，将一张长方形（长方形的对边互相平行）纸片ABCD沿EF折叠,使顶点C,D分别落在点CD处,EC交

AF于点G.若/CEF=76。,则NAFP的度数为一.

15中华文化博大精深，汉字便是其中一块瑰宝.汉字中存在很多的“平行美”，如汉字“互”将汉字”互,'转化为几

何图形如图所示，已知AB〃CD〃MH〃FN,EF〃GH.若/BEM=1()0。,求NNGD的度数.

16如图所示的格线彼此平行.小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系.他先

作出NAOB=60。.

(1XD如图I,点O在一条格线上，当Nl=2()。时,/2=—.

②如图2,点O在两条格线之间，用等式表示N1与/2之间的数量关系，并说明理由.

(2在图3中，小明作射线OC使得NCOB=45。记OA与图中一条格线形成的锐角为a,OC与图中另一条格线形

成的锐角为优请直接用等式表示a与P之间的数量关系.

第2课时平行线的性质与判定的综合

基础题

知识点1综合运用平行线的性质与判定进行计算或说理

1.如图,AB与CD相交于点0.若/A=NB=30o,NC=50。则/D=()

A.20°B.30°C.40°D.50°

第1题图第2题图

2如.图，已知直线a_Lc,b_Lc.如果/1=70。,那么/2的度数是()

A.70°B.1OO0C.11O0D.12O0

3如.图，已知Nl=N2=N3=50。,则N4的度数是()

A.I200B.125°C.I300D.1350

4.如图，下列判断中正确的是

A.若NA+NADC=180。,则AD〃BC

B.若/1=N2,则AD〃BC

C若AD〃BC,贝！J/ABC+NC=180。

D.若AD〃BC,贝［JN3=N4

5.如图,AB〃CD,NABC=NCDE.若/CBD=70。，试求NBDE的度数请补充求解过程，并在括号内填上相应的

理由.

解VAB//CD,

B

D

.\ZABC=ZBCD.

VZABC=ZCDE,

・•・Z—=Z—.

/.BC//DE().

:.NCBD+Z=180°().

又丁ZCBD=70°,

ZBDE=.

6.如图,AB〃CD,/B=ND,直线EF分别与AD,BC的延长线交于点E,F.试说明:NDEF=/F.

知识点2利用平行线的性质或判定解决实际问题

7.如图，街道AB与CD平行，拐角/ABC=137。,则拐角/BCD=

D.137。

第7题图第8题图

8.如图，这是某次考古发掘出的一块四边形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得NA=82。.已知NB+/C=18

0。,则此玉片残缺角ZD的度数为(1

9.光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图，水面AB与水杯下沿

CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH,点G在射线EF上.已知NHFB=2(T,/FED=45。,求N

GFH的度数.

中档题

10如图，一棵树生长在30。的山坡AE上，树干BC垂直于水平线AD,则NABC的度数为（）

A.I2O0B.125。C.13O0D.135。

11古代房梁建筑中多采用'、四梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出几何模型如

图所示在三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,DF〃AC,/C=NEDF,则下歹J结论错误的是（）

A.DE〃BCB.ZADE=ZB

C.ZBFD=ZAEDD.ZB+ZCED=180°

12将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论:①Z1=Z3;②若Z2=30。,则AC//DE;③Z2+ZCAD=I8

0。；④若N4=NC,则ABJ_ED.其中正确的有（填序号）.

13如图，已知BC〃DE,A,C,E三点在同一条直线上,ND+NBCF=180。.

(1)CF与BD平行吗?请说明理由.

⑵若CF平分NACB,ND=140o或/E的度数

k

AFB

综合题

14老师在课上提出了一个问题：“如图1,已知AB#CD,EF±AB于点0,FG交CD于点P.当/1=30。时，求NE

FG的度数”

E

/J4B

-----B-O3

C尸7^Dc"―

GG

图1图2

石!E

A~0\—B

，0H--

F

cC17Q、£>

GG

图3图4

甲、乙、丙三位同学分别用如图2、图3、图4所示的不同的方法添加辅助线解决问题.

(1汴卜全甲同学的分析思路.

辅助线:过点F作MN〃CD.

分析思路:

①欲求NEFG的度数，由图可知,只需转化为求—与—的度数之和;

②由辅助线作图可知,N2=NI;

③由AB〃CD,MN〃CD可以推出_______由此可推出N3=/4；

④由EF1AB可得24=90。,则可得/3的度数，从而可求NEFG的度数.

(2请根据乙同学所作的辅助线，补全求解过程.

解过点P作，交AB于点N..•・—=NEFG(两直线平行，同位角相等).

VEF1AB,.\ZBOF=90°.

/.ZBNP=ZBOF=90°().

VAB/7CD,

・•・ZNPD+NBNP=180°().

AZNPD=90°.

JZEFG=ZNPG=ZNPD+Z1=

(3请根据丙同学所作的辅助线，求NEFG的度数.

小专题4平行线中常见的拐点模型

模型展示

【解题方法】过拐点作其中一条直线的平行线，有几个拐点就作几条平行线，然后利用平行线的性质求解.

1.单拐点模型

2.多拐点模型

【例1】如图.已知AB〃CD,试判断NB/BED,ND之间的数量关系，并说明理由.

“平行线间”为呼行线的外部”

【变式】已知AB〃CD,E为AB,CD外部任意一点.

(I)如图1,探究NBED与NB/D之间的数量关系，并说明理由.

091

(2)如图2,探究NCDE与NB,NBED之间的数量关系，并说明理由.

AB

图2

针对训练

1如图直线AB〃CD,AE_LCE于点E.若NEAB=12()。,则NECD的度数是()

2如图，直线m〃n，将一块含3()唯的直角三角板按如图所示的方式放置.若/1=40。厕N2的度数为()

A.70°B,60°C.50°D.40°

3.如图.如果AB〃DE,那么NBCD=()

A.Z2-Z1

B.ZHZ2

C.180+Z2-Z1

D.180、+Z1-Z2

4.一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成的锐角a=l5。,

顶部支架EF与灯杆CD所成的锐角「=45。.则EF与FG所成锐角的度数为()

A.600R.550C..5O0D45。

第4题图第5题图

5.如图，这是我们生活中经常接触的小刀，刀柄是一个直角梯形(挖去一个半圆)，刀片上下是平行的，转动刀

片时会形成Nl,Z2,则Nl+N2=—.

类型2多拐点模型

【例2】⑴如图1.若AB〃CD,贝!NE+NG—NB+NF+ND（填u>”"v"或“=”）.

(2)如图2,若AB〃CD,则NEi,NE“.,/En与NB,/D,NR,NF2,..,NF*之间有什么数量关系?请直接写出结论.

B

CD

图1图2

针对训练

6.如图,AB//EF,BC1CD,则Na,Ny之间的数量关系是

A.ZP=Za+Zy

B.Za4-Zp+Zy=180°

C.Za+Zp-Zy=90°

D.Zp+Zy-Za=90°

如图1,已知NB+/E+/D=360。,试探究直线AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由.

小明给出下面正确的解法：

直线AB与CD的位置关系是AB〃CD.

理由如下：

过点E作EF〃AB（如图2所示），

.•・NB+/BEF=18（）。（依据1）.

■:NB+NBED+ND=360。（已知），

:.ZB+ZBEF+ZFED+ZD=360°

.,.ZFED+ZD=180°.

・・・EF〃CD（依据2）.

VEF//AB,

・・・AB〃CD（依据3）.

交流反思：

⑴上述解答过程中的，依据1”，依据22依据3”分别指H么？

依据1：.

依据2:.

依据3:______________

类比探究：

（2）如图3,当/B,NE,NF,ND满足条件时，有AB〃CD.

拓展延伸:

⑶如图4.当NB,NE,NF,ND满足条件时，有AB〃CD.

回顾与思考（二）相交线与平行线

考点针对练

考点1对顶角、余角、补角

1.已知N1与N2为对顶角,Nl=35。厕/2=_.

2.若NA与/B互余/B与NC互补厕NC=NA=.

考点2与垂直有关的概念及性质

3.如图，直线AB是起跳线，脚印是小明跳落沙坑时留下的痕迹.已知PA=2.7米,MC=2.6米，则小明跳远的成

绩可能是（）

A.2.7米B2.65米

C26米D.2.5米

第3题图第4题图

4.如图，直线AB,CD相交于点0。£_1人3,（^_1©口.若/8£=30。厕/13（^的度数为（）

A.I25°B.115°C.1300D.150。

5.如图.SS角三角形ABC中,NC=90>BC=8cm,AC=6cm,AB=10cm.

（1）点B到AC的距离是,点A到BC的距离是

⑵画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离.

B

考点3.同位角、内错角、同旁内角

6.如图，下列结论错误的是（）

A.Z1与N2是同旁内角

B./1与N6是内错角

C./2与/5是内错角

D23与25是同位角

考点4平行公理

7.如图，若直线a〃c,N1=/2厕直线b,c的位置关系是—